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1、高考模拟测试数学试题（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第 I卷（选择题 共 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 知=-1,0,1,2,N=-1,1,则下列结论正确的是（）A.M j NB.McN=(1)C.M u N =M2.已知复数2=+则 z|=（）2 iA.Vi o B.2V23.下列结论塔氓的是（）A.若“Ag”为真命题，则,夕均为真命题.匹“6”是“双2 历2”的充分不必要条件.D.&N=(O,l,2)D.2C.命题“若x=4,则 J 2x 8 =0 否命题是 若X H4,则f 2x 8。0D
2、.命题“V xe R,x2 x 0 的否命题是 勺/e R ,x j /W 0 .4.若函数/（X）的导函数是奇函数，则“X）的解析式可以是（）A./（x）=x+s i nx B./（x）=x3+x2C./（x）=l+c o s x D./（x）=f+l n x5.如图所示，在正方体A B C O -A4 C；。中，O是底面正方形4 B 8的中心，M,N分别是棱。乌 和的中点，则异面直线N。和 AM所成角的大小是（）A.30 B.45 C.60 D.9 06.杭州的三潭印月是西湖十景之一，被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公 元108 9年），
3、每个高2米，分别疏立在水光激潮的湖面上，形成一个每边长为62米的等边三角形，记为 A 4 G，设4 G的边长为田，取 八4,与G每边的中点构成 4与G,设其边长为电，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列 4 ，则%的前6项和为（）19 53 19 53 八 39 37 39 37A.-B.-C.-D.-32 16 32 167.已知s i na=；,且s i n2a 0,使|/（刈x|对一切实数x均成立，则称/（x）为“尸函 数 给 出 下 列 函 数：/（x）=s i n x+6c o s x；/（%）=,二 十】；ev _ 1=其中是“F函数”的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3
4、个1 1 .已知S“是数列%的前项和，q=l,%=2,4=3,数列%+。,用+。“+2 是公差为1的等差数列，则 4 0 =()A.3 2 5 B.3 2 6 C.3 2 7 D.3 2 81 2.已知A,8 为球。的球面上两点，43=2,过弦A B 作球的两个截面分别为圆G 与圆。2,且 O G C2是边长为百的等边三角形，则该球的表面积为（）A.1 2 万 B.1 6万 C.2 0%D.3 6第n卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.1 3 .二项式（犬一_ 1）4 展开式中，系数是.（用数字作答）x1 4 .甲、乙两人购买同一种物品，甲不考虑物品价格的升降，每次
5、购买这种物品的数量一定；乙不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则 的购物方式比较经济（填“甲”或“乙”）.1 5.已知函数/(x)=G s i n(2 x +9)|d b 0)的 离 心 率 为 学，过椭圆C的焦点F作长轴的垂线，交椭圆于点P,且归月=1.(D 求椭圆C的方程；(2)假设直线/：y =依+加 与椭圆C交于A,8 两点.若原点。到直线/的距离为1,并 且 次 砺=/,当2_t 时，求 AQ B的面积S的取值范围.321 .已知函数/(x)=a l n x +x-L(a R).(1)当 2.m m n选考题：共 10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多
6、做，则按所做的第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-4：极坐标与参数方程x-4 +2cosB 八2 2.在直角坐标系xOy 中，曲线G 的参数方程为 c .c(夕为参数)以坐标原点为极点，x 轴的非y=2sinp负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G 的极坐标方程为夕=2 c o s 氏(1)将 G 的方程化为普通方程，将方程化为直角坐标方程；(2)已知直线/的参数方程为 x=2+t.cosa(-ng a b c2，的充分不必要条件.C.命题“若x=4,则2 x 8 =0”的否命题是“若 无。4,则22X-8 H 0”.D.命题“V x R x2 x 0”的否命题是 勺
7、/G R x(i (/，不能推出“加、2%2 ，不能成为充分条件，判断错误；选项C:命题“若x=4,则f _ 2 x 8 =0”的 否 命 题 是 若 则22X 8#0”.判断正确；选 项D：命题“V xeR,%2 _%0，的否命题是“加 /?,片-XoO”判断正确.故选：B4.若函数/(x)的导函数是奇函数，则/(x)的 解 析 式 可 以 是()A./(x)=x+s in x B./(x)=x3+x2C./(x)=l +c o s x D./(x)=x2+l n x 答案C 解析 分析 分别对四个选项中的函数求导，再利用函数奇偶性的定义判断即可得正确选项.详 解 对 于A：由/(x)=x+
8、s in x,得,f(x)=l +c o s x定 义 域 为R关 于 原 点 对 称，/(一x)=l +c o s x=7(x),所 以/(x)=l +c o s x是偶函数，故选项A不正确：对于B：由/(x)=d+f,得/(耳=3/+2%,定义域为R关于原点对称，r(-x)=3 f-2 x,/(-I)。/，/(-I)/-/。)，所 以:(耳=3%2+2既不是奇函数也不是偶函数，故选项B不正确；对于C：由x)=l+c o s x,得/(x)=-s i n x是奇函数，故选项C正确；对于D：由x)=x 2+i n x,得/，(x)=2 x+L 定义域为 x|x 0不关于原点对称，f(x)=2x
9、+-XX既不是奇函数也不是偶函数，故选项D不正确:故选：c.5.如图所示，在正方体ABC。A与G A中，0是底面正方形ABC。的中心，M,N分别是棱0和4 A的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是（）A.30 B.45 C,60 D,90 答案D 解析 分析 取A。的中点。1,连接。a，AI-由异面直线N。与AM所成角即为a a与AM所成角求解.详解 如图所示：取A。的中点。连接。，a a，易知N O,所以异面直线NO与AM所成角就为4。与AM所成角，因为。-M分别是正方形A D D M的边AD,的中点，所以由正方形知识可知4。1，AM ,所以异面直线NO与AM所成角的大小为90.故选：D
10、6.杭州的三潭印月是西湖十景之一，被誉为“西湖第一胜境”，所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公 元1089年），每个高2米，分别疏立在水光激潮的湖面上，形成一个每边长为62米的等边三角形，记为人旦G，设A M G的边长为外，取A qG每 边 的 中 点 构 成 设 其边长为出，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列 4 ,则 4 的前6项和为（）1953 1953 人 39373937A.-B.-C.-32 16 32 答案B 解析 分析 由等比数列求和公式可得答案.详解 由题意可知这是一个首项为q=6 2,公比q=g的等比数列，甘“4币,切。4（1一小）1953其
11、刖6项的和Sh=-=-6-q 16故选：B.7.已知sina=；,且sin2a 0,则 tan（乃一a）的值为（）A.晅 B.巫 C.V1515 15 答案A 解析 分析 根据二倍角的正弦公式得到c o s a 0,再根据同角三角函数的基本关系求出cosa,t a n a,再根据诱导公式计算可得；D.-J15：V sin2cr 0,2sinacosa vO,又 sin a =一4cos a-5/l-sin2 a=一 4sin a V15tan a=-=-cos a 15.tan-a)-a n a =姮)15故选：A8.已知圆C:（x 2+丁=1,直线=在-1 上随机选取一个数九则事件“直线/与
12、圆C相离”发生的概率为（）R2-V 2D.-2C 2-G.-T 答案I D 解析 分析 先求出直线/与圆C相离时k的取值范围，再以几何概型方法求解即可.详解（x-2）2 +：/=1的圆心（2,0）,半 径 为1,2 k圆 心C到直线y=kx的距离为-,-1 1 ,J 1+一当且仅当一即一左走 时，直线与圆不相离,V 1+P 3 3所以在左e l,1,直 线y =丘 与 圆（x 2）2+丁=1相离的概率为在JR311-(-1)3-7 3 .3I 3 J故选：D9.已 知 平 面 向 量 丽，而满 足。4 =。8 =2,O AO B=-2,点。满 足 方=2诟，E为a A O B的外心，则 砺.访
13、 的值为（）8A.一3 答案A8B.一3C 16C.-31 6D.3 解析 分析 利用向量的数量积求得N A 0 6 =半，以。为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.uiruunuir uunuuruui 详解Q OA =OB=2,OA ,O B =OA -OB c o s Z.A OB 4 c o s A A O B 2,cos Z A O B =-,Z A O B =,2 3以。为原点，04垂 直 于0 A所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，如图所示,则 0（0,0）,A（2,0）,B（-1,V 3）,设 O（x,0）又 方=2而,知（2 x,0）=2（x,0）,解得
14、x =g,又E为AAQB的外心，.4。后=1/4。8 =三，O E =EA2 3/.Z A O E =Z E A O =Z O E A=|,.A O E为等边三角形，（L 6）,.丽=（-：,-同，.O百 同=_|.故选：A1 0.设函数x)的定义域为R,若存在常数加0,使|/(x)归根W对一切实数X均成立，则称/(力 为“F函 数 给 出 下 列 函 数：/(力=X 2；/(x)=s i n x+G c o s x；/(%)=2 j；=其中是“产函数”的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案C 解析 分析 若/。)=/，则甯1=1划(x N O)没有最大值，故/1(X)不是?
15、函数；当尤=0时，/(0)=囱，此时l/(x)l,M|x|不成立，故f(x)不是尸函数；|/(力|忘孑耳，所以是F函数；|/(力 归 总 成 立，是尸函数.详解 解：若/(x)=X2,则邛%=1 x l (x N 0)没有最大值，则不存在M使 半 平,M成立，故/(x)不x|x|是产函数:若/(x)=2 s i n(x +,则当x =0时，/(0)=V 3 ,此时(x)I”I灯 不成立，故f(x)不是尸函数;由/(0)=0,且xwO时，x+x+Xfv+lY+2,显然|/(x)|w g|x|，；是 月函数;X+2)+4 e*x _ i x i _ e，2由题得一=-/,所以“X)为奇函数，且y(
16、x)=i 丁2 ev2 ,2 1-S 二 +2-4 2,esJ(x)/(O)1 /(x)0 1所 以J、八 一,所以0时，/(x)0,当了 0时，/(x)0 ,故/30 ,所以牛=牛(即|“尤)|/3 sin 2x+(p且为偶函数,7 C 7T _ _ -所以 1 +9=5 +左 肛%e Z因 为 冏1,所以/=94所以/(x)=G si n 2 x +?),所以，看)=6s i n 2x/+?)=G s i n?=?-3故 答 案：216.我国南北朝时期的数学家祖胞提出了计算体积的祖晒原理：“事势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的
17、体积相等.如图，阴影部分是由双曲线2丁=1与它的渐近线以及直线旷=士百所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，如用与X轴 相 距 为 且 垂 直 于)，轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为.；这个旋转体的体积为 答案 .34 .6岳 解析 分析(1)由题知截面为一个圆环，其内径为2百，夕卜径为2)3+3炉，即求；(2)根据祖咂原理，该旋转体的体积与底面积为3万，高为2 8的圆柱的体积相等，即求.详解(1)该双曲线的渐近线为=定,则直线y=m 与渐近线交于点A G百 ,)，3(百,)，与双曲线交于点 c(-V 3+3h2,h)，)(7 3+3/i2,/?)，则旋转体的截面应为
18、一个圆环，其 内 径=2 ，外径C D-2出+3层，故截面积为3万；同理可得，作直线丁 =-力，也可得截面积为3万；(2)根据祖晅原理，该旋转体的体积与底面积为3%,高为2百 的圆柱的体积相等，故其体积为6 6 膜故答案为：3乃；6A/3T T-三、解答题：第1721题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.1 7.如图所示，在四棱锥P-A 3 C D 中，PC J_底面ABC。，A B Y A D,ABCD,A B =2 A D =2 C D 2,E 是尸8 的中点.求证：CE 平面P 4);(2)若 PC =2,求二面角P A C 的余弦值.答案(1)证明见解
19、析&-3 解析 分析(I)在平面丛。内，找到与CE平行的线，从而可证；(H)根据几何关系分析得出NPCE即为二面角的平面角，余弦定理即可解决.小 问1详解证明：取2 4中 点 连 接EM,DM，如图，则由中位线可知又8 A 3,故E M|C Q,而E M=LAB=C3,2四边形EMDC是平行四边形，C E|O M,又C E a平面PAO，9 0匚平面4。，,点 平 面PAD.小问2详解：PC_L 平面 ABGD,故 PC_LAC.在直角梯形A3C中，AB=2,8=1,ADA.ABAC=BC=yl-V AC2+BC2=AB2，,AC _ 13c.，AC_L平面PBC,ECu平面尸B C,则EC_
20、LAC,又P C,底面ABC。，ACu平面P 8 C,则P C L A C,由二面角的定义可知，NPCE即为二面角6 6I4 H-2/zP AC E 的平面角，又 PC=2,CE=PE，由余弦定理，cos ZPCE=-=-=22x2x逅娓3218.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知tanA=咛 。，且2c=点 人1-V2 cosC 求2；a(2)若aABC的面积为，空，求边长4 答案 也2(2)2 解析 分析(1)由 生a =中n C 得72 sin(A+C)=sin A,再由正弦定理可得答案;cos A 1-J 2 cosc”与c=a,由余弦定理得co sC,然后平方
21、关系得到sin C,再利用面积公式可得答案.2 小 问1详解,/2sinC/口 sin A V2sinC由tanA=-，得-=尸-1-V2 cosC cos A 1-/2COSC即 sin A-V2 sin Acos C=41 sin Ccos A，/./2 sin(A+C)=sin A,A+C=TT-B,2 sin B=sin A，由正弦定理，可得 J，Z?=Q，B P =a 2 小问2详解,：b=,2 22 a2 3a2矿+万 一7 3近2ab2.凡228*.sin C=V 1-cos2 C=8而inC=叵/S216又 SASCV23./23-,-416/=叵4片=4,；。=2即边长a=2
22、1 9.2 0 2 1 年 1 0 月 2 8 B-2 9 B,第十六届“中国芯”集成电路产业促进大会在珠海隆重举行.本届大会以“链上中国芯成就中国造”为主题，共同探讨中国半导体产业风向，为国内集成电路企业实现关键技术突破提供了驱动力.某科技公司拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x （亿元）与科技升级直接纯收益）（亿元）的数据统计如下：序号i234567Xi3571 11 31 6y1 93040445 05 35 8（1）若用线性回归模型拟合y与x关系，求 y关于x的线性回归方程（精确到0.0 D；（2）利用（1）得到的回归方程预测该科技公司科技升级投入30 亿元
23、时的直接纯收益.7 7 7参考数据：X M =2 9 4,Z xiyi=2 7 8 4,工 X,2=6 30.i=/=1 x -n x y参考公式：5 =与.-,舍=7一幅片-,答案(l)y =2.37 x+2 3.()l；(2)9 4.1 1 亿元.解析 分析 根据表格中的数据计算 7的值，再代入公式计算和“的值，即可得关于x的线性回归方程;（2）将 x =30 代入回归直线方程求出y的值即可求解.小 问 1 详解设 y关于x的回归方程为=队+机由题意可知,-1 +3+5 +7 +1 1 +1 3+1 6 x=-=8,7-1 9 +30 +40 +44+5 0 +5 3+5 8y =-=4
24、2，77 7因为Z x 7 y =2 7 8 4,=6 30,i=li=所以匕=7 _-7 x y/=17 一，AT/=1.*,A鼻旦2.37 4,6 30 -7 x 82 1 8 2所以 a =y /?x =42 2.37 4x 8 2 3.0 1，所以了关于x的回归方程为y =2.37 x+2 3.()L 小问2详解由 知：y =2.37 x+2 3.0 1，当 X =30 亿元时，y =2.37 X 30+2 3.0 1 =9 4.1 1 亿元，所以该科技公司科技升级投入30亿元时的直接纯收益约为9 4.1 1亿元.2 0.在平面直角坐标系x O y中，椭圆C：5+A =l(a b0)的
25、离心率为它，过椭圆C的焦点F作长a b 2轴的垂线，交椭圆于点P,且 忸 月=1.(1)求椭圆C的方程；(2)假设直线/：y =+m与椭圆C交于A,B两点.2t 0,设 A（w，y）,B（x2,y2）,则4kmXi+Xy-Z1-2k2+2m2-41-2k2+且 NiM=（依i+，）（g+m）=炉%/+5?（+x2）+m2J.OAOB=百+y%=（1 +k，）x2+km（X +x2）+m2=（2川+4）（1+巧 4a27n2 2 _+l2k2+1 2k2+l+m 2k2+12 +2由一上解得公41，.（）公12k2+1 3 1阴=一 八1 1 1 1 J 2k2+1 2k2+1.L B=3X1X
26、|A B|=0 点睛 直线与椭圆相结合，求三角形面积的范围问题，通常处理思路是设出直线方程，与椭圆方程联立后运用韦达定理表达出弦长或者三角形面积等，利用基本不等式或二次函数等知识求范围.21.已知函数/(x)=alnx+x-4(aeR).当a2.m m n 答案J（l）答案见解析；（2）证明见解析.解析?+nx+1 分析（1）求导得到fx）=，再对分两种情况讨论得解：XI n n m（2）由（1）得x l时，-2 1 n x +x一一0恒成立，即得一 2 1 n +-0,化简即得证.x m m n小 问1详解解：易知“X）的定义域为（0,+8）,口、1 a,X2+ax+l且/（x）=+1 =-
27、j一X X X由 =/一4 =0得。=2,或。=一21。当一2。0时，x?+公+1 2 0恒成立，./（X）在（0,+8）上是增函数；2。当。一2时，由 /+=0得=.Ja-42-a-yJ a2-4 -a+J a2-4记玉=-2-*2=-，当0%玉或了莅时，r（x）o,当匹x 3时，r（x）o,./（同 在（0,%），（.,+8）上是增函数，在（西,七）上是减函数综上所示，当-2 V a 0时，/（X）在（0,+8）上是增函数；当2时，/在,，土经I,工上是增函数，7 7.f -a-a1-4 -a Z f -4 1 口、小,共在-，-上是减函数.2 2 7 小问2详解解：取4 =一2,由（1）
28、知/（X）在（0,+8）上是增函数，且/（1）=0,；.X 1 时，/（x）0,即X 1 时，-2 1 n x+x-0恒成立，X,n L 八 人-21 1 H m e由 e=,且 7 2 0,知 1,-2 I n I-0,m m m m nrr-y i m I I即一2(m +)+：_竺-0,又由m+0,得一2 +-0即-2.mn mn m n选考题：共 10分，请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-4：极坐标与参数方程x =4 +2 c o$,82 2.在直角坐标系x O,，中，曲线G的参数方程为 一 ；
29、(夕为参数).以坐标原点为极点，x轴的非y=2sinp负半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为。=2 c o s 0.(D将G的方程化为普通方程，将方程化为直角坐标方程；x-2 +tcosa j r j r(2)已知直 线/参 数 方 程 为 ，为参数，且 七0),/与G，。2分别交于A,By=tsina 2 2两点，且|A 5|=3,求a的值.答案(l)(x _ 4/+y2=4,(x-l)2+y2=l兀 4 K(2)a=或。=3 3 解析 分析(1)根据参数方程和普通方程及直角坐标方程的转化进行求解；(2)将直线的参数方程分别代入G，G求出/八，4后根据|A B|=3求出a的值.小 问
30、1详解x =4 +2 c o s c ,、2 、由G的参数方程为 6 介(/为参数)，知G的普通方程为：(x 4)一 +丁2=4,由C,的极坐标y=2sinp /方程为 =2 c o s 6,得G的直角坐标方程为：(x l +y 2=l；小问2详解1x =2 +tcosa 兀 7 i将/的参数方程为 (一一 a v-,f为参数，且/。0),y=tsina 2 2代入 C 的方程：(/c o s a-2)2 +t2sin2a=4,化简得广一 4化o s a =0(r w O),tA=4cosa,同理j二-2cosa/.|AB|=|Z4-tB=6cosa,又|阴=3,J|cosa|=g,1 (7
31、1 7l/.C0S(7=,C C G ,2 I 2 2 j a =或a =-.3 3选修4-5：不等式选讲2 3.已知函数/(%)=憎+1|+,一 一a.(1)当a=l时，求不等式/(x)W 2的解集;(2)若函数g(x)=|x-a|+|x+3,若存在玉e R,对任意右尺，使得“为)g(马)成立.求实数a的取值范围.答案 J3(2)4 解析分析(1)根据绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号求解;求 得“X)的最小值，再求得g(x)的最小值，解不等式“X%W g(x%n可得.小 问1详解当a=l时，/(X)=|2X+1|+|A：-1|-1,由/(x)W 2,即|2x+l|+|x-l|W3,令/?(x)=|2x+l|+|x-l|=3x,x 2C 1 1x+2,x I当X一L时、由一3 x 3得一 1元一；2 2当 x l时，由x +2 3得 x l；2 2当工2 1时，由3 x 3得x =l；所以(x)W3的解集为：x|-l x l;小问2详解若存在%/?,对任意eR,使得X 1)Wg(X 2)成立，即/(%*1,Wg(w)m i n-由(1)知：/(x Jm i n=|-a，g(A2)=|x2-a+x2+3|(X2-)-(X2+3)|=|+3|由即 5-。可。+3|,33 、解得aN-一，即实数a的取值范围为a w -y,+o o .4L 4)