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1、高考数学平面解析几何大题专题训练70题含答案学校:姓名：班级：考号：一、解答题x2_1.已知点P是椭圆E:+y2=l上的任意一点,Fl,F2是它的两个焦点,。为坐标原点，动点Q满 足 的=函+理.求动点Q的轨迹方程;若已知点AO-2),过点A作直线I与椭圆E相交于B,C两点，求aO BC面积的最大值.2 22.已知椭圆+=l(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点Fl(-2,0)作x轴的垂线a b交椭圆于P,Q两点,PF2与y轴交于EO,|,A,B是椭圆上位于PQ两侧的动点.求椭圆的离心率e和标准方程；当NAPQ=/BPQ时，直线AB的斜率kAB是否为定值?若是,求出该定值;若不是，请
2、说明理由.3.如图所示,A,B分别是椭圆C:5+%=l(ab0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与aI FB|的等差中项,6是I AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点，过点A作直线l x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线I于点Q.求椭圆C的方程；试问在X轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由.4.已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离 心 率 为 三，且一个焦点坐标为(夜Q).(1)求椭圆M的方程;(2)设直线I与椭圆M相交于A.8两点,以线段OAQB为邻边作平行四边形OAPB,其中点P在椭
3、圆M上Q 为坐标原点，求点。到直线I的距离的最小值.5.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为也，过左焦点/且垂直于x轴2的直线交椭圆C于P,。两点，且|PQ|=2后.试卷第1页，共18页(I)求C的方程；(I I)若圆f+y 2=4上一点处的切线/交椭圆C于两不同点M,N,求 弦 长 的 最大值.2 226 .已知椭圆G：会+旨=%6 0)的左右顶点是双曲线。2：/=1的顶点，且椭圆G的上顶点到双曲线c,的渐近线的距离为也.2(1)求椭圆G的方程；(2)若直线/与G相交于M，“2两点，与G相交于2，两点，且 西 施=-5,求|M%|的取值范围.7 .如图，设 点A和B为 抛 物 线
4、丁=4内(夕0)上原点以外的两个动点，已知O A L O B,O M L A B.求 点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.8 .已知椭圆：的一个顶点为题2,0),且焦距为2,直线/交椭圆a b于E、尸 两 点(点、E、尸与点A不重合)，且满足N E L N F.(1)求椭圆的标准方程;(2)。为坐标原点，若点P满足2丽=诙+而，求直线U 的斜率的取值范围.2 29.已知耳，鸟是椭圆二+4=1的左、右焦点，。为坐标原点，点 尸-1，a b-在椭圆上，线段尸8与v轴的交点”满 足 两+辰7 =0.(I)求椭圆的标准方程；(I I)圆。是以耳居为直径的圆，一直线/：y=丘+，”与圆O相切，并与椭圆
5、交于不同2 3的两点A、B ,当0 4.赤=2，且满足;4 4 了时，求AO/8的面积S的取值范围.3 41 0.如图，在平面直角坐标系x O y中，圆。：W+/=4与x轴的正半轴交于点A,以点A为圆心的圆A：(x-2)2+_/=/(厂 0)与圆。交于8 ,C两点.(1)当厂=&时，求8 C的长；(2)当，变化时，求方衣的最小值：试卷第2页，共1 8页（3）过点P（6,0）的直线/与圆A切于点。，与圆。分别交于点E,F,若点E是。尸的中点，试求直线/的方程.2 21 1 .已知椭圆C:+=l （a 6 0）的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为2 指,a b顶角为1 2 0。的等腰三角形.（1）
6、求椭圆C的方程;（2）设A、B、P是椭圆上三动点，且 无=1 -r=OA+V W,线段Z8的中点为。,求|。|的取值范围.1 2 .已知椭圆C：W+=l（a b 0）的长轴长为4,直线丁=被椭圆C截得的线段长a b为巫5（1）求椭圆C的标准方程;（2）过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线44分别交椭圆。于M，N两点（点M,N不同于椭圆C的右顶点），证明：直 线 过 定 点 弓,。）.1 3 .中，。是 8c的中点，忸C|=3 垃，其周长为6 +3 正，若点7在线段NO上,且|Z T|=2|T O|.（1）建立合适的平面直角坐标系，求点7 的轨迹E 的方程；（2）若M N 是射线OC上不同的两点
7、，OM-ON=,过点加的直线与E 交于P,。,直线Q N 与E 交于另一点、R,证明：A M P R 是等腰三角形.1 4.如图，已知点P 是 y 轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y 2=4x 上存在不同的两点A,B满足PA,P B 的中点均在C上.试卷第3 页，共 1 8 页（I ）设 AB中点为M,证明：P M垂直于y 轴;（H）若 P 是半椭圆x 2+i=l（x b 0）,短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，且椭圆过点（冬 1）.（1）求椭圆C的标准方程;（2）设4 8依次为桶圆的上下顶点，动点。满 足 丽 次=0,且 直 线（与椭圆另一个不同于A的交点为P.求证：存2+丽 迎
8、为定值，并求出这个定值.1 6.已知抛物线C：/=2 p x（p 0）的焦点为尸，直线2 x +y-6=0 交抛物线C于 4 8两点,是 线 段 Z8的中点，过M 作了轴的垂线交抛物线C于点N.（1）若 直 线 过 焦 点 产，求 1的值；（2）是否存在实数P,使AZBN是以N为直角顶点的直角三角形?若存在，求出夕的值，若不存在，说明理由.1 7.已知椭圆C:，+，=l（a b 0）的一个焦点与抛物线:=*/的焦点相同，且过点尸（百 f （1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点的直线/与椭圆C交于M,N两点，已知OM,直线/,ON的斜率勺,左，治成等比数列，记以O M,ON为 直 径 的 圆
9、的 面 积 分 别 为,试探究5 +5 的值是否为定值,若是，求出此值；若不是，说明理由.1 8.如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C：5+-=1 （”6 0）经过点（1,Q be）,其中e 为椭圆的离心率.F八乃是椭圆的两焦点，M 为 椭 圆 短 轴 端 点 且 为等腰直角三角形.试卷第4页，共 1 8 页（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过原点的直线/与椭圆C相交于4、8两点，第一象限内的点尸（1,加）在椭圆上，直线。尸平分线段Z 8,求：当以B的面积取得最大值时直线/的方程.2 21 9.已知椭圆。:+S=1（稣 6 0）的左右焦点分别为耳，巴，抛物线/=4 x与椭圆C有相同
10、的焦点，且椭圆C过点，|）.（/）求椭圆C的标准方程；（I I ）若椭圆C的右顶点为A,直线/交椭圆C于瓦尸两点（瓦广与A点不重合），且满足 4 E L A F ,若点P 为E F中点，求直线力尸斜率的最大值.2 x +y-6百=0 与 直 线 垂 直，垂足为8点，且点M是线段A/B 的中点.（I）求椭圆C的方程；（I I）如图，若直线/：=h+旭与椭圆C交于E,尸两点，点G在椭圆C上，且四边形O EG 尸为平行四边形，求证：四边形O E G F 的面积S 为定值.2 1.已知动圆过定点尸（0,加）（加 0）,且与定直线4：y =-加相切，动圆圆心”的轨迹方程为C,直线4 过点尸交曲线C于4
11、8两点.试卷第5页，共 1 8 页(1)若/，交X 轴于点S,求 却+R2的取值范围;(2)若4 的倾斜角为3 0,在乙上是否存在点E 使A/1 8 E为正三角形？若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由.2 2 .已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上，左，右焦点分别为B，尸 2,上顶点和右顶点分别为8,4 线段A B的中点为。，且 如 此，=-1，A 4O B的面积为2 近.(1)求椭圆C的方程；(2)过 B 的直线/与椭圆C相交于A/,N两点，若 M E N 的面积为与，求以下2 为圆心且与直线/相切的圆的方程.2 3 .如图，椭圆C：1+5 =l(a b 0)的右焦点为尸，右顶点、上
12、顶点分别为点43,a h已知椭圆C的焦距为2,且多却=逅忸利.(2)若过点尸(0,-2)的直线/交椭圆C于两点，当 M O N 面积取得最大时，求直线/的方程.2 4.如图，椭圆G：E +=l(a b 0)的左右焦点分别为耳，玛，离 心 率 为 巫，过a-b-27抛物线。2：V=4勿焦点F的直线交抛物线于”,N 两点，当|板 卜；时，M 点在x 轴上的射影为耳，连接N O,。)并延长分别交G于4 8两点，连接A O MN 与AOAB试卷第6页，共 1 8 页(i)求椭圆G和抛物线G的方程;(2)求4的取值范围.2 5.已知:抛物线侬:产=2户焦点为尸，以尸为圆心的圆厂过原点0 ,过尸引斜率为上
13、的直线与抛物线?和圆尸从上至下顺次交于A、B、C、D.若 布 丽=4.(1)求抛物线方程.(2)当为 何值时,4 1 0 8、B 0 C、A C 0 D的面积成等差数列；(3)设M为抛物线上任一点，过M点作抛物线的准线的垂线，垂足为H.在圆F上是否存在点N，使阿 的 最 大 值，若存在，求出阿川-WM的最大值；若不存在，说明理由.2 22 6.已知椭圆。:0+彳=1(“60)的一个焦点为尸(3,0),其左顶点/在圆a b“O:x2+/=1 2 .(1)求椭圆C的方程：(2)直线/：x =m y +3(加HO)交椭圆C于,N两点，设点N关于x轴的对称点为N、(点乂与点M不重合)，证明：直线乂 过
14、x轴上的一定点，并求出定点坐标.2 7.如图所示，将一块直角三角形木板工8。置于平面直角坐标系中，已知=点P(g,；)是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点尸的任一直线将三角形木板锯成ANMV.设直 线 的 斜 率 为 人.I Y /1A(1)求点M,N的坐标及直线MN的斜率左的范围；(II)令ARWV的面积为S,试求出S的取值范围；(III)令(H)中S的取值范围为集合。，若S加(1-2 S)对S e。恒成立，求加的取值范围.试卷第7页，共1 8页2 8.已知椭圆C:J +4 =l(a b 0)的焦距为2 面，设右焦点为厂，过原点。的直线/a b-
15、与椭圆C交于48 两点，线段 尸的中点为，线段B 厂的中点为N,且 西 丽=!.4(1)求弦48 的长；(2)当直线/的斜率=1,且直线/时，交椭圆于P,。，若点A在第一象限，求证：直线与x 轴围成一个等腰三角形.2 9.如图，过点E(1,O)的直线与圆0:/+/=4相交于48 两点，过点C(2,0)且与48 垂直的直线与圆。的另一交点为。.(1)当点8 坐标为(0,-2)时，求直线CD 的方程；(2)求四边形/C 5 Z)面积S 的最大值.3 0.在平面直角坐标系x O y 中，椭圆E：+，=1(。”0)的离心率为乎，焦距为2.(I )求椭圆E 的方程；(II)如图，动直线/：y =/x-正
16、 交椭圆于 48 两点，C是椭圆E 上一点，直线0 c的斜率为七，且2=乎，是线段0C延长线上一点，且眼。:|/=2:3,。旧 的半径为|M C|,。5,。7 是。/的两条切线，切点分别为S,T.求 N S O T 的最大值，并求取得最大值时直线/的斜率.试卷第8页，共 1 8页3 1.如图，己知抛物线x 2 =y.点A,；，j，喑,皆，抛物线上的点P(x,y)-g x 6 0)的左、右焦点分别为(T O),6(1,0),点a b/(，日)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程：(2)是否存在斜率为2的直线/,使得当直线/与椭圆C有 两 个 不 同 交 点 时，能在直线y =g上找到一点P,在椭
17、圆C上找到一点。，满 足 丽=而？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.3 3 .如图，已知椭圆的离心率为立，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点耳,凡为顶2点的三角形的周长为4(0 +1),一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线尸片和也与椭圆的交点分别为4 8和C,。，其中4c在x轴的同一侧.(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)是否存在题设中的点P,使得|刀|+|而卜3-_ 。？若存在 求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.3 4.已知抛物线E：_/=4x的焦点为尸，圆C：2+_/-2改+。2-4=0.直线/与抛物线E交于点A、B两
18、点，与圆C切于点尸.试卷第9页，共1 8页（1）当切点p的坐标为（1，|）时.，求直线/及圆C的方程；（2）当。=2 时，证明：|E4|+|q|-|43|是定值，并求出该定值.3 5.设点尸（0,；）,动圆A经过点尸且和直线夕=-；相切，记动圆的圆心A的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C上一点P的横坐标为（0）,过户的直线交C于另一点。，交x 轴于点,过点。作尸。的垂线交C于另一点N.若是C的切线，求，的最小值.3 6.如图所示，椭圆E 的中心为坐标原点，焦点耳，鸟在x 轴上，且片在抛物线必=以的准线上，点P是椭圆E 上的一个动点，再面积的最大值为力.（1 ）求椭圆E 的方程；
19、（I I ）过焦点斗写作两条平行直线分别交椭圆E 于 4 8,C,。四个点.试判断四边形月8 8 能否是菱形，并说明理由；求四边形力8 C D 面积的最大值.3 7 .在平面直角坐标系X。y中，点 T（-8,0）,点 R,Q 分别在x 和丁轴上，QT-QR=Q,P是线段RQ的中点，点 P的轨迹为曲线E.（1）求曲线E 的方程；（2）直线L与圆（x +l+/=1 相切，直线L与曲线E 交于M,N,线段M N中点为A,曲线E 上存在点C满 足 丽=2而（力0）,求；t的取值范围.3 8.在平面直角坐标系x O y 内，动点M（x,y）与两定点（-2,0）,（2,0）连线的斜率之积为,14,（1）求
20、动点M的轨迹C的方程；（2）设点/（X ,M），%）是轨迹。上相异的两点.（I）过点A,B分别作抛物线_/=4瓜的切线，4,4 与4 两条切线相交于点试卷第1 0 页，共 1 8页N 1-瓜t),证明：NA-NB Q-.(II)若直线0 4 与直线08 的 斜 率 之 积 为 证 明：豆的8为定值，并求出这个定值.3 9.已知点尸(1,0),直线/:x =-l,直线/垂直/于点P,线段P 尸的垂直平分线交/于点。.(1)求点。的轨迹C的方程；(2)已知点”(1,2),过尸且与x 轴不垂直的直线交C于 4 8 两点，直线力4,8,分别交/于 点 求 证：以 为 直 径 的 圆 必 过 定 点.2
21、 240 .已知椭圆C：+=l(a 6 0),O是坐标原点，耳，鸟分别为其左右焦点，山 园=2 道,是椭圆上一点，/不 明 的 最 大 值 为|乃(1)求椭圆C的方程；(2)若直线/与椭圆C交于尸,0 两点，且。尸(i)求证：0评用 为 定 值；(i i)求 O P 0 面积的取值范围.41 .已知。G：(x +l)2+F=1,。2 ：(x-l)2+/=(厂 0),G)G 内切0 c;于点4 二是两圆公切线/上异于A的一点，直线P 0 切OG于点0,依 切 QG于点火，且。，尺均不与A重合，直线G0，GR相交于点(1)求 M 的轨迹C的方程；(2)若直线M G与X 轴不垂直，它与C的另一个交点
22、为N,是点也关于X 轴的对称点，求证：直线M 0 过定点.42 .已知椭圆的离心率 =彳，右焦点尸(c,0),过点力(30卜 J直线交椭圆E 于P,。两点.(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P关于x 轴的对称点为,求证:，尸三点共线；(3)当A F P。面积最大时，求直线尸。的方程.43 .已知动圆M 过定点7(2,0),且在J轴上截得的弦P。长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；试卷第1 1 页，共 1 8页设点4 8 是轨迹C上的两点，次.丽=-4且尸（L 0），记5=53 哂+，）”，求S 的最小值.4 4.已知椭圆C:+l（b 0）经过点（2 ,何 且 离 心 率 等 于 也，点4,
23、8 分别为椭圆C的左右顶点，点尸在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足。M|4P,O N|B P,求证：三角形MO N的面积是定值.4 5.已知椭圆C:+=l（4 b 0）经过点（2 ,五）且离心率等于冷，点 4,3分别为椭圆C的左右顶点，点 P 在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足O A/II/P,O N|B P,求证：三角形MO N的面积是定值.46.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，椭圆C：5+=l（a 6 ）的离心率是暗,且直线/,：H+与=1 被椭圆C截得的弦长为止.a b（I ）求椭圆C的标准方程；（I I
24、 ）若直线4与圆。：/+/-6x-4y +掰=0相切：（i）求圆。的标准方程；（i i）若直线4 过定点（3,0）,与椭圆C交于不同的两点E、F,与圆。交于不同的两点M、N ,求的取值范围.47 .如图，直线。4。8 方程分别 为 一 和 广 一 冬，过点P（2,0）作直线4 8 分别交。4于8两点，当 的 中 点 C恰好落在与直线2x +y +/n=0,（me 7?）垂直且过原点的直线上时，求直线48的方程.4 8 .已知椭圆C：，+（=1（4 6 0）经过点（1,弓），离心率为 亭，点A为椭圆C的试卷第12页，共 18 页右顶点，直线/与椭圆相交于不同于点A的两个点口国,月),。(马，为)
25、.(I)求椭圆C的标准方程;(1 1 )当 万 而=0 时，求A O P 0 面积的最大值;(I I I)若直线/的斜率为2,求证：A O P Q 的外接圆恒过一个异于点A的定点.4 9 .已知圆。:一+必=2,直线/过点河停),且。M_L/,P(x。,%)是直线/上的动点，线段Q W r 与圆O 的交点为点N,N 是N关于x 轴的对称点.(1)求直线/的方程；(2)若在圆O 上存在点。，使得N O P Q =3 0,求X。的取值范围；(3)已知48是圆。上不同的两点，旦 N=N B N N ,试证明直线N8的斜率为定值.5 0.已知椭圆。:捺+，=1(6 0)过 点(|,-坐 ,且离心率为。
26、.(I )求椭圆C的标准方程；(I I)若点/(玉,乂)，8(,外)是椭圆C上的两点，且x 产 X 2,点P(l,0),证明：A B不可能为等边三角形.5 1.已知椭圆 C：捺+，=1伍 6 0)的 离 心 率 为*,4(。,。)，B(0,b),0(0,0),0/8 的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为2 的直线与椭圆交于P、。两点。尸_L。，求直线/的方程；(3)在x 上是否存在一点E使得过E的任一直线与椭圆若有两个交点阳、N则都有 不+人 为 定 值？若存在，求出点E的坐标及相应的定值.5 2.已知椭圆C:+=l(a b 0)的长轴长为4,离心率为也.a2 h12试卷第13 页，
27、共 18 页(1)求椭圆C的方程：v-2(2)P为 椭 圆 上+贯=1上任意一点，过点P的直线卜=去+加交椭圆C于 48两点，2射线尸0 交椭圆C于点Q (0 为坐标原点).是否存在常数X,使得恒成立？若存在，求出4的值，否则，请说明理由；求A J 8 0 面积的最大值，并写出取最大值时上与加的等量关系式.5 3 .已知/(-2,0),8(2,0),动点、P 满足3 kp B=t ,其 中 分 别 表 示 直 线 尸 8的斜率，为常数，当f=-1时，点P的轨迹为G；当f =-；时，点P的轨迹为C?.(1)求的方程；(2)过点E卜0,0)的直线与曲线G，G 顺次交于四点6出 出，4,且几舄6G，
28、P2,P C2,是否存在这样的直线/,使得归段，区周，区周成等差数列？若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.5 4 .已知椭圆c/+/=l(a 6 0)离 心 率 为 半，焦距为2夜，抛物线C2：X2=2p y(p 0)的焦点F是椭圆C的顶点.(I)求 G与c 2的标准方程；(11)设过点尸的直线/交G 于尸，0 两点，若 G的右顶点A在以尸。为直径的圆内，求直线/的斜率的取值范围.2 25 5 .设椭圆E：+0=l 的焦点在x 轴上.a _Q(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程；(2)设片,行分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线与尸交y轴于点。，并且耳证明
29、：当。变化时，点P在定直线x +y =l上.5 6 .已知椭圆C：+4=(a B 0)的离心率为也，椭圆C和抛物线了2=工交a b 2试卷第14 页，共 18 页于两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)经过椭圆c右焦点的直线I 和椭圆c交于43两点，点_?在椭圆上，且近=痂,其中。为坐标原点，求直线I 的斜率.5 7.已知动圆尸与圆耳：(x+3 f+/=8 1,圆石：(x-3 y+_/=i 都相内切，即圆心P的轨迹为曲线C；设。为曲线C上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点月作。的平行线交曲线。于N 两个不同的点.(1)求曲线。的方程；(2)试探究|
30、MN|和|0。的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由.2 2 r5 8.已知椭圆C：三+j=l(a b 0)的离心率为义色，椭圆C的长轴长为4.L 2 2 9b a 4(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线1：y=k x+J 油 椭 圆 C交于A,B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.5 9 .已知椭圆C的两个焦点坐标分别是耳卜省,0)、居(百,0),并且经过点尸(行,一；).(1)求椭圆C的方程：(2)若直线/与圆。：/+/=1 相切，并与椭圆C交于不同的两点A、8.当8.历=义，1 2且满足;时，求A
31、J 0 8面积S 的取值范围.2 36 0 .已知。为坐标原点，抛物线C:/=工(0)在第一象限内的点P(2J)到焦点的距离为3，曲线C在点P 处的切线交X 轴于点。，直线人经过点。且垂直于X 轴.(1 )求线段。的长；(H)设不经过点尸和。的动直线4：X=叩+6交曲线C于点A 和 8,交4 于点E,若直线P4 PE,尸 8 的斜率依次成等差数列，试问：4 是否过定点？请说明理由.6 1.如图，已知椭圆C:，+，=l(a b 0)经过点(1,*),且离心率等于孝，点4 5分别为椭圆C的左、右顶点，M,N 是椭圆C上不同于顶点的两点，且 AO A/N的面积等于 叵2试卷第15 页，共 18页（2
32、）过点A 作/尸0M 交椭圆C于点P,求证：B P/ON.6 2.已知动点P 到点力（-2,0）与点8（2,0）的 斜 率 之 积 为 点 p的轨迹为曲线C.（2）若点。为曲线。上的一点，直线4。,8。与直线=4 分别交于、N 两点，求线段儿 W 长度的最小值.2,）6 3.已知椭圆C:讶+方=1（。6 0）的离心率为3，右焦点工到直线x +y+5 =0 的距离为3五.（1）求椭圆。的方程;（2）若直线/经过椭圆C的右焦点石，且与抛物线j/=4 x 交于4,4 两点，与椭圆C交于4,与两点，当以8区为直径的圆过椭圆c 的左焦点耳时，求以44为直径的圆的标准方程.6 4.已知耳工分别为椭圆ay2
33、F=l(a h 0）的左、右焦点,8为椭圆的上顶点,瓦；为正三角形，且 P 为椭圆上一点，/（0,2虚）为椭圆外一点,|尸4 卜归匕|的最小值为-1,过点鸟且垂直于X 轴的直线交为椭圆于C,。两点，直线/：y=?x +与 丁+/=3相切并且 交 椭 圆 于 在 直 线 CO的两侧）两点.（1）求椭圆的方程；（2）当四边形C A/D N的面积最大时，求直线/的方程.试卷第16 页，共 18页6 5 .已知椭圆G:+g=l（a b 0）的离心率为且，短半轴长为1.a b-2（1）求椭圆G的方程；（2）设椭圆G的短轴端点分别为48,点P 是椭圆G上异于点4 8 的一动点，直线PA,PB分别与直线x
34、=4 于N 两点，以线段MT V 为直径作圆C.当点P 在N 轴左侧时，求圆C半径的最小值；问：是否存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.6 6 .已知椭圆C：5 +!=l（a 6 0）的右焦点为尸（1，），且点P。，在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆优上异于其顶点的任意一点。做圆。：/+/=；的两条切o 33线，切点分别为,N （,N 不在坐标轴上），若 直 线 在 x 轴，歹轴上的截距分别为加,，证明:1 3+匕为定值.3m nr2 v2i6 7 .已知椭圆C：0+4=1（。6 0）的左、右焦点分别为 巴，
35、离 心 率 为;,经过点用且倾斜角为4 5,的直线/交椭圆于4 8 两点.（1）若 的 周 长 为 16,求直线/的方程；（2）若 囱 号,求 椭 圆 C的方程.6 8.如图，已知椭圆，+，=1（a b 0）,椭圆的长轴长为8,离心率为，.（1）求椭圆方程;试卷第17 页，共 18页 椭 圆 内接四边形Z8 CD的对角线交于原点，且(而+而)(反-册)=0,求四边形A B C D周长的最大值与最小值.6 9.如图，椭圆C:+，=1(a b 0)左、右焦点分别为F，G，上顶点4x轴负半轴上 有 点B,满 足 函=瓦瓦，且A B L A F2,若过4 B、6三点的圆与直线X-6 3 =0 相切.(
36、1)求椭圆。的方程；(H)若 巴。为椭圆上的点，且 直 线P。垂直于x轴，直 线/：x =4与x轴 交 于 点N,直线PR与0N交于点，求A P A/N的面积的最大值.70.在直角坐标系X。上取两个定点4(-2,0),4。)，再取两个动点M(o,M，M(o,)，且?=3 .(1)求直线4M与4生交点的轨迹加 的方程；(2)已知点/(l,，)(f 0)是轨迹M上的定点，E,尸是轨迹”上的两个动点，如果直线A E的斜率kA K与直线A F的斜率kA F满足kA E+kA F=0,试探究直线E F的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.试卷第1 8页，共1 8页参考答案:1.(1
37、)+-=1 ；(2)11 6 4【解析】【分析】(1)根据椭圆方程，写出两个焦点坐标；设出动点Q，根据向量的坐标运算，求出P与Q的关系，再根据P在椭圆上，进而求得动点Q的轨迹方程.(2)首先根据题意可知直线的斜率必定存在，又因为过点A,可利用点斜式设出直线方程.联立椭圆，设出B(x i,y i),C(X 2 2)的坐标；利用判别式大于0,可求得k的取值范围；利用韦达定理表示出三角形O BC的面积，进而结合基本不等式可求得最后面积的最大值.【详解】(l)V a2=4,b2=lc=7a2-b2=6；.FI(-6,0),F 2(6,0).设 Q(x,y),P(x o,y o),动点Q满 足 的=国+
38、至，X=-A/3-X0+A/3-X0,vf-y。，解得 x o=-|,y o=-p又(x o,y o)在 兰+y 2=l上,代入椭圆方程可得兰+e=1,.动点Q的轨迹方程为江+金=1.4 1 6 4 1 6 4(2)由题意可知:直线1的斜率存在,设直线1的方程为y=k x-2,B(x i,y i),C(x2,y 2).y=A x-2,联立x2,整理得(l+4 k 2)x 2-1 6 k x+1 2=0.+r=i,I 43由 (),解得k 2 J4,1 6 k1 2.X l+X 2=T，X1X2=-y.l +4 k l +4 k SAOBC=SAOAC-SAOAB=g|OAN|X2|-|xl|)
39、=|X2-Xl|=J(X+X 2)2-4X1X22 5 6 k 2 4 8(l +4 k2)2*l +4 k24 J 4 k 2-31 +4 1?令 J 4 k 2-3=t 0,化为 4 k2=t2+3.答案第1页，共9 4页4 t 4,4-=-sA S AOB C=+4 i+21 t.3 =1,当且仅当t=2时取等号，此时k=士 也.2 (S A oB C)m ax=l .【点睛】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交的综合问题、弦长公式及韦达定理的综合应用、基本不等式的用法等，对计算、化简能力要求高，属于难题.2.(1)+-=1 ；(2)见解析1 6 1 2【解析】【分析】(
40、1)代入F i的横坐标即可表示出P点 坐 标 为 卜；利用E点坐标以及0E为APF艮的中位线得到a与b的关系；再结合椭圆中a、b、c的关系即可解得a、b,进而求得椭圆的离心率与标准方程.(2)设A(xi,y i),B(X2,y 2),由(1)可求得P点坐标.设出直线AP的方程，则直线BP的方程也可以表示出来了.联立椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理与斜率的表达式即可求得斜率的定值.【详解】把x=-2代入椭圆方程得2+马=1,解得y=.取P-2,a 2 b 2 a I a J由题可得OE为尸片鸟的中位线，由 E(0,|)可得：=3,即 b?=3 a,又 a 2=b 2+4,联立解得
41、 a=4,b2=1 2,.e=8 =!，椭圆的标准方程为上+亡=1.a 4 2 1 6 1 2(2)当Z AP Q=Z BP Q时，直线AB的斜率kAB为定值-g.证明:由(1)得 P(-2,3),设 A(xi,y i),B(X2,y 2).不妨设直线P A的方程为y=k(x+2)+3厕 直 线P B的方程为y=-k(x+2)+3.答案第2页，共9 4页y =k(x+2)+3,联 立,x2 v2 整理得(3+4 k2)x2+(1 6 k2+2 4 k)x+1 6 k2+4 8 k-1 2=0,；.-2 x 尸+=1,I 1 6 1 21 6 k2+4 8 k-1 23 +4 k2解 得 Xl=
42、-8 k?-2 4 k+63 +4 k2-1 2 k2+1 2 k+93 +4 k2同 理 得 X2=-8 k2+2 4 k+63 +4 k2 2-1 2 k2-1 2 k+93 +4 k2&好=募 V，为定值.x2-x,4 8 k 2【点 睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系、韦达定理和斜率的表示方法，对计算能力和分析解决问题的能力要求很高，属于难题.3.(1)+-=1；(2)见解析4 3【解析】【分 析】(1)根据题意，用 a、c表示出|A F|、|F B,再根据等差中项与等比中项定义求出a、b、c,进而求得椭圆方程.(2)假 设 存 在 这 样 的 定 点.设 出 动
43、点 P,由 P 再椭圆上，用 xo表 示 y o,再 表 示 出 FM的方程,联 立 FM与直线/,得 交 点 Q,进而求得过定点的坐标.【详 解】(1)由题意得|A F|=a+c,|F B|=a-c,(+c)+(a-c)=2,即 厂 2(a +c)-(a-c)=(V 3),解得 a=2,c=1,/.b2=4-l=3.所 求 椭 圆 的 方 程 为 二+y=1.4 3(2)假 设 在 x 轴 上 存 在 一 个 定 点 N(n,0),使 得 直 线 P Q 必过 定 点 N(n,0).设 动 点 P(xo,y o),由 于 P 点 异 于 A,B,故 y o和，答 案 第 3 页，共 9 4
44、页由点P 在椭圆上，故有W+Z=l,a b-y；=丝 抖.又由知 A(-2,0),F(l,0),直线A P的斜率k A P=4.又点M 是以线段A F为直径的圆与直线A P的交点,；.AP，FM.1 x0+2kAP-kMF=-l=kM产-；-=-.kA P y0 xft+2.直线 FM 的方程 y=-y(x-1).Xo+2y=-,联立FM,1的方程，y0 x=-2,得交点Q 12,范上、.【y03(x0+2)P,Q两点连线的斜率kpQ=y0=$-3(x0+2),x0+2 y0(x0+2)将式代入式，并整理得kpQ=4(：o +2),4yo又 P,N两点连线的斜率kPN=.x0 n若直线Q P必
45、过定点N(n,0),则必有kpQ=kpN恒成立，即父：。+2)=2-,4yo x0 n整理得 4 次=-3(xo+2)(xo-n),将式代入式，得 4x%g=-3(xo+2)(xo-n)廨 得 n=2,故直线PQ过定点(2,0).4【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线过定点问题的解决思路和方法，要注意椭圆的图形与性质的综合，属于难题.4.(1)+-=1；(2)4 2 2【解析】【分析】设椭圆的标准方程，已知离心率e=乎，一个焦点1,0)=(V 2，0),结合a2=b2+c2,答案第4页，共 94页求得a,b,c的值，即可得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线1的斜率存在时，得 0 至心的最小
46、值为交，当直线1的斜率不存在2时，得最小值为I,综合考虑，可知点o 至也的最小值是走.2【详解】2 2由题意可设椭圆的标准方程 为 亍+氏=伍泌 J 也 T，,。=后，解得 a=2,b=C,a2=b2+c2,A椭 圆M的方程为：+/=1 当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y=kx+3,联立y=kx+rn,x2+2y2=4,化为 Q+2k2)x2+4knaX+2M2-4=(9,=*6k2M2-4(2+2k2)(2小2-4)0,化为 2+4k2-M2。,设 A(xZ,gl)凤 x2,g2)尸(xO/gO).xo=xi+x2=-另4km记 用。=gt+g2=k.z(xi+x2、)+23二 另2m
47、记.9 2点P在椭圆M上，学+券=.4k2m2 2m2 一 ._ A,(l+2k2)2+(l+2k2)2=L 化简信 2m2=1+2k2,满足().当且仅当k=0时取等号.当直线I无斜率时，由对称性可知:点P 一定在x轴上,从而点P的坐标为(2,0),直 线I的方程为x=1,点。到直线I的距离为1.二点。到直线I的距离的最小值为.2【点睛】圆锥曲线中的最值或范围问题求解方法有几何法和代数法两类，其中常用的代数法有：二答案第5页，共 94页次函数求最值法，三角函数有界性，基本不等式法，判别式法，导数判断函数单调性，求最值或范围.2 25.j +一 =10）2 0.8 4【解析】【分析】（I）根据
48、通径和离心率及椭圆中a、氏 c 的关系，可求得椭圆的标准方程.（I I）讨论当斜率是否存在.当斜率不存在时，易得切线方程和切点坐标，进而得到1 M M 的值.当斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到加2 =4 0 +二）；联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示出四叫=44：/12,再用换元法及函数单调性判 断 的 最 值.【详解】7 2（I ）由已知，设椭圆C的方程为5+4 =1（。6 0）,（T h因 为 闸=2 应，不 妨 设 点 咱 询，代入椭圆方程得，/+*，又因为 e =,所以 +=b =c,所以 6?=4,a2=2b2=8 ;a 2 2 b-所以C的方程为二+广=
49、1.8 4（H）依题意，圆上的切点不能为（0,2）,当直线/的斜率不存在时，其方程为x =2,此 时,N两点的坐标为（2,土北），所以M N=2y/2.当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为卜=依+机，由直线/与圆相切，得*mq=2,J 1 +公即 加=4（1+公），设（片,凹）”（2，为），联立y =kx-m/y2 得,f 2k2+l）x2 4-4 kn ix +2m2-8 =0,-1-18 4二一痔4 b nr v2 m2-8所以=J l +22 k2 _ X|=J 1 +*J（X +工2）_ 4%工2答案第6 页，共 9 4 页r f 4 km V 4（2/M2-8）rp J-8 A +
50、6 4 d +3 2 _ 4返 阳4+4,+y l-2A：2+l J 2k2+1 、2k-+2k2+,3 2&2（1+公）1所以|M V=-j-2,令t =2左？+l,贝k1=（2公+1）2，越大，I N N/越大，所以|M N 8,B P|M V|/2.综合知，弦长|N|的最大值为2 V L【点睛】本题考查了圆锥曲线方程的求法，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，计算量大，而且需要结合各种数学方法，综合性强，属于难题.6.(1)y+/=l ；(2)(0,V 1 0【解析】【分析】(1)由双曲线的顶点可得/=3,求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b =l,即可得到椭圆方程(2)设