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1、第一章:统计量及其分布19.设母体4 服 从 正 态 分 布 N（,b 2）F 和 分 别 为 子 样 均 值 和 子 样 方 差，又设品且与&*2,&独立，试求统计 量 或 匚 堂 区二1的抽样分布.s V +1试求统计量总可一（4一勺）_师 万 的分布S”S；-2 0 S“解：由于E 住一7）=一22 2O（于）=）孑 +D 7-2 c o v（，7）=+-n n 7 n y n解：因为F 服从 分布.所以多 JN（O,I）而/（I）尸/V n且 s 与 品 i 一孑独立,，所以鼠 乂 一 1）分布.Sn V n+1 V 一 1 crB P -服 从 一）分布.zt+120.=1,/!,是
2、 取 自 二 元 正 态 分 布 N（l,2,ala22p）的 子 样，设1 n 1 n孑二卒,八孑讥一万）i=lV 1=1 j=l25=巷63）2 9 2=这 阮-力 和/=!1=1所 以（孑 一 7）一 5 1一 2）J 7 J十。-2 p b（y,6服 从 N（0,l）分 布（S12+S22-2 rS,S2）=f e-f）2+E 阮 一 方 2丑t-乳 亓）/=1/=!/=!=E 6,-？）需-7）1=1。-7是正态变量，类似于一维正态变量的情况何证S：+S；-2rSS与J-7相互独立.4 V+S 22 0 s 2 2(71 +2 po cr 2所 以 统计量(I-2)R3 g=加；+生
3、2-2呷”服从 _ 0分布S+S；-2rs 凡 (S+S:2/与)(a,2+o-22-2x?cr172)(n-l)第二章：估计量1.设。，短是来自二点分布的一个子样,试求成功概率P的矩法估计量.解：E&=p.2=3.对容量为的子样，求密度函数/(司。”,/(域般。中参数。的矩法估计0,其它3.对容量为的子样，求密度函数 f(x；a)=/(-x)，0 x 中参数a的矩法估计0,其它量.解：=号(a-x)Jx=/令 =孑 得a=3 34.在密度函数/(x)=(a+l)x,0 x 1中参数a的极大似然估计量是什么？矩法估计量是什么？解:.如)=口(a +l)x/=(a+l)口x：(0 x,1 V)i
4、=/=/.In La=n ln(cr+1)+a In FT xi3=i.SinL(a n _令-3=-+y ln.-=0,da a +1 得 匿=一1 一二J ln x,/1=1由于 丝华=_/、,0 故6乙=一 1 -是a极大似然估计.(a +D-立 咻=11 1 一(2)由 =1-令 1-=得二+2 。+2人2 -1a =_ I1 4.设 刍,看“为 取 自 参 数 为 九 的 普 哇 松 分 布 的 一 个 子 样.试 证 子 样 平 均 孑 和5,；2=8)2 都是丸的无偏估计.并且对任一值a,0al a +(l-a)5；-1 仁也是4的无偏估计.证：对普哇松分布有E J =O J =
5、/l,从而第=%峪；2=1 4 付3-孑)=%=九 -1 LM J故孑与S,2都是2的无偏估计.又H诏+(1-a.,：=2 +(l-a)2 =A故a；+(1 a)S,：也是A的无偏估计.1 5.设，,或，为 取 自 正 态 母 体N(Q2)的 一 个 子 样，试 适 当 选 择 c ,使n-2S2=c X G i+l 一。)为 的 无 偏 估 计 1=1解：由=/且。，,相互独立可知，E 必或=2川 从而E S2=c 此 2+垮 _ 2 E 熟 鬲)=4 2(-1)吐-2(-叱)i=l=2 c(n-=2 c o-2(n-l).1取C=(r 时，S ”为，的无偏估计.2(“T1 7.设随机变量J
6、服从二项分布P（J =x）=试求外 无偏估计量.解：由于带=。造2 =。4 +（心）2 =网 一 0）+（夕）2 =6 +“（一 ）。2故E -3=（-1）铲.从而当抽得容量为N的一个子样后,夕 的无偏估计为:铲量.解：=-(a-x)dx=y 令%=&得6=.3 4.设 配,a是取自正态母体N（,1）的一个子样，其中为已知，证明I (i)V-Zfe-A)是。2的有效估计;n,=i(ii)b 的无偏估计，并求其有效率.证（。由咚/（）知，ES,2=a2.=纪，又 N J,/）的密b n1 1 /(x_/7y度函数为/(x)=7 e ,故 函/=_-ln(2/2)_工？对 求 导 得：粤丝=/7k
7、x _)2_b20 b Z c r从而 E(空=白卜6 一)4 一 2 b 2t y+b 4=JV o(y J 4 b 2a或l G）=E建华=上，故c R下界为（.工 7 拓 2）2 2 1 I 2 b 4S,2是b?的有效估计.(ii).1(x 4)2由于可$一 4 =k 一 “e 21 dx故E G =e r ,即6是的无偏估计.又=。|。一|=5 1巳 一 城 一（同。一”n 2/=1 2na in/Y2（y故CR下界为 J,3的 有 效 率 为-4 =0.8 7 6。2 九一2 2-J）Q从 而 火-=e .,而同a in/de02-故C-R下界为 因此g是6的有效估计.另外，由契比
8、可夫不等式P-0 ）0所以孑还是。的一致估计.32.设刍，是 独 立 同 分 布 随 机 变 量，都服从/（x；e）=e（ie）,x =o,i,2,0。0 的问题，取临界域C =(X x“)：无 N 7.(i)求此检验犯第一类错误的概率a ,犯第二类错误的概率并讨论它们之间的关系.(ii)设0 =0.5,。；=0.0 4,a =0.0 5,n =9,求=0.6 5时不犯第二类错误的概率.2解:.在H。成立下，孑 N (外 一)na=2 C)=I /G T0 JC。G =UX-aG=牛+M)其中是N(0,1)分布的二 分位点。在 H l 成立下，孑 N(M，里),/?=6住 。0)=6在 2 6
9、(i i)不犯第二类错误的概率为1邛。1 A 1 小，-4()厂)1 小(0.6 5-0.5 、1一 尸=1一 u-a-A =1一 ”().9 5-77-x3I J V 。,2)=1 一(1.6 45-2.2 5)=1 -(0.6 0 5)=(0.6 0 5)=0.72 74.4,设某产品指标服从正态分布，它的根方差o 已知为1 50 小时，今由一批产品中随机地抽查了 2 6 个，测得指标的平均值为1 6 37小时，问在5%的显著性水平下，能否认为这批产品的指标为1 6 0 0 小时？解：母体J N(,1 50“，对假设：=1 6 0 0 采用U 检验法，在 H o 为真下，检验统计量观察值为
10、=1.2578,a=0.05时临界值a%_%=0.9 75=L96。由于M 20.8_（g2、从母体中取了容量为7 子样，孑近似服从正态分布，即：gN,=，一J。因而对假设“可采用u 检验计算检验统计量观察值“二.一4 G -2L34-20.8 近-0 3 g ,o 1.8a=0.05,“a=095=1.645。由-卜|i 0 所以接收原假设Ho,即新安眠剂未达到新的疗效。1 5.设*|,*2,*1 1为 取 自 总 体*（0，。2）的简单随机样本，其中 0 为已知常数,七（X 。丫选择统计量U=但 -,求的1-a 的置信区间。C T 一解：由于u=K-G 服从力2（n）,于是砂)2故的 1-
11、a的置信区间f(X”)2 t(X,0)2i=l_，=1%a m)北I-2 21 6.在某校的一个班体检记录中，随意抄录2 5 名男生的身高数据，测得平均高为1 7 0厘米，(修正)标准差为1 2 厘米，试求该班男生的平均身高和身高标准差O 的0.9 5 置信区间(假设身高近似服从正态分布)。解：由题设 身高 X N n=2 5,X =J 7 0,S =1 2,a=0.0 5 o(1)先求的置信区间(a?未知)取u=飞产t(一 4注 2(-1)=4,9 7 5(2 4)=2.0 6 故置信区间为:1 2 1 2 (1 7 0 -5=x 2.0 6,1 7 0 +-7=x 2,0 6 )=(1 7
12、 0-4.9 4,1 7 0+4.9 4)=(1 6 5.0 6,1 7 4.9 4)(2).V25 V25的置信区间(未知)取u =72 5 一 1),72,(_ 1)=/975(2 4)=3 9.3 6 4a l-y S T)=点0 2 5(2 4)=1 2.4 0 127 4 x I?2?4 x I?2故o-2 的 0.9 5 置信区间为(-,-)(8 7.8 0,2 7 8.6 9)3 9.3 6 4 1 2.4 0 1cr 的 0.9 5 置信区间为(j8 7.8 0,j2 7 8.6 9)=(9.3 4,1 6.6 9).1 4.在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差为0.0 5
13、 秒，为 了 以 95%的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过0.0 1 秒，应取多大的样本容量n?解：以X表示反应时间，则=E(X)为平均反应时间，由条件知，样本标准差S=0.0 5,用样本均值又估计从当 n 充分大时，统计量U =京；近似服从标准正态分/4 n布 N (0,1),根据条件，要求样本容量满足X -n 9.82=9 6.0 4 即5 =0.9 5.即应取样本容量n 为 9 6 或 9 7。8.在某年级学生中抽测9名跳远年成绩，得样本均值又=4.3 8 m.假设跳远绩X 服从正态分布，且 7=0 3,问是否可认为该年级学生跳远平均成绩为=4.4 0 m (a=0.1 0).解
14、：(1)/0:p =4.4 0 X-4.4 0 八 选 统 计 量U -N(0,l);(3)查标准正态分布表，得出临界值“a=Z()9 5 =1.6 4,拒绝域1-2(-oo,-1.6 4)u (1.6 4,+oo)；1 4.3 8-4.4 0 1(4)算得,=0.2,显然0.2 不在拒绝域内，因此Ho被接收，即可认为该年级学生跳远平均成绩为4.4 0 米。9.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取3 6 位考生的成绩，算得平均成绩为6 6.5 分，标 准 差 S n*为 1 5 分，问在显著水平0.0 5 下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。丁(-1)
15、=。5(3 5)=2.0 3 0 1解：(1)待检假设o：=7 O；备择假设d ：*7 0(2)在 Ho成立条件下选择统计量(3)在显著性水平0.0 5 下，查 t分布表，找出临界值入(-l)=f,9 7 5(3 5)=2.0 3 0 11-2拒 绝 域(一8,2.0 3 0 l)u(2.0 3 0 1,+8)1 6 6.5-7 0|/、（4）计算U =,-=1.4 e （2.0 3 0 1,2.0 3 0 1）,故接受 H.,因此可以Z/6认为这次考试全体考生的平均成绩为7 0分。1 1.某厂生产的电子仪表的寿命服从正态分布，其标准差为b=1.6,改进新工艺后，从新的产品抽出9件，测得平均寿
16、命又=52.8,S*n2=1.1 9 ,问用新工艺后仪表的寿命方差是否发生了变化？（取显著性水平a=0.0 5）解：（！）待检假设o：。？=1.6 2,备择假设*1.6?选 取 统 计 量U=些/成 立 时%（3 ）查/分 布 表，找 出 临 界 值%（n T=总025=2.1 8 0,/2 a（n -1）=9 7 5（8）=1 7.53 5.拒122绝域为(0,2.1 8 0)U (1 7.53 5,+8).（4）计算U 0=（9 T）d.l9=3 7 3,接受H0,即改进工艺后仪表寿命的方差没有1.62显著变化。1 2.电工器材厂生产一批保险丝，抽 取1 0根试验其熔断时间，结 果 为：4
17、2,6 5,7 5,7 8,7 1,59,57,6 8,54,5 5.问是否可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于8 0?（熔断时间服从正态分布，显著性水平a=0.0 5）.解：（1）待检假设 ：T2 8 0何 l）S*2（在%成立下）2 /、（2）选 取 统 计 量 一 二 -（n-1）%（3）由a=0.0 5,n-l =9,查力?分布表%)a(n-1)=总 95=1 6.9 1 9 又=(42 +6 5+7 5+7 8+7 1+59+57+6 8 +54+55)=6 2.4。1 1 0 9第=立区-灯y/=1=1 2 1.8uo=!|=1 3.7 (0,1 6.9 1 9)故接受假设H o
18、，即在a =0.0 5卜，可认为整批保险丝的熔断时间的方差不大于8 0.1 0.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出5 0 名，测得平均身高1 7 4.3 4厘米从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选50 名，测得平均身高1 7 2.42 厘米，统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别为5.3 5和 6.1 1 厘米，问该校经常参加锻炼的男生是否比不常参加体育锻炼的男生平均身高高些？(a=0.0 5)解：X,Y 分别表常锻炼和不常锻炼男生的身高，由题设X 53 52 待 检 假 设:H4 4，备择假设兄：M 2N(0,l)(3)对于 a =0.0 5,查正态分布表，Z 1.a=
19、Z0 9 5=1.6 4(4)计算U 1 7 4.3 4 1 7 2.421.3 52 6.1 12V 50 +50=1.6 7 1.6 4故否定假设H。即表明经常体育锻炼的男生平均身高比不经常体育锻炼的男生平均身高高些。7.1 4假设六个整数1,2,3,4,5,6被随机地选择，重复6 0 次独立实验中出现1,2,3,4,5,6的次数分别为1 3,1 9,1 1,8,5,4。问在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：/：pg =1)=pg =2)=p 隹=6)=26 o解：用力之一拟合优度检验，如果“成立)/弋(“一 P,)2,=|咱r(5)列表计算力2 的观察值:力 2 =1 5.6,
20、/S5（5）=1 1.0 7组数i频数 咱ni-npi11 31 030.921 91 098.131 11 010.1481 0-20.4551 0-52.5641 0-63.6由于/.9 5（5）,所以拒绝。即等概率的假设不成立。7.1 5对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43 根电缆的最低击穿电压，数据列表如下：测试电压 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8击 穿 频 数 11127884641试对电缆耐压数据作分析检验（用概率图纸法和z2-拟合优度检验）。解：用正态概率纸检验出数据基本上服从正态分布，下面/一拟合优度检验假设H。七其中立
21、,夕为和/的极大似然估计，其观察值_1 _2 =X=4.3 7 4 4 作=s；=Z（x）2 =0.0 4 8 4 2所以要检验的假设“o：J （4.3 7 4 4,0.0 4 8 4 2）分组列表计算Z2-统计量的观察值。组Xi-距%频数ni标准化区间P i=(!)(%)-(W)几P iZ-1004.1500-1.2 50.1 0 5 64.5 4 0 80.0 4 6 44.14.27-1.2 5-0.7 90.1 0 8 74.6 7 4 11.1 5 7 44.24.38-0.7 9-0.3 40.1 5 2 66.5 6 1 80.2 1 5 24.3 4.51 2-0.3 40.5
22、 70.3 4 8 81 4.9 9 8 40.5 9 9 44.5 4.660.5 71.0 30.1 3 2 85.7 1 0 40.0 1 4 74.60050.3 1000.1 5 1 56.5 1 4 50.3 5 2 15 2：=2.4 8 5 2用a =0.1查表/9（6 -2-1）=/9 =6.2 5 1由 于/流，所以不能否定正态分布的假设。7.1 6用手枪对1 0 0个靶各打1 0发，只记录命中或不命中，射击结果列表如下命中数x,：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0频 数1：0 2 4 1 0 2 2 2 6 1 8 1 2 4 2 0在显著水平a =0.0 5
23、下用力2拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布。解对每一靶打一发，只记录命中或不命中可用二点分布描述，而对一个靶打十发，其射击结果可用二项分布伙K;1 0,p）来描述，其中p未知，可求其极大似然估计为I 10p=x=y f x.=0.51 0 0 一设4是十发射击中射中靶的个数，建立假设H:pS=k)=(0.5/(0.5 产 K,K=0,1,1 0(K J用/拟合优度检验法列表如下：10i,Pi叩，(%一 叩J2/叩,000.0 0 0 9 7 70.0 9 80.0 9 8120.0 0 9 7 6 50.9 7 61.0 7 4240.0 4 3 9 4 54.3 9 50.0 3 631
24、 00.1 1 7 1 8 81 1.7 1 90.2 5 242 20.2 0 5 2 1 22 0.5 2 10.1 0 752 60.2 4 6 0 9 42 4.6 0 90.0 7 961 80.2 0 5 2 1 22 0.5 2 10.3 1 071 20.1 1 7 1 8 81 1.7 1 90.0 0 7840.0 4 3 9 4 54.3 9 50.0 3 6920.0 0 9 7 6 50.9 7 61.0 7 41 000.0 0 0 9 7 70.0 9 80.0 9 8(nP i -,)2z2=Ei=0=3.1 7 1取 a =0.0 5,忌95（UTT）=/9
25、5=1 6.9 1 9由 于/襦5（9），所以接受“。7.1 7在某细纱机上进行断头率测定，试验锭子总数为4 4 0,测得断头总次数为2 9 2次只锭子的断头次数纪律于下表。问每只锭子的纺纱条件是否相同？每锭断头数 0 1 2 3 45679锭 数（实测）2 6 3 1 1 2 3 8 1 9 3 1 1 0 3解：如果各个锭子的纺纱条件元差异，则所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布，所以问题是要检验每只锭子的断头数J p（K；/l）。其中2未知，求其极大似然估计为2 =元=4 =0.6 6,建 立 假 设 名 苫p（K;0.6 6）,由/拟合优度检验。列表i断 头 数 KPt叩,(,一 “P
26、,Inp；102 6 80.5 1 6 92 2 7.4 15.5 6 8211 1 20.3 4 1 11 5 0.0 99.6 6 8323 80.1 1 2 64 9.5 32.6 8 4431 90.0 2 4 71 0.8 9 76.0 2 654-880.0 0 4 72.0 6 81 7.0 1 6=1 =4 0.9 6 2,=o npi取 a =0.0 5，必9 5(5 T T)=忌9 5 =7.8 1 5 ,取 a =0.0 1,/9式5-1-1)=若9 5(3)=1 1 3 4 5由于/总的（3）,所以拒绝“。即认为每只锭子纺纱条件不相同。第 四、五 章：线性回归与方差分析
27、1.若一元线性回归的模型为:=4+夕|七+弓，i=I,-,/?,j N（p,a2）试求参数为 屈的最小二乘估计，其中 x j 不全相同。解：由最小二乘法知要最小化函数 2（A）,A）=-P。-夕/J/=!殖(色,V.明i =0,l.得正规方程组为:解之得参数/。,回 的最小二乘估计为:自 s U -x Xy,-y)，-Z(x,.-x)2区=歹-反收2.设有四个物体A、B、C、D,其重量分别为四、四、%/，四次在天平上秤重得:Vl=B1+B3+B4+；丫2=4+夕2-尸3-+4 ；Y3=A-Z?2 +A-A +；Y4=B 邛/又+及 +%其中1、力、鼻、分别表示秤重时发生的随机误差。求4、/2、
28、仇、尸4最小二乘估计。解:1 1 1 1、1 1 -1-1x =i-11-iJ T T 1、乃为J4,4“0XX=00 04 00 40 00、004,%+丫2+丫3+丫4、X Y=乃 +为一)3 _)4,，%一 乃+%4、%”一%+“=尸用用人四3+4)，月+乃一乃一九)；(必-乃+乃一%)；(弘-乃一乃+九)3.为研究三种不同教材的质量，抽取三个实验班分别使用其中一种教材，而对其他因素加以控制，现每班随机抽取五人，测得平均分为71,75,7 0,求得总偏差平方和SST=192,试分析三种教材质量有没有显著性差异。(已知Foos(2,12)=3.88).解:_ 71+75+70”x=-=72,3SSA=5卜 1 -72)2+3 _ 72)2+(70-72=70SSE=192-70=1 2 2。(2)确定自由度：dfA=3-l=2;dfr=15-l=14;dfE=15-3=12.70 122(3)求均方：MSA=35;MSE=10.172 12(4)进行 F-检验：/=竺=二-=3.44 KQ O（3,16）=5.29MSE 4.16 099 v）故 拒绝H o,即四种自学辅导方案存在显著差异。