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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .答题时请按要求用笔。3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .双曲线。：/-2产=1的渐近线方程为（）A.x!ly=0 B.x 2 y =0C.yf2 xy
2、=0 D.2 x y =02.列=（）1 +z1 5 .1 5 .1 5 .1 5 .A.-1 B.-1 C.H-l D.1 l2 2 2 2 2 2 2 23 .甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人.已知：甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；乙不在原始森林，也不在远古村寨；“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；丁不在百里绝壁，也不在远古村寨.若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.T4 .已知i为虚数单位，实数羽)，满足(x +2 i)i =y -i,
3、贝!J|x y i|=()A.1 B.V 2 C.7 3 D.7 55 .已知双曲线。：一 斗=l（q 0力 0）的左，右焦点分别为,用，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的a b点，直线尸o,P名分别交双曲线c的左，右 支 于 另 一 点 若|助|=3归 闾，且乙4 =6 0。，则双曲线的离心率为（）A.立 B.3 C.2 D.226.已知数列%满足 l o g3t z +1 =l o g 3 a“+i w N*）,且 4+4+4=9,则 地；3 +0 5 +%）的值是（）9A.5 B.-3 C.4 D.9 17.已知a e R,b w R,贝!直线a r+2 y-l=0与直线(a+l)x
4、-2 a y +l=0垂直”是“=3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.某学校调查了 200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5,3 0,样本数据分组为 17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,3 0).根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56 B.60 C.140 D.1202 29.已知耳尸,是双曲线二-二=1(0,6 0)的左、右焦点，若点居关于双曲线渐近线的对称点A满足a b-N K A
5、O =NAO耳(。为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为()A.y=2x B.y=+y3x C.y=j2 x D.y=x77T T10.“*=g”是“函数/(x)=sin(3x+e)的图象关于直线 尸-g对称”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.若双曲线-4=1(。0/0)的一条渐近线与直线6 x 3y+l=()垂直，则该双曲线的离心率为()a bA.2 B.立 C.D.2 62 21 2.已 知 函 数 到=坐，若关于X的方程(x)2-磔1(幻+:=。有4个不同的实数根，则实数的取值范围为x 8()A.吗 B.(0,冬 C.D.(争)二、填空
6、题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3 .已知抛物线C：V=4尤的焦点为尸，过点产且斜率为1的直线/交抛物线。于M,N两点，】=附/?|上|,-2若线段M N的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a,则。一力的值为.1 4 .已知三棱锥。一ABC的四个顶点都在球。的球面上，PA=PB=P C,A B =2，B C 0时 均 有/(%)0),若/(犬+2)0力 0）的一条渐近线与直线6x 3y +l =0垂直.a b.双曲线的渐近线方程为V =g x .得 4b 2 =。2,02=。2.a 2 4则离心率6=好.a 2故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理
7、解，数学运算的能力，属于中档题.12.C【解析】求导，先求出了（X）在单增，在x w（G,+o o）单减，且/。）皿=/（&）=3知设/（X）=r,则方程91（x）f-时。）+三=0有4个不同的实数根等价于方程O）1 1/一+=0在（0,）上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.8 2【详解】.I n x依题意，X4_ e(l-21nx),九3令/(%)=。，解得 l nx =；,X=4e 故当 x e(0,G)时，/(x)0,当了(五,+8),/r(x)0a _；）（，2-；）o2 20 r,+r2 m2 1 0n21 根 1 c-1 08 2 4Q m 得
8、A?=4.根据“三斜求积术”可得S2=-42 X22-442+22-322限所以底警【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式，余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力，难度较易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（1）当时，/（%）在（0,1）上递增，在（1,京）上递减；当g a l时，“X）在（0,1）上递增，在11,止，上递减，在Up+s 上递增;当=1时，/（*在（0,+8）上递增；当时，/（力 在（0,五一，上递增，在1/pj上递减，在（1,+8）上递增；（2）证明见解析【解析】(1)对/(x)求导，分。=1进行讨论，可得/
9、(X)的单调性；(2)/(x)在定义域内是是增函数，由(1)可知。=1,/(x)=l n x +1 x2-2 x,设玉 ，可得/(jq)+/(x2)=-3 =2/(l),则0 1 2.【详解】解：“X)的定义域为(0,+8),因为/(x)=l n x +|a一IX -2.C IX,2、1 ,、(2 t z 1)%2 2 ax+1 (x -1)F(2 4 z 1)x -1所 以/，()=2 +(2。一1)一2。=-=-1 f(x)0 f(x)0当a K 时，令 I),得0 x l,令 l；2 x 0 x0当!a 12 2 a-1/(x)0 1令4 7，得O v x v l,或x-0 2 a-1r
10、W 0,得Ivx v12。一1当 a =l 时，r(x)o,1 f(x 1 时，则0 -1,令 V 7,得-x 0 2。-1综上所述，当a 4；时，/(x)在(0,1)上递增，在(1,田)上递减；当!a l时，/(x)在(0,止 上 递 增，在上递减，在(L+o o)上递增;(2)“X)在定义域内是是增函数，由 可知。=1,此时/(x)=l n x +g%2-2 x,设玉 w，又因为/(4)+/(%2)=-3 =2 1),则0 0 对于任意 x e (0,1)成立，所以g(x)在(0,1)上是增函数，所以对于V x e(O,l),有g(x)g(l)=2/(l)+3 =0,即V x e(O,l)
11、,有“2-x)+/(x)+3 0,因为0%1,所以/(2玉)+/(%)+3 “2玉)，又/(x)在(0,+。)递增，所以2 2%，即 玉+2.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.1 8.(1)-7 3,+o o)(2)71【解析】，、7TIT(1)求得/(X),根据已知条件得到了(X)2 0在0,-恒成立，由此得至U a sin x+c o sx N O在0,-恒成立，利用 _ 6|_ 6 _分离常数法求得。的取值范围.(2)构造函数设g(x)=/(x)-法，利用求二阶导数的方法，结合g(x)W 0恒成立
12、，求得的取值范围，由此求得b的最小值.【详解】(1)/(x)=aelx sin x+eiLX c o s x=ei La sin x+c o s x)7 17 7TT因为/(X)在0,7上单调递增，所以广(尤”。在0,-恒成立,6 66兀即a sin x+c o sx N O在 0,恒成立,6当x =0时，上式成立，a e RW /八万C O SX 1 F J 1 )当 X E 0,丁，有。之一一：=-，需一；-，6 J sm x t a n x I匕口工人侬W0 x ,0 t a n x ，-2 6，-故。2一66 3 t a n x t a n x综上，实数。的取值范围是-6,+8)、)(
13、2)设g(x)=/(幻 一。九=sin x-Z z x,xG 0,则 g (x)=e)(sin x +c o sx)匕，令/z(x)=ex(sin x 4-c o s x)-b9J T T T(x)=/(2c o sx)N 0,(x)在0,y单调递增，也就是g (x)在0,-单调递增，n所以g (x)e -b,e2-b.当1一8上0即。W 1时，g(x)N g(0)=0,不符合;当 一bWO即匕2 时，g(x)g(0)=0,符合当1一。0 J一。即1。/时，根据零点存在定理，叫(，热，使/(为)=0,有x e(O,X o)时，g (x)，g(x)在 /，彳单调递增，g(0)=0成立，故只需g
14、1 1 4 0巴 兀 2军 -即可，有 一工-e ,实数匕的最小值为2-7t 71【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.19.(1)(-,0)；(2)2=-.e2【解析】(1)对/(力 求 导，对参数进行分类讨论，根据函数单调性即可求得.(2)先 根 据 尸 伉)-?再 根 据 零 点 解 得。=一笠 笠，转化不等式得办+(1 -“尤2 f Q,令，=M，化简得几 十 (14)/-，因此，1,几(一-)m in，0 0),当。2 0时，/(x)0对x ()恒成立，与题意不符，当a v
15、 O,f(x=a+=1 ,x x 0 x 0,即函数“X)在(0,-J单调递增，在+8)单调递减，：x.O和x+o o时均有/(%)-0,解 得:-a 0,综上可知：”的取值范围(2)由(1)可 知/(面)-L(-,a /(%2)：二:一,l r ix2-In x,生又.4+(1一/l)土 ,令/=上，司In强 百玉则，0,，工1,且;1 +(1 恒成立，令g(f)=l n-)+(a,(f 0),而g(l)=O,二/1时，g(f)O,O l时,g(f)0.(*)p I f I=-=-=-t 2+(l-2)r z 2+(l-2)r 222令 E若 1,贝(时，g (/)g(l)=O,与(*)不符
16、；若1,则时,g)0,即函数g 在(1,)单调递减，.g(，)1 时，g(/)0；0/1 时，g(f)0符合(*)式，综上，存在唯一实数2=,符合题意.2【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20.(1)x|x 4 l或x,l (2)(-o o,-5 u -l,+o o)【解析】(1)分类讨论去绝对值即可；(2)根据条件分aV-3和“2-3两种情况，由-2,建立关于”的不等式，然后求出a的取值范围.【详解】(1)当 a=-1 时，
17、/(x)=|x+l|.,:/(x)W|2x+l|T,当烂 T 时,原不等式可化为-x-1-2 x-2,.x-1；当-1%l).3 +a,x a(2)当 QV-3 时，g(x)=2 x-a +3,a x 1*.a g -5 ；3 +a,x W 3当 QN-3 时，g(x)=,2 x-a +3,-3 x a函数 g (x)的值域 A=x a -3、烂3+a.V-2,1C A,-a-3 1A a -1,综上，”的取值范围为(-o o,-5 U -1,+o o).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用集合间的关于求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题.2 1.(1)证明见解析；
18、(2)好.5【解析】(1)由已知可得CF_L AC,结 合 由 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 可 得 AC，平面8CT；(2)由(1)知，A CA.CB,则 C 4,C B,CT两两互相垂直，以C为坐标原点，分别以C 4,CB,所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，设 F(0,0,a),由二面角/-8。一C的余弦值为更求解。，再由空间向5量求解直线A F与平面D FB所成角的正弦值.【详解】(1)证明：因为四边形A3CO 是等腰梯形，AB/C D,Z A BC=6 0,所以N ADC=4 8 =1 2 0.又 AP=C D,所以 N A C D =3 0。，因此 Z A C B
19、 =9 0,AC B C,又 A C _ L 5 F,且 8。口8/=8,B C,B/u平面 8 C T,所以AC，平面8b.(2)取BD的中点G,连接CG,F G,由于CB=C D,因此CGL8D,又尸。_L平面ABC。，B D u平面A 8CD,所以由于FCcCG=C,FC,C G u平面ECG,所以平面F C G,故B D工F G,所以/FGC为二面角E 3。一C的平面角.在等腰三角形B C D中，由于Z B C D=120,因此CG=L,又CB=CF=T,2因为cos/RGC=，所以 tanNFGC=2,所以 F C =15以C4为x轴、CB为,轴、CE为z轴建立空间直角坐标系，则/)
20、(?,_；,(),产(0,0,1),5(0,1,0)丽=停4-而樗，一|，。设平面DB/7的法向量为=(x,y,z)_ 旦z=0所以 竺 =。，即，令x=5 则y=l,z=l,必 万=0 石 3 cx y=0则平面 D B F 的法向量，：=(G,1)，A F =(-V3,0,1),设直线A F与平面B D F所成角为6,则sin3=AF-n _ V5询 而 F【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题.22.(1)加=4；(2)证明见详解.【解析】(1)将不等式/(%+2)0的解集用能表示出来，结合题中的解集，求 出 的 值;(2)利用柯西不等式证明.【详解】7 7 7解：(1)f(x+2)=2 x -m Q,x ,2m m-X 92 2因为x+2)=9,a 2 b 3c1 1 1、9a 2。3c 44 2 4当且仅当a=丁 b=-9 c=-9等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.