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1、人教版 义务教育教科书数学六年级上册介绍人民教育出版社、课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心研制出版的 义务教育教科书数学（一六年级）是 义务教育课程标准实验教科书 数 学（一六年级）（以下简称实验教材）经修订后形成的一套新教材。实验教材以 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称 标 准（实验稿）的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结以往九年义务教育小学数学教材研究和使用经验的基础上编写的。实验教材从2001年秋季开始使用，经过国家级实验区和省级实验区实验使用证明，这是一套我国城乡广大地区普遍适用的小学数学教材。从2011年7月开始，实验教材的编写者根据新颁布的 义务教育数学
2、课程标准（2011版）（以下简称 标 准（2011）对实验教材进行了全面而系统的修订，形 成 了 义务教育教科书数学（一六年级），于2013年3月全部通过国家基础教育课程教材专家工作委员会的审查，并已于2012年秋季开始陆续替换实验教材。义务教育教科书数学六年级上册的修订，仍然坚持在体现新理念的同时注意具体措施的可行性和处理好继续与发展的关系两大基本原则,力求使修订后的教材具有创新、实用、开放的特点。教材所选择的学习素材尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系；教材内容的呈现努力体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用过程；注重引导学生进行自主探索与合作交流，
3、并关注对学生人文精神的培养；注重调动教师的主动性和积极性，便于教师进行创造性教学。本册教材包括下面一些内容：分数乘法，分数除法，比，百分数，圆，位置与方向，扇形统计图，数学广角，综合与实践等。在数与代数方面，这一册教材安排了分数乘法、分数除法、比、百分数4个单元。分数乘法和除法是在前面学习整数、小数有关计算的基础上进行教学的，重在培养学生分数四则运算能力以及解决有关分数的实际问题的能力。分数四则运算能力是学生进一步学习数学的重要基本技能，应该让学生切实掌握。比的初步知识是在学习了除法、分数等知识的基础上教学的，比在生活中有广泛应用，同时是后面学习圆周率、百分数、比例等知识的基础。百分数在实际生
4、活中有着广泛的应用，理解百分数的意义、掌握百分数的计算方法，会解决简单的有关百分数的实际问题，也是小学生应具备的基本数学能力。在图形与儿何方面，这一册教材安排了位置与方向、圆两个单元。位置的教学在己有知识和经验的基础上，通过丰富的现实的数学活动，让学生经历知识的形成过程，理解并学会用距离和方向表示位置；通过对曲线图形圆的特征和有关知识的探索与学习，初步认识研究曲线图形的基本方法，促进学生空间观念的进一步发展。在统计方面，本册教材安排的是扇形统计图。在前面学习条形统计图和折线统计图的基础上，学会看懂扇形统计图，认识扇形统计图的特点，进一步体会统计在生活和解决问题中的作用，发展数据分析观念。在用数
5、学解决问题方面，教材结合分数的乘法和除法、比、百分数、圆、统计等知识，教学用所学的知识解决生活中的简单问题，培养学生的发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。在数学思想方法方面，教材除了结合分数的乘法和除法、比、百分数、圆、统计等知识，让学生体会、理解和掌握归纳法、类比法、演绎推理思想、转化思想、数形结合思想、统计思想等思想方法外，还安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、推理等活动，理解和掌握数形结合思想、归纳法、演绎推理思想、极限思想，体会运用数学思想方法解决问题的有效性、优越性，发展学生的四能。本册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个数学综合与实践主题活
6、动,让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学应用意识和实践能力。如前所述，这套教材的实验教材是以 标 准(实 验 稿)的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结以往九年义务教育小学数学教材研究和使用经验的基础上进行设计的。在使用十年后，2012年在总结10年实验与使用经验的基础上，根 据 标 准(2011)提出的新要求，广泛听取并吸收小学数学教师和教研人员的意见和建议，对实验教材进行了系统、细致的修订。通过教材的修订，我们期望使本套小学数学教材的内容质量得到全面提升，体现数学的价值，体现时代精神与科技
7、进步，渗透社会主义核心价值体系；使教材结构更为科学合理，符合学生学习数学的认知规律，减轻学生课业负担，增强学生学好数学和会用数学的信心，获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，初步形成发现、提出、分析和解决数学问题的能力；使教材的风格和特色更加鲜明，将数学学科体系严谨性与学生自主学习的开放性有机结合，更好地促进教育教学活动，初步培养学生严谨求实又勇于探索创新的科学精神，更加符合实施素质教育的要求；使教材的版面设计清爽美观，图文并茂配合切当，装帧精美，文字准确并适合于小学生阅读。修订后的教材，既具有原实验教材的主要特点，同时又呈现出一些新的特色。
8、1.改进分数乘、除法的编排，加强学生对数学本质的理解，培养学生的应用意识、分析问题和解决问题的能力。分数四则运算的知识和技能是小学生应该掌握的基础知识和基本技能。分数四则运算在计算方法上与整数、小数计算有一定的区别，在算理上比整数、小数计算稍显复杂，所以学生理解和掌握起来更困难一些。分数的加法和减法，在计算方法上与整数、小数的加法和减法虽有区别，但是在算理上与整数、小数的加、减法又有联系，都是相同单位的数才能直接相加、减。为了突出这一共同的规律，加之学生已学习过简单的同分母分数加、减法，所以，在五年级下册，教材将分数的加法和减法安排在同一单元里穿插教学。分数的乘法和除法有密切的联系，教学分数除
9、法需要有分数乘法作基础；而且分数乘、除法的内容比较多，学生理解它们的算理也更为困难些；因此，在原实验教材把分数乘法和分数除法分2个单元的方式进行编排的基础上，本套教材拆分为3个单元进行编排，即分数乘法、分数除法、比。在具体编排上，前两个单元都先结合实际问题教学每种计算的算理和算法，比这一单元先结合情境教学比的意义和性质；然后解决一些含有特殊数量关系和联系实际的问题。通过解决实际问题，理解这类问题的数量关系，在掌握解题思路和方法的同时，进一步加深学生对分数乘、除法的理解。这样编排，重点突出，比较有利于学生理解和掌握分数乘、除法的算理、算法和实际应用。由于倒数是学习分数除法的基础，因此本套教材把倒
10、数的认识移至分数除法单元，加强了知识之间的联系。考虑到分数除法单元的容量及比的内容的重要性、独立性，本套教材把比的内容独立设置为一个单元，安排在分数除法单元之后，教学比的意义、性质和应用。这样编排有两点好处：第一，比和分数、除法有密切的联系，两个整数相除(除数不等于0)可以用分数表示它们的商，也可以说成两个数的比，两个数的比也可以用分数形式来表示。加强比和分数的联系，可以加深学生对分数的意义的理解和对比的认识，还可以提高学生灵活运用知识解决简单实际问题的能力。第二，比的概念的教学，可以为后面教学圆周率、百分数、统计等打好基础。例如，学生有了比的概念，就容易理解百分数为什么还可以叫做百分比。与整
11、数、小数的计算教学相同，分数的乘法和除法的教学，同样要体现计算教学改革的新理念，即重视理解算理和算法、让学生自主探索、加强运算能力、培养四能等。因此，本套教材的编排与实验教材相比有以下儿方面的改进。(1)加强分数乘法、分数除法意义的教学，让学生通过解决实际问题，结合具体情境和计算过程去理解运算的意义。(2)通过实际问题引出需要用分数乘、除法计算的问题，让学生在现实情境中探索、理解分数乘、除法的算理和算法。（3）加强儿何直观，借助操作与图示，引导学生探索并理解分数乘、除法的算理和算法。对分数乘、除法计算方法的探索与理解，历来是教学的难点。教材根据学生的思维特点，设计了涂色、折纸、画线段图等活动，
12、采用手脑并用、数形结合的策略加以突破，为学生探索与交流提供更多的空间。最后出现文字叙述式的计算法则，使学生在理解的基础上掌握。（4）加强分数四则运算的编排，增加小数、分数的混合运算，培养运算能力。（5）加强了分数乘、除法应用问题的编排，增加问题解决的例题和形式，注重培养学生用数学解决实际问题的能力。用分数乘、除法解决问题以往也是小学数学教学的难点教学内容，本套教材的编排，根据 标 准（2 0 1 1）的要求，一方面加强联系实际，选取了在日常生活中经常遇到的实际问题进行分析，培养学生的应用意识；另一方面增加问题解决的例题数量，进而达到培养学生的四能的目的。2.改进百分数的编排，加强知识的整合、迁
13、移和联系实际，培养学生的应用意识。百分数是用来表示一个数是另一个数的百分之儿的数，通常也叫做百分率和百分比。由于百分数的分母化一，便于比较，因此，在工农业生产、科学研究以及日常工作中有着广泛的应用。有关百分数的教学内容较多，如它的意义与写法、它与小数、分数的互化、它在实际中的应用，等等，所以本套教材把百分数拆分成两个单元进行教学，分别编排在六年级上、下册，本册百分数的内容包括百分数的意义，百分数与分数、小数的互化，解决与应用分数问题类似的百分数问题。折扣、成数税率和利率等百分数的应用则安排在六年级下册。由于解决含有百分数的实际问题在解题思路和解答方法上与解决分数问题基本相同。因此，教材在这些方
14、面没有用较多的例题来教学，只对求百分率的问题，求增加百分之几、减少百分之儿的问题适当举例加以教学，并加强百分数实际应用方面的教学。例如，结合求百分率，出现求达标率、发芽率等的计算（还提示了出勤率、合格率、出粉率）。同样，百分数这部分教材的编排注意体现当前数学教学改革的新理念。首先，加强数学知识与生活实际的联系。随着我国经济生活的不断繁荣，数学知识的广泛应用，百分数的实际应用也日益广泛。所以，这一单元的编排，教材选取了较为丰富的、贴近学生生活又富有时代气息的素材。例如，百分数意义的教学，教材用主体图的形式列举了大量当前实际生活中百分数应用的实例；“百分数与分数的互化”的编排，教材采用解决实际问题
15、方式引入互化的教学，使学生体会互化知识的实际应用。这样的编排，使学生在联系生活实际中认识百分数，理解百分数的意义，感受百分数在生活实际中的应用，有利于形成学生对数学价值的正确认识，提高学生用数学解决问题的能力。其次，加强了教学的探索性和开放性。教材注意利用合适机会设置有效的数学活动，让学生通过自主探索，体会、理解百分数的知识。例如，百分数意义的教学，在列举了生活中百分数应用实例的基础上，教材通过小精灵提出要求，让学生自己试着说一说这些百分数的应用和具体含义，使学生在自主探索、讨论交流中体会和理解百分数的含义。又如，教学求百分率的实际问题时，在探索了命中率的含义和求法的基础上，教材还放手让学生自
16、己探索如何求出出勤率、发芽率、成活率等。既拓展了学生所学的知识范围，加深学生对百分率知识的理解；又培养了自主探索的良好学习习惯。3.在图形与几何方面，注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展。小学阶段图形与几何教学的主要目标是发展学生的空间观念，与前几册一样，本册教材继续把促进学生空间观念的发展作为图形与儿何内容编排的研究重点。在教学内容方面安排了“位置与方向”“圆”两个单元。“位置与方向”的教学内容是第一学段相应教学内容的扩展和提高。学生在中年级“位置与方向”单元学习了八个方向。本册教材在上述学习的基础上，教学在平面内可以根据方向和距离这两个条件确定物体的位置。使学生初步能从方位的角度
17、观察周围的事物，通过教学促进学生空间观念的进一步发展，为中学学习“图形与坐标”打好基础。教材的编排，首先注意了利用学生已有的知识和经验，设计一组联系实际的在我国东南沿海经常发生的台风移动的实际情境，将具体的情境数学化，抽象成学习如何在平面图上根据方向和距离确定位置，帮助学生理解用方向和距离确定位置的方法。另一方面，注意呈现丰富的生活情境和现实素材.，帮助学生掌握用方向和距离确定位置的方法。例如，可以带领学生在操场上进行实地测量，确定一个位置，然后以它为中心测量各个建筑物的方向和距离，画出平面图。使学生在综合运用所学知识解决问题的过程中，加深对用方向和距离确定位置内容的理解，体会数学知识之间的联
18、系，锻炼空间想象的能力。圆是一种曲线图形，它同直线图形有不同的特点。在本册之前各册教材出现的平面图形都是直线图形。所 以“圆”的教学是学生系统认识曲线图形特征的开始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但只是直观的认识，本册的教学要认识圆的特征、圆的周长和圆的面积等。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。在这一单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形的初步知识探讨圆的轴对称特点，使学生关于轴对称图形的知识系统化，从而更好地发展学生的空间观念。教材在编排上加强
19、了启发性和探索性,注重动手操作，让学生在自主探索的活动中通过交流、思考来探究圆的特征、圆的周长和面积的计算方法。例如，教学圆的面积时，教材启发学生自己寻找解决问题的思路和方法，回忆以前用过的转化方法，化曲为直，从而把圆的面积转化为学生熟悉的直线图形的面积来计算，同时让学生体会极限思想。与实验教材相比，本套教材增加了扇形的初步认识，认识弧、圆心角、扇形等概念，为扇形统计图的学习打下基础。教材还注意通过介绍圆周率的史料，渗透数学文化和爱国主义教育。4.加强统计知识的教学，发展学生的数据分析观念，逐步形成从数学的角度进行思考问题的思维习惯。通过前面五年的数学学习，在统计与概率方面，学生已经掌握了一定
20、的知识，形成了一定的能力，积累了一定的经验。本册教材安排的是关于统计知识的教学，即教学扇形统计图的知识。通过教学使学生认识扇形统计图的特点和作用；能从扇形统计图中获取有价值的数学信息：加强各种统计数据和统计图的比较，并能根据数据的不同特征，选择适当的统计图或统计表来反映现实数据、分析数据、判断决策、解决问题。教学中学生同样要经历简单的数据收集、整理、描述、分析的过程，并要根据统计数据分析的结果做出简单的判断和预测，以便更好地理解统计知识在解决问题中的作用，形成良好的数据分析观念。在教材的具体编排上，一是注意与先前学习过的统计知识的联系，帮助学生理解扇形统计图的特点和作用。例如，注重与学生已经学
21、习过的条形统计图和折线统计图的联系。通过各种统计图特点及作用的对比，引导学生认识扇形统计图的特点和作用。二是注意挖掘生活中的数学素材，凸显统计的实用价值。教材在素材选取方面，注重从生活、生产中选取，努力挖掘学生身边的相关数学元素，这样不仅拓宽了学生数据收集的渠道，也凸显了统计与生产、生活密切的联系，使学生体会到统计的实用价值。例如，教材所选素材涉及到体育、营养、环保、人口、通讯、网络等方面，扩大了学生处理信息的范围，更好地体会统计知识和方法在实际生活中的作用，有利于发展学生的数据分析观念，形成从数学的角度思考问题的良好习惯。5.加强数学思想方法的教学，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。数学
22、思想方法在数学学习中有着重要的地位和作用。本套教材加强了思想方法的编排和教学，除了在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践这四个领域加强思想方法的编排外，还在每册教材中单独设计数学广角单元，体现各种思想方法。数学思想方法不仅可以使学生提高学习数学的效率和水平，而且还能有效地提高学生的逻辑思维能力，进而奠定发展更高素质的基础。因此，培养学生掌握数学思想方法是数学教学要达到的重要目标之一。本套教材总体设想之一是：系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。通过教学使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探索、解决数学问题的兴趣与方
23、法，逐步发展数学思维能力。据此，在本册教材的“数学广角”单元，安排了“数与形”，通过教学，使学生体会数形结合思想的直观性，激发学生对数学的学习兴趣，促进学生推理能力的发展，培养学生观察、分析、推理以及解决问题的能力，以及探索数学问题的兴趣。用数学解决问题能力的培养是义务教育阶段数学课程的重要目标之一，因此解决问题教学在数学教学中有着重要的作用。它既是发展学生数学思维的过程，又是培养学生应用意识、创新意识的重要途径。与前面几册教材一样，本册教材仍然注意将解决问题的教学融合于各部分内容的教学中，通过各部分内容的教学培养学生用数学解决问题的能力。同 时 在“数学广角”单元以及数学综合运用活动中，加强
24、了综合运用知识解决问题的教学，使学生逐步提高数学思维能力和解决问题的能力。本册教材设计了“确定起跑线”和“节约用水”两个数学综合实践活动，让学生通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的数学知识和方法(如圆的周长知识、百分数的实际应用等有关知识)，动手实践解决问题，体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高学生的实践能力和解决问题的能力。6.情 感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机。本套教材继续强调对学生情感、态度和价值观的培养，全面提高学生的素质。小学高年级学生已经具有了一定的知识和生活经验，对自然与社会现象有了一定
25、的探求欲望，此时需要教育者进行有目的的启发与引导。在数学教学中，就是要通过数学学习活动，使学生形成丰富的情感、积极的态度和正确的价值观，这同样是学生学习、生存和发展的重要基础。本册教材不仅内容涉及数学教学内容的各个领域，为学生探索奇妙的数学世界提供了丰富素材,而且注意结合教学内容安排了许多体现数学文化的阅读材料、数学史实等，使学生的数学学习活动丰富多彩、充满魅力。这些都有助于学生初步认识数学与人类生活的密切联系，了解数学的价值，激发学生学习数学的欲望。(1)提供丰富的培养学习数学兴趣爱好的素材。考虑到学生年龄的增长、视野的扩大等因素，实验教材注意选择知识内容深刻、内涵更丰富的教学素材，使学生在
26、学习数学的同时，受到情感、态度、价值观的熏陶。例如，在“比的应用”小节里，通 过“你知道吗”介 绍 的“黄金比”的知识和以“黄金比”设计的艺术品、建筑物等；数 学 广 角“数与形”蕴涵了重要的数形结合的思想方法；数学综合与实践“节约用水”中渗透环境保护意识，等等。简洁、巧妙的解决问题策略中闪烁着数学方法的奇妙。严密的逻辑推理、精确的计算、形式完美的原理与规律，都潜移默化地让学生体会到数学所特有的形式美、结构美和方法美，这些都有利于激发学生学习数学的兴趣，形成稳定的探索数学的动机。(2)注意反映数学与人类生活的密切联系以及数学的文化价值。与前儿册教材一样，本册教材仍然注意采用阅读材料的形式，结合
27、教学内容编排一些有关的数学史料，丰富学生对数学发展的整体认识，培养学生探索数学、学习数学的兴趣与欲望。如安排了多个“你知道吗”“生活中的数学”。介绍了现实生活中数学知识的应用、古代数学家的故事等等。这些内容不仅可以使学生对数学本身产生浓厚的兴趣，激励他们扩大知识面和进一步探索研究的欲望，而且对学生具有陶冶科学情操和培养科学精神的作用。(3)通过自主探索的活动，让学生获得学习成功的体验，增进学好数学的信心。结合学生的年龄特点和教学内容，本册教材设计了很多需要学生自主探索的活动，例如，探究圆的周长时，让学生采用围一围、滚一滚的方法先测出周长的数值，在此基础上再引导学生探究周长与直径的关系，得到圆的
28、周长的计算公式。同样，圆的面积计算公式的推出，让学生小组合作，通过动手剪切、拼贴，从 而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。让学生有更多的机会应用数学知识，进行自主探索的实践，并通过这些活动获得自己成功、能力增强等良好体验，从而逐步增强学好数学、会用数学的信心。下面按教材的顺序就每一单元的内容作一个简要的介绍。第一单元分数乘法一、教学内容1 .分数乘法的意义2 .分数乘法的计算3 .利用分数乘法解决相关实际问题。二、教学目标1.使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展；理解和掌握分数乘法的计算方法,会计算分数乘整数、分数、小数；能运用乘法运算定律进行一些简便计算。2.使学生经历分数乘法计算
29、方法的探索过程，经历应用分数乘法解决简单实际问题的过程，进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的能力，发展初步的合情推理和演绎推理的能力。3.使学生感受知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流学习的能力，建立学好数学的信心。三、主要变化与具体编排（-）主要变化1 .进一步厘清分数乘法的意义。分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展，二者在本质上完全一致，只是在表述方式上有所区别。例如，如果脱离情境，在抽象的层面上讨论“5 X 3”，它既可以表示5个3相加，用 倍”的语言来描述就是“3的5倍”；也可以表示3个5相加，同样可以说成“5的3倍”。类似地，如果以这样的方式来讨论“3义”，它既可以表示
30、3个相加，即“的3倍”；也可以表 示“3的”。从表面上看，“一个数的几分之几”是一种全新的表述，但实际上，它只是省略了“3的倍”中 的“倍”字，把“一个数的儿倍”扩 展 到“一个数的儿分之儿”。从另一个角度看，“3的”和“个3”表示的意思完全相同，例如，一根绳子长3 m,“它的长多少米”和“根绳子长多少米”说的是一个意思。因此，不管是整数乘法还是分数乘法，其意义都可以归结为“几个几”，只不过，这里的两个“几”都既可以是整数，也可以是分数。根据这样的思路，教材编排了三道例题来教学分数乘法的意义和计算。例1,让学生计算3个m是多少，学生可以直接利用整数乘法的意义，转化成连加进行计算。例2,是 例3
31、的铺垫，让学生根据整数乘法中的数量关系“单位量X数量=总量”列 出“1桶 水1 2 L,桶是多少升”的算式是1 2 X,然后结合直观图和分数的意义，发 现1 2义在这儿表示的就是1 2 L的，进而得出“一个数乘儿分之儿可以表示求这个数的儿分之儿是多少”的结论。在这一过程中，把“桶水”变 成“1桶水的”，实现了从“量”到“率”的有效转换。有了例2的基础，例3中 求“公顷的”，算式列成义就“有据可依”了。这样编排，有几个好处。一是在单元之始就把分数乘法意义的两种不同表述方式都呈现出来，使学生对分数乘法的意义有比较全面、完整的认识。二是编排逻辑更加清晰，先让学生理解分数乘法的意义，解 决“如何列式”
32、，再 解 决“如何计算”。三是突破了过去教材中到“问题解决”部分才去解决“求一个数的几分之几是多少”的限制，大大拓宽了本单元其他内容的素材选择范围。例如，既可以出现 蜂鸟的飞行速度是千米/分，分钟飞行多少千米”的 题 材（分数是一种具体量，带单位），也可以出现“一头鲸长2 8 m,一个人身高是鲸体长的。这个人身高是多少米”的 练 习 题（分数是-种“率”，不带单位）。2 .增加分、小数相乘的内容。学生在未来的学习中会遇到许多分、小数相乘的情况，例如，解 决“按1：5的比配制一杯1.2 L的稀释液，需要多少升浓缩液”的问题时，需要计算形如1.2 X的算式。如果学生不会直接约分，计算的繁琐程度和出
33、错概率就会大大增加。因此，教材新编了例5,让学生分别计算2.1X和2.4 X,让学生根据数据的特点灵活选择计算方法，能直接约分的尽量直接约分。教学时，要使学生通过2.4X=24X0.1X=XO.1X=O.6义的推导过程理解“为什么能直接约分”的原理。3.调整了用分数乘法解决实际问题的类型。如前所述，学生已经在“分数乘法的意义和计算”中解决了“求一个数的儿分之儿是多少”的基本问题。这一基本数量关系的掌握对于解决更复杂的分数乘法问题至关重要。此次修订增加了“连续求一个数的几分之几是多少”的问题。这一类问题是“求一个数的儿分之儿是多少”的延续，已知量和所求的量之间的关系没有直接给出，而是通过一个“中
34、间量”搭建起二者之间的“桥梁”。在解决这一类问题时，需要学生把复杂的问题化归为基本的“求一个数的几分之几是多少”，并抓住这一基本数量关系中的几个关键要素：单位“1”是谁？所求的量是谁？二者之间是几分之几的关系？尤其要注意单位“1”与几分之几之间的对应关系。对 于“求比一个数多（或少）儿分之几的数是多少”这类问题，与实验教材相比，修订后的教材减轻了例题的份量，在例题中只出现不同量的情况（婴儿每分钟心跳的次数比青少年多），对于同一量的情况（嗓音降低），则 放 在“做一做”中让学生巩固掌握。4.把“倒数”的内容移至“分数除法”单元。倒数是联结分数乘法和分数除法的纽带。在进行分数除法计算时，要用到“除
35、以一个数，等于乘上这个数的倒数”这一结论，因此，把“倒数”安 排 在“分数除法”单元，更能体现出学习倒数的必要性。（-）具体编排1.例 1。直接利用整数乘法的意义来引入分数乘法，使学生理解几个相同分数相加和几个相同整数相加都可以用乘法计算。并通过将分数乘法转化为分数加法来探究分数乘法的算理，掌握计算方法。从吃蛋糕的实际问题引入，借助圆形直观图帮助学生理解题意，探究计算方法。这一直观图延续了三年级学习简单的分数加法时所用的直观图，有助于学生利用己学的知识自主探索。此例中的分数带单位，是 一 个“量”，学生对于求几个相同量之和的数量关系非常熟悉。先呈现加法计算，然后直接根据整数乘法的意义列出两个乘
36、法算式，说明在这种情况下整数乘法的意义同样适用。计算时，先将分数乘法转化为儿个相同分数相加，使学生明白分母不变、分子相乘的道理。在此基础上总结分数乘整数的计算方法，并指出有时可以先约分再相乘的简便算法。2 .例 20让学生利用已学的整数乘法的数量关系进行类推，列出分数乘法算式，结合具体情境，使学生理解“一个数乘儿分之儿可以表示求这个数的儿分之儿”。这 是“求一个数的儿分之儿可以用这个数乘儿分之儿”的列式依据。教材呈现了三幅图，都是已知1桶水的体积，分别要求3桶水、桶水、桶水的体积。在这里，列式所依据的数量关系都是“每桶水的体积义桶数=水的体积”，只是桶数可以由整数扩展到分数。接下来，结合情境，
37、说明求桶水、桶水的体积就是求1 2 L的 和1 2 L的分别是多少。在此基础上，概 括 出“一个数乘儿分之儿，可以表示这个数的几分之几是多少”。3.例 30本例是在学生会利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”列式之后，学习分数乘分数的计算方法。教材利用两个小题，由简单到复杂，结合直观操作，使学生在探索和理解分数乘分数算理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的计算方法，渗透数形结合的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。要理解分数乘分数的算理，其根本在于分数意义的理解。在这里，有些分数是带单位的“量”,有些分数是不带单位的“率”，事实上，“量”与“率”也是可以互相转化的。例如，公顷，实际上就是1
38、公顷的；公顷的，就 是1公顷的，即公顷。4.例 4。本例是学习分数乘法的简便方法。学生在前面对于分数乘法的意义和算理有了深刻的理解后，教学重点转入寻求便捷的算法。在设计情境时，教材特意把两个小题设计成需要运用分数乘法意义的两种不同形式进行列式的情形，旨在进一步巩固分数乘法的意义。其中，第(1)小题是“求一个数的几分之几”，第(2)小题既可以根据“速度X时间=路程”列式，也可以根据“儿个相同分数相力口”列式。在数据处理上，本例中既包含分数与分数相乘，又包含分数与整数相乘。学生可以通过此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。5.例 5o本例是教学分数与小数相乘的计算问题。分、小数混合运算是在日常生活
39、中以及未来的数学与其他学科的学习中经常会遇到的情形，因此，根据分、小数的数据特点灵活选择计算策略，也是学生应该具备的一项技能。为此，教材在修订时增加了这部分内容。分数和小数相乘，可把分数化成小数相乘（如果分数可以化成有限小数），也可把小数化成分数相乘。不管哪种方法，都是学生已学的知识，可以让学生自行解决。而当小数与分数的分母存在某种倍数关系时，可 以 直 接“约分”。这种约分虽然与以前学过的约分形式不同，但实质都是除以一个相同的数。6.例 6o从做一个长方形画框需要多长的木条”的实际问题引入，利用长方形画框的周长计算引出分数混合运算。鼓励学生用不同的方法（除了教材上的两种方法，还有可能用四条边
40、相加的）计算，很自然地呈现各种形式的算式，有两级运算的，有带小括号的。教材直接说明分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同，让学生自主解决。教材特意用两道有关联的算式教学分数混合运算的顺序，为接下来正式教学把整数乘法运算定律推广到分数乘法作了很好的铺垫。在此基础上，再通过观察、计算，归纳得出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用”的结论。7.例 7o教材结合具体计算，说明应用乘法运算定律可以使分数混合运算更加简便。8.例 80本例是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，解决连续求一个数的几分之儿是多少的实际问题。在这里，由于研究的是三个量之间的关系，在描述其中某两个量
41、的数量关系时，单 位“1”是在动态变化的。教 材 按“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与反思”呈现解决问题的一般步骤。到了高年级，随着问题复杂度提高，对于信息的搜集、题意的理解以及整个问题解答过程以及结果合理性的回顾与讨论，显得越来越重要。在“分析与解答 环节，一方面，通过折纸或画图等操作活动，借助直观图形帮助学生理解题中的数量关系，体会画图是分析问题、解决问题的重要策略。另一方面，倡导解决问题方法的多样化。既可以先求出萝卜地的面积，再求出红萝卜地的面积；也可以先求出红萝卜地占大棚面积的儿分之儿，再求出红萝卜地的面积。不同解题思路的呈现，可以提高学生思维的灵活性和发散性。“回顾与反思 让学生
42、自己完成。检验的角度很多，比如，看看直观图画得是否符合题意，看看列式是否符合图意，看看计算是否正确。检验的方法也是多样化的。例如，可以看到萝卜地的面积是红萝卜地的4倍，而大棚面积是萝卜地的2倍。用红萝卜地的60m2乘4,得到萝卜地是240 m 2,再乘2,是480m2,与题中的信息相符。也可以看看红萝卜地的面积是否占整块萝卜地的。9.例 9o本例是让学生解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。虽然还是研究两个量间的关系，但由于没有直接给出 一个量是另一个量的几分之几”，需要先求出一个量比另一个量多（或少）的具体数量或者先求出一个量是另一个量的几分之几。教材通过线段图直观地表示出“婴儿
43、每分钟心跳的次数比青少年多”的意思，对于学生理解题意、选择解决方法起到了关键性的作用。教材体现了多样化的解题策略。可以先计算婴儿每分钟心跳比青少年多多少次,这就需要先解决“7 5次的是多少次”的问题。还可以先求出婴儿每分钟心跳次数是青少年的几分之几，这就需要先解决“比一个数多的数是这个数的几分之几”的问题。“回顾与反思”部分，使学生通过回顾解题的过程，充分认识到画线段图这一策略对于解决问题的重要作用。同时，列举了一种检验结果的方法，引导学生用不同的方法加以检验。四、教学建议1.在已有知识的基础上，帮助学生自主构建新知识。2.通过操作和直观图示帮助学生理解分数乘法的算理，掌握计算方法。3.紧密联
44、系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的基础上正确列式，解决实际问题。第二单元位置与方向（二）一、教学内容用方向和距离描述平面上两个点的相对位置关系并在此基础上描述简单的路线图。二、教学目标1.使学生会根据平面上一个点的位置说出它相对于观测点的方向和距离；会根据一个点相对于观测点的方向和距离确定这个点的具体位置；会描述简单的路线图。2.通过让学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系，培养空间观念。3.使学生通过用方向和距离来表示平面上的位置，初步感受坐标法的思想。4.使学生通过生活实例学习位置与方向的知识，感受数学与生活的紧密联系，学会在生活中应用数学。三、主要变化与具体编排(-)主要变化“
45、用数对确定位置”和“用方向和距离确定位置”是直角坐标和极坐标思想在小学的初步渗透。在上一轮教材的实验过程中，教师普遍反映“用方向和距离确定位置”的教学难度要大于“用数对确定位置”。因此，此次修订，根据各方意见，把实验教材六年级上册的“用数对确定位置”移至五年级上册，把实验教材四年级下册的“用方向和距离确定位置”移至本册。(-)具体编排在具体编排上，也更加注重体现层次性。教材选择台风移动这一学生相对熟悉的现实素材作为一个大背景，用“情境串”的形式引出3个例题。1.例 lo教材以电视播报台风警报作为情境引入，具有很强的生活气息，使学生充分感受生活和数学的紧密联系。教材直接给出标出台风中心和A市的方
46、位图，让学生利用图示理解台风中心“位 于A市东偏南3 0 方向、距 离A市600km”所表示的含义。确定一个位置，需要方向和距离两个条件，教材先通过小精灵提问的方式，让学生思考东偏南3 0 表示什么意思，这也是本例的重点。使学生看到东偏南3 0 表示的是一条射线上的所有点，如果只有这一条件，还无法判断台风中心的确切位置，由此引出距离。“东偏南30”与“南偏东60”含义完全相同，只是生活中更习惯于选择小于4 5 的角度来描述。图示中用一条线段表示100km,由于学生还没学习比例尺，只要能说出这样的6条线段表示600km就可以了，不必涉及比例尺。最后小精灵问“台风大约多少小时后到达A市”，主要目的
47、是为了在解决实际问题的过程中，与 例 2 进行很自然的情境连接。2.例 20本例在学生通过例1 了解了方向与距离的含义之后，让学生根据给出的某个点相对于参照点的方向和距离，在方位图上找到该点的位置。延续了例1 的情境，情节连贯，随着现实情境的发展，自然地引出数学问题。教材给出了两类定位的情形，一类是非正东、正南、正北、正西的，一方面需要确定角度，另一方面需要确定距离；另一类的正东、正南、正北、正西的，只需要确定距离即可。教材采取小组合作的方式，提示学生应该如何根据方向和距离确定位置。先确定方向再确定距离和先确定距离再确定方向这两种方法都可以用，但学生通过尝试，一般会主动选择先确定方向，然后在该
48、方向所在射线上根据相应的距离找到该位置。3.例 30教材呈现了台风从生成地出发、经过四次方向改变的大致路径，让学生用数学的语言来描述简单的路线图。路线图中包括了例1 和 例 2 中台风的移动路线，体现了情境的整体性和知识的综合性。路线图描述的不仅仅是两个点的静态关系，而是物体在多个点之间的运动关系。除了整条路线的起点和终点之外，其他点都既是某一 一 段路线的终点，也是下一段路线的起点。教材通过学生对话的方式，给出了分段描述的示范，使学生明白方向与距离的描述是具有相对性的，并掌握在描述每一段路线时要注意的几个关键点：起点在哪儿？终点在哪儿？沿着什么方向？移动了多少距离？四、教学建议1.注意联系学
49、生的生活经验和已有知识，引导学生自主探索新知，发展空间观念。2.以问题为载体，鼓励学生通过自主探究、合作交流，克服教学重难点，初步建立坐标观念。第三单元分数除法一、教学内容1.倒数的认识2.分数除法的计算3.问题解决二、教学目标1.使学生理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。2.使学生体会分数除法的意义，理解并掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法计算。3.使学生会解决一些和分数除法相关的实际问题。4.使学生体会数学与生活的密切联系，体会并掌握模型、方程、数形结合等数学思想。三、主要变化与具体编排（-）主要变化除 了 把“倒 数”从“分 数 乘 法”单 元 移 过 来 和 把“比”的 内
50、容 另 设 单 元 以 外，本单元还有 两 个 较 大 的 变 化。1.删 去“分 数 除 法 意 义”的 相 关 例 题。考 虑 到 学 生 对 整 数 乘、除 法 之 间 的 关 系 已 经 非 常 熟 悉，修订后的教材不再单独设置有关“分 数 除 法 意 义”的 例 题，只 在 相 关 练 习 中 进 一 步 巩 固 分 数 乘、除 法 之 间 的 关 系。2.增 加 两 类“问 题 解 决”。第 一 类 是 和 倍、差 倍 问 题（两 个 量 之 间 的“倍 数 关 系”是 以“儿 分 之 儿”的 形 式 出 现 的）。在 这 类 问 题 中，有 两 个 未 知 量，这 两 个 未 知