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1、三角形的中位线定理A 。BC 。D 。EA、B两地被池塘隔开，现在要测量出两地被池塘隔开，现在要测量出A、B两地间的距两地间的距离，离，但又无法直接去测量，怎么办？这堂课，我们将一但又无法直接去测量，怎么办？这堂课，我们将一起探究一种看似不能完成却可以完成的测量的方法。起探究一种看似不能完成却可以完成的测量的方法。如图，在如图，在A、B外选一点外选一点C，连结，连结AC和和BC，并分别找出并分别找出AC和和BC的中点的中点D、E，如果能测量出，如果能测量出DE的长度，那么就能知道的长度，那么就能知道AB的距离的距离吗？。吗？。今天这堂课我们就要来探究其中的学问今天这堂课我们就要来探究其中的学问
2、。补充补充：（：（1 1）平行线等分线段定理推论）平行线等分线段定理推论 经过三角形一边的经过三角形一边的中点中点与与另一边平行另一边平行的直线，的直线，必必平分第三边平分第三边。几何语言：几何语言：在在 ABC中中 AD=DB，DE/BC AE=ECABC中点中点D中点中点EFCBAED定义：连结三角形两定义：连结三角形两边中点的线段边中点的线段叫做三角形的中位叫做三角形的中位线线我们把我们把DE叫叫 ABC 的的中位线中位线 注意：注意：三角形的三角形的中位线中位线是连结三角形是连结三角形两边中点两边中点的线段的线段三角形的三角形的中线中线是连结是连结一个顶点一个顶点和和它的对边中点它的对
3、边中点的线段的线段三角形的中位线和中线区别：三角形的中位线和中线区别： 理解三角形的中位线定义的理解三角形的中位线定义的两层两层含义含义: : DE DE为为ABCABC的中位线的中位线 D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点 DEDE为为ABCABC的中位线的中位线 D D、E E分别为分别为ABAB、ACAC的中点的中点 一个三角形共有三条中位线。一个三角形共有三条中位线。ABCD。E。FABCDE经过三角形一经过三角形一边的中点与另边的中点与另一边平行的直一边平行的直线必平分第三线必平分第三边边如图已知，在如图已知，在ABC中，点中，点D为线为线段段AB的中点，自的中点
4、，自D作作DE BC，交，交AC于于E，那么点，那么点E在在AC的什么位置的什么位置上？上？ 为什么？为什么？这时这时DE是是ABC的的_中位线中位线猜想猜想：DE与与BC的位置的位置关系及数量关系？关系及数量关系？DE BC 且且DE=1/2BC文字叙述：文字叙述：过过D作作DEBC，交，交AC于于E点点D为为AB边上的中点边上的中点所以所以DE与与DE重合，因此重合，因此DEBC同样过同样过D作作DFAC，交，交BC于于FBF=FC= 1/2BC (经过三角形一边的中点与经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边另一边平行的直线必平分第三边)四边形四边形DECF是平行四边形是平行四
5、边形DE=FC DE=1/2BCE是是AC的中点的中点（经过三角形一（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）平分第三边）ABCDEEF证明方法证明方法1.三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半一半已知：已知：在在ABC 中，中，DE是是ABC 的中位线的中位线求证：求证：DE BC，且，且DE=1/2BC ABCDEF证明方法证明方法2.：如如 图，延图，延 长长DE 到到 F，使，使EF=DE ，连，连 结结CF.DE=EF 、AED=CEF 、AE=ECADE CFEAD=FC 、A=ECFA
6、BFC又又AD=DB BD= CF所以所以 ，四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形DE BC 且且 DE=1/2BC已知：已知：在在ABC 中，中，DE是是ABC 的中位线的中位线求证：求证：DE BC，且，且DE=1/2BC ABCEDFABCEDF常见的常见的三种证法种证法ABCDEEF如果如果 DE是是ABC的中位线的中位线那么那么 DEBC， DE=1/2BC 证明平行问题证明平行问题 证明一条线段是另一条线段证明一条线段是另一条线段的的2倍或倍或1/2用用 途途ABCDE*中点中点想到想到 中线、中位线中线、中位线1.如图如图1：在：在ABC中，中，DE是中位线是中位线 （1
7、）若）若ADE=60， 则则B= 度，为什么？度，为什么？ （2）若）若BC=8cm， 则则DE= cm，为什么？，为什么？ 2.如图如图2：在：在ABC中，中，D、E、F分别分别 是各边中点是各边中点 EF=3cm，DF=4cm，DE=5cm， 则则ABC的周长的周长= cm图1图260424ABCD。EBACD 。E。F543A 。BC 。D。E3. 在在A、B外选一点外选一点C，连结，连结AC和和BC，并分别找出，并分别找出AC和和BC的中点的中点D、E，如果能测量出，如果能测量出DE的长度，的长度，也就能知道也就能知道AB的距离了。为什么？如果测的的距离了。为什么？如果测的DE =20
8、m，那么那么A、B两点间的距离是多少？为什么两点间的距离是多少？为什么？20404.例例:求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形四边形是平行四边形求证：求证：四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形ADCBEFGH证明证明: :连结连结ACACAH=HD CG=GDAH=HD CG=GDHGACHGACAC21HG( (三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线平行于第三边, ,并且等于它的一半并且等于它的一半) )同理同理EFACEFACAC21EFHGEFHGEF且且HG=EFHG=EF四边形四边形EFGHEFGH是平行
9、四边形是平行四边形分别是分别是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点的中点. .已知已知：在四边形在四边形ABCDABCD中中,E.F.G.H,E.F.G.H【例题例题】求证：顺次连结四边形四条边的中点，求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。所得的四边形是平行四边形。ABCDEFGH已知：在四边形已知：在四边形ABCD中，中，E、F、G、H分别是分别是AB、BC、CD、DA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGH是平是平行四边形。行四边形。证明：证明： 连结连结ACAH=HD，CG=GDHG/AC，HG= AC21（三角形中位线定理）（三角形中位线定理）同理
10、：同理：EF/AC，EF= AC21且且EF=HG所以四边形所以四边形EFGH是平是平行四边形行四边形 EF/HG，（1） 如图，如图，AF=FD=DB，FGDEBC，PE=1.5。则则DP= ，BC= BC= 。34.591.5（2 2）已知）已知: :ABC三边长分三边长分别为别为a a，b b，c c，它的三条中它的三条中位线组成位线组成DEF, ,DEF的的三条中位线又组成三条中位线又组成HPN, ,则则 HPN的周长等于的周长等于, ,为为 ABC周长的周长的, , 面面积为积为ABCABC面积的面积的 BCADEFc cb ba a4 41 14 41 11 16 61 1HPN提
11、高练习：提高练习：.3、证明线段倍分关系的方法常有三种：、证明线段倍分关系的方法常有三种：ABCDE中点中点中点中点（1）三角形中位线定理。）三角形中位线定理。ABCD中点中点（2）直角三角形斜边上的中）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。线等于斜边的一半。ABC300（3）直角三角形）直角三角形300角所对的角所对的直角边等于斜边的一半。直角边等于斜边的一半。CD = AB DE = CBBC = ABDCBAHGFE 在四边形在四边形ABCD另加条件另加条件AC=BD， 四边形四边形EFGH是是_，为什么？，为什么？ 在四边形在四边形ABCD另加条件另加条件ACBD，四边形四边形EFGH是是_？为什么？为什么？ 若四边形若四边形EFGH是是正方形正方形，AC与与BD应满足什么应满足什么条件条件？ 1. 连结连结BD 证：证：EH = FG2.连结连结AC、BD ，证：，证：EFHG， EHFG3.连结连结AC、BD， 证：证：EF=HG，EH=FG