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1、（北京）股份有限2022202220232023 学年度（上）六校高三期初考试学年度（上）六校高三期初考试数学试题数学试题考试时间：考试时间：120120 分钟分钟满分满分 150150 分分一一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知命题已知命题:px R，20 x，则，则（）A:px R，20 x B:px R，20 x C:px R，20 x D:px R，20 x 2.已知集合已知集合2 3,1,2,|60,ABxN xx 则则
2、AB（）A1,2B3,0,1,2C3,1,2,3D3,0 1,2,3，3.设等差数列设等差数列na的前的前n项和为项和为nS，若若67891020,aaaaa则则15S（）A 150B120C 75D604.在在5(1 2)(1)xx的展开式中，的展开式中，3x的系数为的系数为（）A10B10C30D305.已知函数已知函数3()sincos(,)f xaxbxx a bR，若若()13f，则则()3f（）A1B0C1D26.若若tan()2,4 则则23sinsincos3cos（）A52B2C52D127.在北京冬奥会上，国家速滑馆在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带冰丝带”使用高效环保的二
3、氧化碳跨临界直冷使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态的状态与与T和和lgP的关系的关系，其其中中T表示温度表示温度，单位单位是是K；P表示压强表示压强，单位是单位是bar 下下列结论中正确的是列结论中正确的是（）（北京）股份有限A.A.当当220T，1026P 时，二氧化碳处于液态时，二氧化碳处于液态B.B.当当270T，128P 时，二氧化碳处于气态时，二氧化碳处于气态C.C.当当300T，9987P 时，二氧化碳处于超临界状态时，二氧化碳处于超临界状态D.D
4、.当当360T，729P 时，二氧化碳处于超临界状态时，二氧化碳处于超临界状态8.已知函数已知函数 f x满足：满足：114f，4,f x fyf xyf xyx yR，则则2 2()kf k0 20（）A12B14C14D12二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，计计 2020 分分在每小题给出的选项在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得 5 5 分，有选错的得零分，部分分，有选错的得零分，部分选对得选对得 2 2 分分.9.已知复数已知复数102izi，则下列说法正确的是则下列
5、说法正确的是（）A复数复数z在复平面内对应的点在第四象限在复平面内对应的点在第四象限B复数复数z的虚部为的虚部为4C复数复数z的共轭复数的共轭复数24ziD复数复数z的模的模|2 5z 10.已知已知1()sin22f xx，关于该函数有下面四个说法，正确的是，关于该函数有下面四个说法，正确的是（）A()f x的最小正周期为的最小正周期为B()f x在在,4 4 上单调递增上单调递增C当当,6 3x 时，时，()f x的取值范围为的取值范围为3 1,42x（北京）股份有限D()f x的图象可由的图象可由1g()sin(2)24xx的图象向左平移的图象向左平移8个单位长度得到个单位长度得到11.
6、已知正方体已知正方体1111ABCDABC D的棱长为的棱长为2，则则（）A.直线直线1BC与与1DA所成的角为所成的角为90B.直线直线1BC与与1CA所成的角为所成的角为90C.点点C到平面到平面11ABC D的距离为的距离为22D.直线直线1BC与平面与平面ABCD所成的角为所成的角为4512.双曲线双曲线C的两个焦点为的两个焦点为12,F F，以，以C的实轴为直径的圆记为的实轴为直径的圆记为D，过，过1F作作D的的切线与切线与C交于交于,M N两点，且两点，且123cos5F NF，则，则C的离心率为的离心率为（）A.52B.32C.132D.172三、填空题：本题共三、填空题：本题共
7、 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计分，计 2020 分分.13.已知已知(3,4),|5ab，则则()()_.abab14.圆圆225xy的过点的过点(1,2)M的切线方程为的切线方程为_.15.已知抛物线已知抛物线2:4C yx的焦点为的焦点为,F过过F的直线的直线l与与C交于点交于点,A B，则则|4|AFBF的最小值为的最小值为_.16.已知圆台上底面的半径为已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为下底面的半径为4，高为高为7，圆台上圆台上、下底面的圆下底面的圆周都在周都在同同一个球面上，一个球面上，则该球的体积是则该球的体积是_.四四、解答题解答题：本题共本题共 6 6
8、 小题小题，计计 7070 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤.17（本题满分（本题满分 10 分）分）已知数列已知数列na的首项的首项12a，*132(2,)nnaannN，3log(1)nnba.（1）证明：）证明：1na 为等比数列；为等比数列；（北京）股份有限（2）证明：证明：1 22 311111nnbbb bb b18（本题满分（本题满分 12 分）分）在在2223()4Sabc，coscos2 cosaBbAcC，请在这两个条件中请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在在ABC
9、中，角中，角 A，B，C 所对的边分别为所对的边分别为 a，b，c，设，设S为为ABC的面积的面积，满足满足_(填写序号即可填写序号即可)（1）求角）求角 C 的大小的大小;（2）若若3c，求，求ABC周长周长的最大值的最大值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19（本题满分（本题满分 12 分）分）如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱111ABCABC中，中，14,3,5AAACABBC，点点 D 是线段是线段 BC 的中点的中点.（1）求证：）求证：1ABAC；（北京）股份有限（2）求二面角）求二面角1DCAA的余弦值的余弦值.20（本
10、题满分（本题满分 12 分）分）新高考的数学试卷第新高考的数学试卷第 1 至第至第 8 题为单选题题为单选题，第第 9 至第至第 12 题为多选题题为多选题.多选多选题题A、B、C、D 四个选项中至少有两个选项符合题意四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下其评分标准如下：全部选对全部选对得得 5 分分，部分选对得部分选对得 2 分分，选错或不选得选错或不选得 0 分分.在某次考试中在某次考试中，第第 11、12 两题的两题的难度较大难度较大，第第 11 题正确选项为题正确选项为 AD，第第 12 题正确选项为题正确选项为 ABD.甲甲 乙两位同学由乙两位同学由于考前准备不足，只能对这
11、两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的是等可能的.（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为 4 分的概率；分的概率；（2）若甲同学计划每题均随机选取一项若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项乙同学计划每题均随机选取两项，记记甲同学的两题得分为甲同学的两题得分为X，乙同学的两题得分为，乙同学的两题得分为Y，求，求,X Y的期望并判断谁的期望并判断谁的方案更优的方案更优.21（本题满分（本题满分 12 分）分）已知椭圆已知椭圆
12、C的两个焦点为的两个焦点为(1,0),(1,0),点点3(1,)2A在在C上上，直线直线l交交C于于,P Q两点，直线两点，直线,AP AQ的斜率之和为的斜率之和为 0.(1)求椭圆求椭圆C的方程；的方程；(2)求直线求直线l的斜率的斜率.22（本题满分（本题满分 12 分）分）已知函数已知函数()(1)2().xxxf xa eaRe（1）若）若()()xg xef x，讨论讨论()g x的单调性；的单调性；（2）若）若()f x有两个零点，求实数有两个零点，求实数a的取值范围的取值范围.（北京）股份有限数学参考答案数学参考答案一单选：BADDBCDA二多选：9.BD10.ABC11.ABD
13、12.AC三填空：13.2014.250 xy15.916.5003四解答：17.（1）证明：当2n 时，111133311nnnnaaaa，又1130a .4分数列1na 是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列.5 分（2）证明：由（1）知，数列1na 是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列，所以，13nna ，所以，3log(1)nnban.7 分11111(1)1nnb bn nnn所以，1 22 31111111=+1 22 3(1)nnbbb bb bn n11111111122311nnn .10分18.(1)解：若选，由题意可知，13sin2cos24abCabC，2 分
14、所以tan3C.3 分因为0,3C所以，.3C.5 分若选，由正弦定理，得sincossincos2sincosABBACC2 分（北京）股份有限所以，sin()2sincosABCC，即sin2sincosCCC10,sin0,cos.2CCC4 分.3C5 分（2）解法一：由正弦定理，得32 3sinsinsinsin3abcABC 因此，2 3sin,2 3sin.aA bB.7 分ABC的周长2 3sin2 3sin3labcAB2=2 3sin2 3sin)33AA（=6sin()36A，.10 分当3A时，max639l因此，ABC的周长的最大值为 9.12 分解法二：由余弦定理，
15、得2222coscababC，.7 分因此2229()3abababab22()3()2abab 6ab，当且仅当ab时等号成立.11 分ABC的周长3639.labcab 因此ABC的周长的最大值为 9.12 分19.（1）证法一：在ABC中，4AC，3AB，5BC，满足222ABACBCABAC.2.分111ABCABC是直三棱柱，（北京）股份有限1AA 平面ABC.AB 平面ABC1AAAB.3 分又1AAACA，1AA 平面11A ACC，AC 平面11A ACCAB 平面11A ACC.5 分又1AC 平面11A ACC.1ABAC.6 分证法二：111ABCABC是直三棱柱，1AA
16、 平面ABC.1AC在平面ABC内的射影为AC.2 分在ABC中，4AC，3AB，5BC，满足222ABACBC，ABAC.4 分又AB 平面ABC，由三垂线定理可知1ABAC.6 分（2）解法一：由（1）可知，1AA 平面ABC，1AAAB，1AAAC.又ABAC，以A为原点，1,AC AB AA 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则32,02D，4,0,0C，10,0,4A.13(2,0),(4,0,4)2CDCA 设平面1DAC的一个法向量为,nx y z，则由10,0n CDn CA 得320,2440.xyxz解得4,3.yxzx取3x，则3,4,3n
17、.8 分AB 平面11A ACC.平面1A AC的一个法向量是0,3,0AB .9 分（北京）股份有限122 34cos,17334AB nAB nABn .10 分由图可知，二面角1DCAA为锐角，所以二面角1DCAA的余弦值为2 3417.12 分解法二：取AC的中点为O，连接,OB OA，则由等腰三角形三线合一可知，11,OBAC OAACAOB是二面角1DCAA的平面角.9 分在Rt BAO中，90,2 2,3,BAOOAAB2217OBOAAB.10 分2 22 34cos1717OAAOBOB所以二面角1DCAA的余弦值为2 3417.12 分20.解：（1）因为甲同学两题得分合计
18、为 4 分，所以这两道题每道题得 2 分，所以甲同学两题得分合计为 4 分的概率为：1132114438CCCC；3 分（2）甲同学的两题得分X的取值范围为0,2,4所以112111441(0)8CCP XCC，113211443(4)8CCP XCC，131(2)1(0)(4)1882P XP XP X ，所以X的分布列为：X024P1812385 分因此113()0242.5828E X（分），6 分（北京）股份有限设乙同学第 11 题可能得分为1Y，则1Y的取值范围为0,5211222122445(0)6CCCP YCC，221241(5)6CP YC，设乙同学第 12 题可能得分为2Y
19、，则2Y的取值范围为0,211312241(0)2CCP YC，231241(2)2CP YC，乙同学的两题得分Y的取值范围为0,2,5,7，所以11515(0)(0)(0)6212P YP YP Y，11515(2)(0)(2)6212P YP YP Y，11111(5)(5)(0)6212P YP YP Y，11111(7)(5)(2)6212P YP YP Y，所以Y的分布列为：Y0257P512512112112.10 分因此551111()0257121212126E Y (分)，.11 分因为()()E XE Y，所以甲同学的方案更优.12 分21.(1)解 法 一：椭 圆C的 焦
20、 点 在x轴 上，设C的 方 程 为22221(0)xyabab由已知，1,c 又因为222,cab所以221ab因为点3(1,)2A在C上，所以221914ab（北京）股份有限从而有2219114bb，.2 分解得23b 或234b （舍去）.3 分因此23 1=4a ，从而椭圆C的方程为22143xy.4 分解法二：设12(1,0),(1,0),FF则根据椭圆的定义，22221233532|(1 1)(0)(1 1)(0)42222aAFAF，所以2a，.2 分又由已知，1,c 所以2224 13.bac.3 分从而椭圆C的方程为22143xy.4 分（2）解法一：设直线AP的方程为：3(
21、1),2yk x代入22143xy，得2222(34)(128)41230kxkkxkk.6 分设1122(,),(,)P x yQ xy，因为点3(1,)2A在椭圆C上，所以2111241233,342kkxykxkk7 分因为直线,AP AQ的斜率之和为 0，所以在上式中以k代k，可得2222241233,342kkxykxkk.8 分所以直线l的斜率为21212121()2yyk xxkxxxx（北京）股份有限2222222241234123()2134344123412323434kkkkkkkkkkkkkk.12 分解法二：设11()P xy，22()Q xy，直线PQ的方程为ykx
22、m联立221.43ykxmxy，得222(34)84(3)0kxmkxm，.6 分22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m kkmkmmkxxkmx xk ，即，则，.7 分因为直线,AP AQ的斜率之和为 0,所以121233220.11APAQyykkxx121233220.11kxmkxmxx即121232()()230.2kx xmkxxm2224(3)382()230.34234mmkkmkmkk整理，得24(48)230kmkm.10 分(21)(223)0kkm，13,22kmk 或（舍去）.11 分所以直线l的斜率为12.12 分解法三：设
23、11()P xy，22()Q xy，则（北京）股份有限22112222143143xyxy，两式相减，得121212123()()4()()0 xxxxyyyy211221123()4()PQyyxxkxxyy 6 分同理可得，113(1)34()2APxky，223(1)34()2AQxky.7 分因为直线,AP AQ的斜率之和为 0，所以113(1)34()2xy223(1)034()2xy，即121211+03322xxyy，整理，得122112123()()302x yx yxxyy.9 分又121233220.11APAQyykkxx整理，得122112123()()302x yx
24、yxxyy.10 分-，得12123()2()0.xxyy121223xxyy .11 分把代入，得321().432PQk 所以直线l的斜率为12.12 分22.解:（1）由题意，()()(1)2(1)2.xxxxxxxxg xef xea eae eexe()g x的定义域为(,),()(1)21(21)(1).xxxxxxxg xae eaeeeeae.1 分若0a，则()0g x，所以()g x在(,)上单调递减；.2 分（北京）股份有限若0a，令()0,g x解得ln.xa 当(,ln)xa 时，()0g x；当(ln+)xa，时，()0g x，所以()g x在(,ln a 上单调递
25、减，在 ln+)a，上单调递增.4 分(2)因为0 xe,所以()f x有两个零点，即()()xg xef x有两个零点.若0a，由（1）知，()g x至多有一个零点.6 分若0a，由（1）知，当lnxa 时，()g x取得最小值，最小值为1(ln)1ln.gaaa 当1a 时，由于(ln)0ga，故()g x只有一个零点；.7 分当(1,)a时，由于11ln0aa，即(ln)0ga，故()g x没有零点；8 分当(0,1)a时，由于11ln0aa，即(ln)0.ga又2222(2)(1)22220gaeeee，故()g x在(,ln)a 上有一个零点.9 分存在03(ln(1),)xa，则0000000000()(1)2(2)0.xxxxxxg xaeeexeaeaxex又3ln(1)ln,aa 因此()g x在(ln,)a上有一个零点.11 分综上，实数a的取值范围为(0,1).12 分