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1、正 弦 和 余 弦（一）一、素质教育目标（一）知识教学点使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.（二）能力训练点逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.（三）德育渗透点引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.二、教学重点、难点1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.三、教学步骤（一）明确目标图6-11.如 图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B
2、间距离为多少米？2.长5米的梯子以倾斜角NCAB为3 0 靠在墙上，则A、B间的距离为多少？3.若 长5米的梯子以倾斜角40。架在墙上，则A、B间距离为多少？4.若 长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角NCAB为多少度？前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含3 0 角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到
3、一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.通过四个例子引出课题.（二）整体感知1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30。、4 5、60角的对边、邻边与斜边的比值.学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.2.请同学画一个含4 0 角的直角三角形，并测量、计 算4 0 角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对
4、边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.（三）重点、难点的学习与目标完成过程1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导:Cl Q C3图6-2若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点A”A,A3重合在一起，记 作 A,并使直角边AC”AC2,A
5、C3落在同一条直线上，则斜边AB”AB2,AB3落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知，B|CB2c2B3c3,/.ABiCi0 0AB2C20 0 AB3C30 0.,箫=等=警，=黎=寮=言，因此，在这些直角三角形中，N A 的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.sin 60=练习题为 2作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.（四）总结与扩展1.引导学生作知识
6、总结：本节课在复习勾股定理及含3 0 角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.2.扩 展：当锐角为3 0 时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，己知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学
7、可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣.四、布置作业本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.五、板书设计正弦和余弦（二）并能根据这些值说出对应的锐角度数.一、素质教育目标（一）知识教学点使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用sinA、cosA 表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角3 0、4 5、60角的正、余弦值，（二）能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.（三）德育渗透点渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.二、教学重点、难点1.教学重点：使学生了解正弦、余弦
8、概念.2.教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.三、教学步骤（一）明确目标1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值一一正弦和余弦.（二）整体感知当直角三角形有一锐角为30时，它的对边与斜边的比值为（只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.通 过 与“3 0 角所对的直角边等于斜边的
9、一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.（三）重点、难点的学习与目标完成过程正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如 图6 3：请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书：在aABC 中，N C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做N A 的正弦，昨sinA,虢 A
10、的邻边与斜边的比叫做N A 的余弦,t昨cosA.图6-3.,N项对边，N通邻边斜边.c o s A=斜边若把/A 的对边BC记作a,邻边AC记作b,斜边AB记作c,则a bsinA=,cosA=c c引导学生思考：当/A 为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内？得结论 0sinA1,0VcosA1（N A 为锐角）.这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.教材例1 的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“cosA、cosB，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.例 1 求出图64 所示的R
11、t/XABC中的sinA、sinB和 cosA、cosB的值.(i)C2)图6-4解：(i)：斜边 AB=VAC2+BC2=5,.3 si nA=-,4cosA=,4sinB=3cosB=-55(2)sinA=,cosB=13 13,/AC=7AB2-BC2=12,.,a n B=l|,COSA=1|13 13学生练习1中1、2、3.让每个学生画含30。、4 5 的直角三角形，分别求sin30、sin45、sin60和cos30、cos45、cos60.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.sin300=g,sin45=,sin
12、600=.cos30=,cos450=,cos60=.例2求下列各式的值:(l)sin300+cos30；(2)V2sin45-；cos60。.解：(1).sin30+cos30=-+-=+?,(2)0sin45-gcos60=72X =为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题:(1)sin45+cos45；(2)sin30 cos60；(3)0.5-sin600；sin30o（5）若sinA=g,则NA=.（6）若cosA=乎，则N A=.在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20大概在什么范围内，cos50
13、呢？这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神.还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.”为查正余弦表作准备.（四）总结、扩展首先请学生作小结，教师适当补充，”主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值.知道任意锐角A的正、余弦值都在。1之间，即0sinA1,0cosA1（NA 为锐角）.还发现 RtZABC 的两锐角 NA、ZB,sinA=cosB,cosA=sinB.正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.”四、布置作业教材习题14.1中A组3.预习下一课内容.
14、补充：1）若sinA=q-,则/A=.2）若cosB=,则NB=.五、板书设计1 4.1正弦和余弦（二）一、概念：三、例1-四、特殊角的正余弦值二、范围：-五、例2-正弦和余弦（三）一、素质教育目标（一）知识教学点使学生了解一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系.（二）能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维能力.（三）德育渗透点培养学生独立思考、勇于创新的精神.二、教学重点、难点1.重点：使学生了解一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系并会应用.2.难点：一个锐角的正弦（余弦）与它的余角的余弦（正弦）之间的关系的应用.三、
15、教学步骤（一）明确目标1.复习提问（1）、什么是N A的正弦、什么是N A的余弦，结合图形请学生回答.因为正弦、余弦的概念是研究本课内容的知识基础，请中下学生回答，从中可以了解教学班还有多少人不清楚的，可以采取适当的补救措施.（2）请同学们回忆3 0、4 5、6 0 角的正、余弦值（教师板书）.（3）请同学们观察，从中发现什么特征？学生一定会回答“sin30。=cos60,sin45=cos45,sin60=cos30,这三个角的正弦值等于它们余角的余弦值”.2.导入新课根据这一特征，学生们可能会猜想“一个锐角的正弦（余弦）值等于它的余角的余弦（正弦）值.”这是否是真命题呢？引出课题.（二卜整
16、体感知关于锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，是通过3 0、4 5、6 0 角的正弦、余弦值之间的关系引入的，然后加以证明.引入这两个关系式是为了便于查“正弦和余弦表”，关系式虽然用黑体字并加以文字语言的证明，但不标明是定理，其证明也不要求学生理解，更不应要求学生利用这两个关系式去推证其他三角恒等式.在本章，这两个关系式的用处仅仅限于查表和计算，而不是证明.（三）重点、难点的学习和目标完成过程1.通过复习特殊角的三角函数值，引导学生观察，并 猜 想“任一锐角的正弦（余弦）值等于它的余角的余弦（正弦）值吗？”提出问题，激发学生的学习热情,使学生的思维积极活跃.2.这时少数反
17、应快的学生可能头脑中已经“画”出了图形，并有了思路，但对部分学生来说仍思路凌乱.因此教师应进一步引导：sinA=cos（90-A）,cosA=sin（90-A）（A是锐角）成立吗？这时，学生结合正、余弦的概念，完全可以自己解决，教师要给学生足够的研究解决问题的时间，以培养学生逻辑思维能力及独立思考、勇于创新的精神.3.教师板书：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.sinA=cos(90-A),cosA=sin(90-A).4.在学习了正、余弦概念的基础上，学生了解以上内容并不困难，但是，由于学生初次接触三角函数，还不熟练，而定理又涉及余角、余函数，使学生
18、极易混淆.因此，定理的应用对学生来说是难点、在给出定理后，需加以巩固.已知N A 和N B 都是锐角，(1)把 cos(90-A)写成N A 的正弦.(2)把 sin(90。-A)写成N A 的余弦.这一练习只能起到巩固定理的作用.为了运用定理，教材安排了例3.例3(1)已知sinA=,且NB=90-Z A,求COSB；已知 sin35。=0.5736,求 8 s 55；(3)已知 cos47 6=0.6807,求 sin42 5 4.(1)问比较简单，对照定理，学生立即可以回答.(2)、(3)比(1)则更深一步，因为(1)明确指出N B 与N A 互余，(2)、(3)让学生自己发现3 5 与
19、5 5 的角，47 6 分42 5 4 的角互余，从而根据定理得出答案，因此(2)、(3)问在课堂上应该请基础好一些的同学讲清思维过程，便于全体学生掌握，在三个问题处理完之后，最好将题目变形：已知 sin35=0.5736,则 cos=0.5736.(3)cos47 6Z=0.6807,贝 U si n=0.6807,以培养学生思维能力.为了配合例3 的教学，教材中配备了练习题2.(1)已知8 0=等，且NB=90-Z A,求sinB；已知 sin67 18=0.9225,求 cos22 4 2；(3)已知 cos4 24z=0.9971,求 sin85 3 6.学生独立完成练习2,就说明定理
20、的教学较成功，学生基本会运用.教材中3的设置，实际上是对前二节课内容的综合运用，既考察学生正、余弦概念的掌握程度，同时又对本课知识加以巩固练习，因此例3的安排恰到好处.同 时，做 例3也为下一节查正余弦表做了准备.（四）小结与扩展1.请学生做知识小结，使学生对所学内容进行归纳总结，将所学内容变成自己知识的组成部分.2.本节课我们由特殊角的正弦（余弦）和它的余角的余弦（正弦）值间关系，以及正弦、余弦的概念得出的结论:任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.四、布置作业教材习题14.1A组4、5.五、板书设计1 4.1正弦和余弦（三）一、余角余函数关系二
21、、例3正弦和余弦（四）一、素质教育目标（一）知识教学点使学生会查 正弦和余弦表”，即由已知锐角求正弦、余弦值.（二）能力渗透点逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.（三）德育训练点培养学生良好的学习习惯.二、教学重点、难点1.重 点：“正弦和余弦表”的查法.2.难点：当角度在0。9 0 间变化时，正弦值与余弦值随角度变化而变化的规律.三、教学步骤（一）明确目标1.复习提问1）3 0、4 5、6 0 的正弦值和余弦值各是多少？请学生口答.2）任意锐角的正弦（余弦）与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系怎样？通过复习，使学生便于理解正弦和余弦表的设计方式.（二）整体感知我们已经求出了 3
22、0。、4 5、6 0 这三个特殊角的正弦值和余弦值，但在生产和科研中还常用到其他锐角的正弦值和余弦值，为了使用上的方便，我们把0-9 0 间每隔1 的各个角所对应的正弦值和余弦值（一般是含有四位有效数字的近似值），列成表格一一正弦和余弦表.本节课我们来研究如何使用正弦和余弦表.（三）重点、难点的学习与目标完成过程1.“正弦和余弦表”简介学生已经会查平方表、立方表、平方根表、立方根表，对数学用表的结构与查法有所了解.但正弦和余弦表与其又有所区别，因此首先向学生介绍“正弦和余弦表”.（1）“正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦、余弦值，已知锐角的正弦、余弦值，求这个锐角.2）表中角精确到1,正弦、
23、余弦值有四位有效数字.3）凡表中所查得的值，都用等号，而 非“七”，根据查表所求得的值进行近似计算，结果四舍五入后，一般用约等号“七”表示.2.举例说明例4查表求37 2 4 的正弦值.学生因为有查表经验，因此查sin37 24z的值不会是到困难，完全可以自己解决.例5查表求37 2 6 的正弦值.学生在独自查表时，在正弦表顶端的横行里找不到2 6,但2 6,在2 4 3 0 间而靠近2 4,比2 4 多2,可引导学生注意修正值栏，这样学生可能直接得答案.教师这时可设问“为什么将查得的5加 在0.6074的最后一个数位上，而不是0.6074减 去0.0005”.通过引导学生观察思考，得结论：当
24、角度在0 9 0 间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.解:sin37 24=0.6074.角度增2 值 增0.0005sin37 26=0.6079.例6查表求sin37 2 3 的值.如果例5学生已经理解，那么例6学生完全可以自己解决，通过对比，加强学生的理解.解:sin37 24=0.6074角度减1,值 减0.0002sin37 23=0.6072.在查表中，还应引导学生查得：sinO0=0,sin90=1.根据正弦值随角度变化规律：当角度从0 增加到90。时，正弦值从。增加 到1；当角度从90。减少到0 时，正弦值从1减 到0.可引导学生查得：cosO=1,cos
25、90=0.根据余弦值随角度变化规律知：当角度从0 增加到9 0 时，余弦值从1减小到0,当角度从9 0 减小到0 时，余弦值从0增 加 到1.（四）总结与扩展1.请学生总结本节课主要讨论了“正弦和余弦表”的查法.了解正弦值，余弦值随角度的变化而变化的规律：当角度在0 9 0 间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；当角度在0 9 0 间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大.2.“正弦和余弦表”的用处除了已知锐角查其正、余弦值外，还可以已知正、余弦值，求锐角，同学们可以试试看.四、布置作业预习教材中例8、例9、例1 0,养成良好的学习习惯.五、板书设计14
26、.1正 弦和余弦（四）一、正余弦值随角度变 二、例题 例5 例6化规律 例4正弦和余弦（五）一、素质教育目标（一）知识教学点使学生会根据一个锐角的正弦值和余弦值，查出这个锐角的大小.（二）能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.（三）德育渗透点培养学生良好的学习习惯.二、教学重点、难点和疑点1.重点：由锐角的正弦值或余弦值，查出这个锐角的大小.2.难点：由锐角的正弦值或余弦值，查出这个锐角的大小.3.疑点：由于余弦是减函数，查 表 时“值增角减，值减角增”学生常常出错.三、教学步骤（一）明确目标1.锐角的正弦值与余弦值随角度变化的规律是什么？这一规律也是本课查表的依据，因此
27、课前还得引导学生回忆.答：当角度在0 9 0 间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）;当角度在0 9 0 间变化时,余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）.2.若cos21 30=0.9304,且表中同一行的修正值是分1，2 3 修正值123cos21 28=.3.不查表，比较大小：（1）sin20 sin20 1 5；（2）cos51 cos50 10，；（3）sin21 cos68.学生在回答2题时极易出错，教师一定要引导学生叙述思考过程，然后得出答案.3题的设计主要是考察学生对函数值随角度的变化规律的理解，同时培养学生估算.（二）整体感知已知一个锐角，我们可用“正
28、弦和余弦表”查出这个角的正弦值或余弦值.反过来，已知一个锐角的正弦值或余弦值，可 用“正弦和余弦表”查出这个角的大小.因为学生有查“平方表”、“立方表”等经验，对这一点必深信无疑.而且通过逆向思维，可能很快会掌握已知函数值求角的方法.（三）重点、难点的学习与目标完成过程.例8已知sinA=0.2974,求锐角A.学生通过上节课已知锐角查其正弦值和余弦值的经验，完全能独立查得锐角A,但教师应请同学讲解查的过程：从正弦表中找出0.2974,由这个数所在行向左 查 得17,由同一数所在列向上查得1 8,即0.2974=sin17 1 8,以培养学生语言表达能力.解：查表得sin17 18=0.297
29、4,所以锐角 A=17 1 8.例9已知cosA=0.7857,求锐角A.分析：学生在表中找不到0.7857,这时部分学生可能束手无策，但有上节课查表的经验，少数思维较活跃的学生可能会想出办法.这时教师最好让学生讨论，在探讨中寻求办法.这对解决本题会有好处，使学生印象更深，理解更透彻.若条件许可，应在讨论后请一名学生讲解查表过程：在余弦表中查不到0.7857.但能找到同它最接近的数0.7859,由这个数所在行向右查得38,由同一个数向下查得 12,E P 0.7859=cos38 1 2.但cosA=0.7857,比0.7859小0.0002,这说明N A比38 1 2 要大，由0.7859所
30、在行向右查得修正值0.0002对应的角度是 1,所以NA=38 12+T =38 1 3.解:查表得 cos38 12=0.7859,所以:0.7859=cos38 1 2,.值 减0.0002角度增10.7857=cos38 1 3,即 锐 角A=38 13.例1 0已知cosB=0.4511,求锐角B.例10与 例9相比较，只是出现余差（本例中的0.0002）与修正值不一致.教师只要讲清如何使用修正值（用最接近的值），以使误差最小即可，其余部分学生在 例9的基础上，可以独立完成.解:0.4509=cos63 12值 增0.0003角度减0.4512=cos63 1T，锐角 B=63 1T为
31、了对例题加以巩固，教师在此应设计练习题，教 材P.15中2、3.2.已知下列正弦值或余弦值，求锐角A或B：(1)sinA=0.7083,sinB=0.9371,sinA=0.3526,sinB=0.5688；(2)cosA=0.8290,cosB=0.7611,cosA=0.2996,cosB=0.9931.此题是配合例题而设置的，要求学生能快速准确得到答案.(1)45 6,69 34,20 39,34 4 0；(2)34 0,40 26,72 34,6 4 4.3.查表求sin57与cos33,所得的值有什么关系？此题是让学生通过查表进一步印证关系式sinA=cos(90-A),cosA=0
32、.8387,.,.sin57=cos33,或 sin57=cos(90-57),cos33=sin(90-33).(四)、总结、扩展本节课我们重点学习了已知一个锐角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出这个锐角的大小，这也是本课难点，同学们要会依据正弦值和余弦值随角度变化规律(角度变化范围0 90)查“正弦和余弦表”.四、布置作业教材复习题十四A组3、4,要求学生只查正、余弦。五、板书设计14.1正弦和余弦（五）例8 例9 例10正弦和余弦（六）一、素质教育目标（一）知识教学点归纳综合第一大节的内容，使之系统化、网络化，并使学生综合运用这些知识，解决简单问题.（二）能力训练点培养学生分析、
33、比较、综合、概括逻辑思维能力；培养学生分析问题、解决问题的能力；使学生逐步形成用数学的意识.（三）德育渗透点渗透数学知识来源于实践又反过来作用于实践的观点；培养学生的学习兴趣及良好的学习习惯.二、教学重点、难点和疑点1.重点：归纳总结前面的知识，并运用它们解决有关问题.2.难点：归纳总结前面的知识，并运用它们解决有关问题.3.疑点：学生在用“正弦和余弦表”时，往往在修正值的加减上混淆不清.三、教学步骤（一）明确目标图6-51.结合图6-5,请学生回忆，什么是N A 的正弦，余弦？教师板4 a bi5sinA=-,cosA=.c c2.互余两角的正弦、余弦值之间具有什么关系？答:sinA=cos
34、（90-A）,cosA=sin（90-A）.教师板书.3.特殊角0 、3 0、4 5、6 0、9 0 的正弦值余弦值各是多少？答：sin0o=0,sin30=,sin450=-,sin60=-,sin90=1；也.15 1cos0=1,cos300=,cos45=,cos600=,cos90=0.4.在 0。9 0 之间，锐角的正弦值、余弦值怎样随角度的变化而变化？答：在 0 9 0 之间，锐角的正弦值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）；锐角的余弦值随角度的增加（或减小）而减小（或增加）.本节课我们将运用以上知识解决有关问题.（二）重点、难点的学习与目标完成过程1.本章引言中提到这样一个问
35、题:修建某扬水站时，要沿着斜坡铺设水管.假设水管AB长 为105.2米，ZA=30 6,求坡高BC（保留四位有效数字）.现在，这个问题我们能否解决呢？这里出示引言中的问题，不仅调动学生的积极性，激发学习动机，同时体现了教学的完整性，首尾照应.对学生来说，此题比较容易解答.教师可以请成绩较好的学生口答,教师板书：在RABC中，.n A=-,/.BC=AB sinA=105.2 sin30 6=105.2X0.5015-52.76（米）.这一例题不仅起到巩固锐角三角函数概念的作用，同时为下一节“解直角三角形”做了铺垫.同时向学生渗透了数学知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，培养学生
36、用数学的意识.2.为了过渡到第二大节“解直角三角形”，教材还安排了例1,它既是对概念的巩固、应用，又为解直角三角形作了铺垫.出示投影片45A 35 c图6-7例1 1如 图6-7,在RtABC中，已知AC=35,A B=45,求NA(精确到1).分析：本题已知直角三角形的斜边长，直角边长，所以根据直角三角形中锐角的余弦定义，先求出cosA,进而查表求得NA.教师可请一名中等学生板书，其他学生在本上完成.A C 3 5解：co s A=7 73=10.7 7 7 8,查表得NA39,3.教材为例题配置了两个练习题，因此在完成例题后，请学生做巩固练习在4ABC中，NA、NB、N C所对的边分别为a
37、、b、c.(1)已知a=32,ZB=50,求c(保留两位有效数字).(2)已知 c=20,b=1 4,求NA(精确到1).学生在做这两个小题时，可能有几种不同解法，如(1),应选择c=展 最 简 便，(2)选择的也=?最简便.通过比较，使学生学会选择恰co s B c当的三角函数关系式解题，培养学生的计算能力.4.本课安排在第一大节最后一课，因此本课还有对整个第一大节进行归纳、总结的任务.由于在课前复习中已经将几个知识点一一复习，因此这里主要配备小题对概念加以巩固和应用.(1)判断题:i对于任意锐角a,都 有OVsin a V 1和OVcos a V1()i i对于任意锐角a”a 2,如果a
38、V a 2,那 么cosa ycosa 2 ()i i i如 果sin a isin a 2,那么锐角a y 锐 角a 2 1 ()i v如 果cosa iVcosa 2,那么锐角a 1锐 角a 2 ()这道题是为巩固正弦、余弦的概念而配备的，可引导学生用图形来判断，也可 用“正弦和余弦表”来判断.对于假命题，应请学生举出反例.(2)回答下列问题i sin200+sin40 是否等于 sin60；ii cos10+cos20 是否等于 cos30.可引导学生查表得答案.这两个小题对学生来说极易出错，因为学生对函数sinA、cosA理解得并不深，而且由于数与式的四则运算造成的负迁移，使学生易混淆
39、.(3)在RtABC中，下列式子中不一定成立的是A.sinA=sinBB.cosA=sinBC.sinA=cosBD.sin(A+B)=sinC这一小题是为复习任意锐角的正弦值与余弦值的关系而设计的.通过比较几个等式，加深学生对余角余函数概念理解.教师可请学生口答答案并说明原因.(4)如果NA为锐角，且cosA=,那么 A.0 VNAW30B.30 VNAW45C.45NAW60D.60 ZA90对于初学三角函数的学生来说，解答此题是个难点，教师应给学生充足时间讨论，这对培养学生分析问题、解决问题能力很有好处，如果学生没有思路，教师可适当点拨；要想探索NA在哪个范围，首先观察其余弦值cosA在
40、哪一范围内？答：0cosA0.0 0 8知道，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.这样做使学生深刻体会到数学来源于实践，又反过来作用实践.不仅使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，而且培养了学生应用数学的意识.3 .例1(用幻灯出示)已知两组数据：甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1分别计算这两组数据的方差.让学生自己动手计算，求平均数时激发学生用简化公式计算.找一名好学生到黑板计算.解：根据公式(取a=1 0),有 1 Z、x甲=10+-(-0.1+0.3-0.2+
41、0.1 +0.4+0-0.2-0.3)=10+卜0=10.8xz.=10+-(0,2+0-0.5+0.3+0.5-0.4-0.2+0.1)8=10+1 x 0 =10.=(9,9-10)2+(10.3-10)2+(9.7-10)21 ,、=-(0.01+0,09+-+0.09)=1 x 0.44=0.0558=(10.2-10)2+(10-10)2+-+(10.1-10)2)=-(0.04+0+-+0.01)=；义 0.84=0.105.8从S/s J知道，乙组数据比甲组数据波动大.4 .标准差概念在有些情况下，需要用到方差的算术平方根S=-x)2+(x2-x)2+(%-x)2V n并把它叫做
42、这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.教师引导学生分析方差与标准差的区别与联系：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的一致，有时用它比较方便.课堂练习 教材练习中(I)、(2)(四)总 结、扩展知识小结：通过这节课的学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数，再利用求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.四 布 置 作 业教
43、材习题中I、2(I)、(3).五 板 书 设 计15.3 方 差(-)方差公式 引例.加I例1标准差公式六 参 考 资 料 教师教学参考书方 差（二）一、素质教育目标（一）知识教学点：使学生了解方差的两个简化计算公式，会用它们计算一组数据的方差.（二）能力训练点：1.培养学生的计算能力.2.培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.培养学生的发散思维能力.（三）德育渗透点：培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.二、教学重点、难点和疑点1.教学重点：方差公式、方差公式.2.教学难点：方差公式、方差公式.三、教学步骤（-）明确目标教师先作简要归纳：对于一组数据，通常除要了解它的集中趋势外
44、，还要了解它的波动大小，而方差、标准差就是衡量一组数据的波动大小的最常用的量.请同学们思考：1.什么叫做一组数据的方差？2.一组数据的方差和标准差有什么联系和区别？3.计算下面数据的方差（结果保留到小数点后第1位）：32 1-3 3学生回答问题1,2时，教师要及时纠偏，通过问题3的计算，使学生体会到根据方差的定义求一组数据的方差通常是很麻烦的.这时教师提出问题：计算方差，有没有更简便的方法呢？这节课我们就来学习方差的两个简化计算公式.（写出课题）这样以旧拓新，承上启下的导入新课题，不但复习巩固了学过的知识，还激发了学生探求新知的欲望.（二）教学重点、难点的学习与目标完成过程1.推导方差公式下面
45、我们来看一看，能不能将公式适当化简？为便于研究，我们假定一组数据中仅包含3个数据X,X 2,X 3,它们的平均数是处那么它们的方差是=（X -%）+（x2-X）-+（x3-x）-这时，教师再提出问题：中括号内的三项各表示什么意思？看上去有什么 联 系（都是两数差的平方，减数都是五）展开符合什么公式？能化简吗？将方括号内的各项展开后再整理，得到.S2=-(x j -2x j X +x2)+(x -2x2x+x2)+(x -2X3X4-X2)1=-(x；+x j +x Q -2(x j +x2+x3)x +3 x2=g (x；+x：+x Q -2X 3X(Xy+x +3 =g (x；+x：+x：)
46、-2X 3 x2+3 x2 1一=-(X 1 4-X j 4-X 3)-3 x2在变形中，要及时联系前面学过的合并同类项、提取公因式、分解因式等知识，使学生更容易理解推导的过程，还会增加学生学习的兴趣.由此推广，一般地，如果一组数据的个数是n,那么它们的方差可以用下面的公式计算：S2=-(x；+x：+x：)-nx2.n给学生充分的时间比较公式与，有什么区别？引导学生总结出公式的特点？(用公式计算方差，是直接计算各个数据的平方，而不必计算各个数据与平均数的差的平方，因此它比用公式计算少一步骤，有时比较方便.2.引导学生用公式再计算复习提问(3)中的方差.解：S2=7 32+(-1)2+22+12
47、+(-3)2+32-6 X6(3-1+2+1-3+326=口9 +1+4 +1 +9 +9-6、(1)26 61 ,25、=7 (3 3-6 X )0 3 6=2 x33-6 3 6 5.5-07=4.8.课堂练习：教材练习(目的是巩固公式)3 .公式的给出教师引导学生分析，当一组数据中的数据较大时，用公式计算它们的方差仍然比较麻烦.启发学生与前面学过的知识类比.如果数据相互比较接近，能减小参与计算的数据吗？请同学们回想：在前面学习平均数时，是如何减小参与计算的数据的.（利用平均数的简化计算公式），那么方差的计算是否也有类似的公式呢？我们可以仿照前面简化平均数计算的办法，将每个数据同时减去一个
48、与它们的平均数接近的常数a,这时可以推得下面的方差计算公式：S2=+4）-nx52 其中x =X i -a,x 2=x2-a.,x n=xn-aX i,X 2,X n是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数.由于省略了推导过程，所以采取这种类比的方法，便于学生理解公式.教师在剖析公式时，要强调：由于在替换X；=X i-a G =1，2,-n）中所取的常数a与平均数吐匕较近，各数据x；比较小，因此，当数据较大时，用公式计算方差比较简便.课堂练习：教 材 中（1）、（2）、（3）、（4）.（四）小结、扩展知识小结：本节课我们学习了计算方差的两个简化计算公式.公式和公式，公式的特点是不
49、必计算各个数据与样本平均数的差的平方.在数据较小，较“整，时用它比较方便；公式的特点是在公式的基础上，通过一个变换使参与计算的数据变小，因而其应用更加广泛.知识网络：描述其集中趋势描述一组数据的情况（从数字特征上描述）描述其波动大小平均数众数,中位数:方差标准差四、布置作业五、板书设计课题：1 5.3 方 差（二）公式 推导公式 加”例 2.公式六、参考资料 教师教学参考书方 差（三）一、素质教育目标（-）知识教学点1 .使学生会用方差的两个简化计算公式求解简单的涉及方差计算的应用问题.2.了解用样本方差估计总体方差的思想方法，会通过计算两组数据的方差比较两组数据的波动大小.（二）能力训练点1
50、.培养学生的计算能力.2.培养学生分析问题，解决问题的能力.（三）德育渗透点：培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯二、教学重点、难点和疑点1.教学重点：用方差的两个简化计算公式求解简单的涉及方差计算的应用问题.2.教学难点：怎样理解用特征数估计数两个被测事物的变化程度.三、教学步骤（-）明确目标请同学们思考并回答两个问题：1.方差的概念的表述；2.方差的两个简化计算公式及其适用范围，在学生经过思考并回答了这两个问题后，教师指出，这节课我们将学习用方差的两个简化计算公式求解简单的涉及方差计算的应用问题.这样以旧拓新、承上启下的引入课题，不但复习巩固了学过的知识，还激发了学生探求新知的欲望