人教版五年级数学复习教材.pdf

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1、第1讲 多边形的内角和与外角和知识要点：我们已经学习过三角形、正方形、长方形等图形，那么在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。首先，我们给大家介绍一下对角线、内角与外角的概念。对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。内角：多边形的一边与相邻的另一边所组成的角叫做这个多边形的内角。外角：多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。我们知道三角形的3个内角和是1 8 0 ,那么，四边形、五边形、更多边形的内角和又是多少呢？由此可见，多边形内角和等于1 8 0 乂（边数一2）。多边形的外角和与边数无关，即任何一个多边形

2、其外角和是一个定值，均 为3 6 0。此外，还要求大家掌握三角形的一个重要性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。例题精讲:例1计算。1.15边形内角和是多少？2.2012边形内角和与外角和各是多少?考级模拟1求 152边形内角和与外角和。例2已知一个四边形的第一个内角是80,第二个内角是第一个内角的一半，第三个内角是第二个内角的3 倍，求第四个内角。考级模拟2 在三角形中，第一个内角为第二个内角的2 倍，第三个内角为第二个内角的3 倍，求这三个内角。例3 如图所示，已知NA=25,NB=65,ZDB2D1=30,求N 1的度数。考级模拟3 如图，已知NA=70,ZB=35,ZE=

3、25,求N l、N 2、N 3的度数。例 4 如图所示，求N 1+N 2+N 3+N 4+/5+N 6。考级模拟4 一个正n边形的每个外角都等于60,求n。例 5 如图 1 所示，求N1+N2+N3+N4+N5+N6。考级模拟5已知么1 =/2,z3=z 4,求/5。总结归纳熟记多边形的内角和=180义（边数一2）,外角和=360,这是计算多边形角的度数的重要条件。同时学会找外角，利用外角的性质计算角的度数。奥赛点击下图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成，请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度。（第 十 届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第9题）自我检测一（每题10分

4、，满分100分）1.7 边形内角和为。2.20边形内角和为。3.100边形外角和为 o4.多边形内角和为1260。，则它是 边形。5.每个外角都为3 0 的多边形为 边形。6.正 八 边 形 的 内 角 为,外角为 o7.正 12边形的内角为,外角为 o8.一个十边形的每一个内角都相等，那么这个十边形的每一个外角等于。9.在平面内，内角都相等，边都相等的多边形叫 o10.四边形第一个内角是80,第二个内角是第一个内角的一半，第三个内角是第二个内角的3 倍，第四个内角是。自我检测二（每题10分，满分50分）1.如图，已知NA=80,ZB=120,ZC=135,求N1 的度数。2.如图，已知Nl=

5、25,Z2=80,求N C 的度数。3.如图，Z1=Z2,Z 3=Z 4,Z5=120,求NB 的度数。4.如图，求N1+N2+N3+N4的度数。5.如图，求N1+N2+N3+N4的度数。第 2讲 图 形 的 等 分知识要点有些几何问题，只要把大图等分为若干个小图形，就能找到问题的答案。我们知道多边形可以划分为若干个三角形，那么三角形面积如何等分呢？三角形的面积公式：三角形的面积一底义高由此公式，可以得到如下两个结论：1 .等（同）底等高的三角形面积相等。2 .甲、乙两个三角形的高（或底）相等，若甲的底（或高）是乙的底（或高）的几倍，则甲的面积就是乙面积的几倍；反之，若甲的面积是乙的面积的几倍

6、，则甲的底（或高）是乙的底（或高）的几倍。利用这两个结论，我们可以将一个三角形按要求进行分割，并将三角形的等积分割扩展到多边形中。例题精讲例 1有一个三角形花坛，要把它平均分成两个相等的三角形，可以怎样分？考级模拟1将任一三角形分成面积相等的六个三角形，应怎么分?例 2 三角形 A B C 中，D C=2 B D,C E=3 A E,阴影部分的面积是2 0平方厘米，求三角形A B C的面积。BDC考级模拟2 已知A E=3 A B,B D=2 B C,试证明：三角形B D F 面积是三角形A B C面积的4 倍。D例 3 如图所示，找出梯形A B C D 中有几组面积相等的三角形。考级模拟3

7、在长方形A B C D 中，M是A D 边上任意一点，试证明SZ A B G=SACMGo例4 已知三角形ABc的面积是12平方厘米，并且BE=2EC,F是CD的中点。求阴影部分面积。考级模拟4 已知AC是CD的3倍，E是BC的中点，试求三角形ABC和三角形CDE的面积关系。例5如图1所示，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16,BG是GC的3倍，HE是CH的3倍，求四边形EFGH的面积。图1图 2考级模拟5 已知直角梯形ABCD,上底AD=3,下 底BC=6,高AB=4,求阴影部分面积和。B E总结归纳在图形等分的问题中，特别要注意三角形等积变换两个结论的灵活运用

8、，并将三角形等积问题扩展到四边形中。另外经常用到这样的结论：平行线间的距离处处相等。奥赛点击如图，点D、E、F与 点G、H、N分别是三角形ABC与三角形DEF各边的中点。那么阴影部分的三角形面积的和是三角形ABC的面积的几分之几？（十一届“迎春杯”决赛题）H 7 NBCD/G自我检测一（每题10分，满分100分）1.三角形面积公式 O2.同 底 等 高 的 三 角 形 面 积。3.平 行 线 间 的 距 离 处 处 o4.甲、乙两个三角形的高相等，若甲的底是乙的底的5倍，则甲的面积就是乙面积的 倍。5.甲、乙两个三角形的底相等，若甲的高是乙的高的3。4倍，则甲的面积就是乙面积的 倍。6.把一个

9、等边三角形分成面积相等的三个三角形，有 种不同的方法。7.该图是一个直角梯形，面积相等的三角形有 组，请分别写出oA _DBCB第7题图8.如图，AD与BC平行,ABC的面积_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _o9.如图，ZXABC 中，E、D积的三角形一共有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _zABD C第9题图10.如图，有两条平行线,积。C第8题图AD=5,BC=10,三角形ADC面积为1 0,则三角形G分别是AB、BC、AD的中点，图oO-AADE等个。I L KG H J第1）题图GHL K,则三角形GIH和三角形LJK面自我检测二（每题10分，满分50分

10、）1.如图，梯形ABCD面积为5 5,点E在BC上，三角形ADE的面积是三角形ABE面积的2倍，BE的长为2,EC长为5,求S/XDEC。2.如图，AE=4AB,BD=3BC,三角形ABC的面积为5,求三角形BDE的3.如图，已知长方形ABCD的面积为160,E,F是长和宽的中点，求四边形4.如图，在平行四边形ABCD中，S/XAEF与SZXEDC哪个大?请说明原因。5.如图，将三角形ABC的各边都延长1倍到D,E,F,连接这些点得到一个新的三角形，试求新的三角形DEF是三角形ABC面积的几倍。D第 3 讲 图 形 的 割 补知识要点:图形的割补包含了分割和拼补。怎样把一个图形按规定的要求分割

11、成若干部分，这就是图形的分割。把几个图形按照一定的条件拼成一个图形，叫做图形的拼补。合理分割和拼补图形，需要讲究方法和技巧。要充分利用图形的中心及对称性，先确定思路，再画线。有的需要计算，有的需要动手操作。在分割、拼补图形的过程中，需充分发挥个人的想象力和创造力。本讲主要讲授图形割补的解题技巧，包括中心分割法、等分分割法、弦图等。此外还要区分大小相等与形状相同这两个概念。大小相等指面积相等；形状相同的图形大小不一定相等，同样，大小相等的不一定形状相同。若同时要求大小相等、形状相同，即是要求完全相同。例题精讲：例1 把 9X 16的长方形分成两块，然后拼成一个正方形。考 级 模 拟 1将下图分成

12、2 块，然后拼成一个正方形。例2 把下图边长为5 的正方形，中间挖去一个边长为1 的正方形（阴影部分）。画线将它分成两块，拼成一个长方形。考级模拟2 将下图分成三块，拼成一个正方形。例3 在一块长方形的地里有一 E1长方形的水井，试画一条线把除井外的这块地平分成两块。考级模拟3下图为5个面积为1的正方形拼成的。试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。例4将图中图形分成形状相同、面积相等的两部分，应怎么分?考级模拟4下图是由三个同样大小的正三角形组成的，请把它分成形状相同、面积相等的四块。例 5将下图切两刀分成三块，然后把这三块拼成一个正方形。考级模拟5 将下图剪两刀，拼成一个正方形。总结归纳图

13、形的割补在奥数课堂中，一直在循序渐进地介绍与此相关的系列内容：剪一剪、拼一拼、分割图形等。这种训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象力，提高观察能力。合理分割图形，是很讲究方法和技巧的，例如图形的割补包括中心分割、等分分割、弦图等技巧。有的需要动手操作，有的需要计算，在分割图形的过程中，要充分利用所学的知识灵活运用。奥赛点击右图是由八块积木组成的边长为3厘米的正方形，图 中A为等腰直角三角形，B 是边长为1厘米的正方形，D 也是等腰直角三角形。请你去掉一块积木，把剩下的7 块积木仍然拼成一个正方形，那么去掉的是,请你画出示意图。（第十三届小学“祖冲之杯”数学竞赛六年级第一题填空

14、）自我检测（一）（每题10分，满分100分）1.图形的割补包含了 和。2.图形的分割是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3.图形的拼补是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4.请画出弦图。5.请将正方形分割为四个大小相同、形状相同的图形。6.请将正三角形分割为四个大小相同、形状相同的图形。7.请将正三角形分割为九个大小相同、形状相同的图形。8.将下图分成四个大小相同、形状相同的图形。9.把一个大正方

15、形分成七个小的正方形。10.将下图分成4 个形状、大小完全相同的图形，且每个部分中都有一个小自 我 检 测（二）（每题10分，满分50分）1.将下图分成4 个形状相同、面积相等的小块。2.将下图分成三个部分，并拼成一个正方形3.下图是由5个同样大小的正方形组成，试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形。4.将下图分成大小、形状都相同的三块，并且每块中都有一个字母。5.将下图分成两块，然后拼成一个正方形。第 4 讲 巧求面积（一）知识要点在我们日常生活及生产实践中，常会遇到求一个平面图形的面积问题。有些简单的图形，比如长方形（包括正方形）、三角形、平行四边形、梯形、圆，这些图形的面积可直接用公式

16、求出，但还存在着许多巧求面积的问题。对于不规则的图形，一般通过割、补、分的方法转化为若干个常见规则图形求面积。这一讲，我们在基本图形面积公式的基础上利用分割、平移、旋转、公共区域、弦图的方法来巧求面积。例题精讲例 1比较图1中的两个阴影部分A和B的面积，比较它们的大小关系。图1考 级 模 拟 如下图，长 方 形ABCD是由四个等腰直角三角形和一个正方形拼成，已知长方形ABCD面积为2 4 0,求正方形的面积。例 2有一个长方形花圃，中间有一条宽2米的人行路。花 圃 长50米，宽30米。那么种花的面积是多少平方米？考 级 模 拟 如图，长方形的长为2 5,宽 为15。四对平行线截长方形各边所得的

17、线段的长为3,且横向的两组平行线都与AB平行。求阴影部分的面积。例3如图1,四边形A B C D的面积是16平方厘米，其中AD=CD,DE=BE,AE=2厘米，求四边形B C D E面积。考级模拟四边形A B C D和E B F G都是正方形，如图所示，A D=3 0,则阴影部分面积是多少？例4如图1,在长方形A B C D中，AE=9,B F=7,问：两块红色图形的面积和与两块蓝色图形的面积和，哪个大?图1考级模拟 如图所示，阴影部分的面积为66平方厘米，求图中正方形的面积。例5 如图所示，由四个相同的直角三角形拼成，直角边长分别为2和 3,求大正方形的面积。考级模拟 如图，4个相同的长方形

18、和1 个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4,大正方形面积为4 0(1,求长方形的长和宽。总结归纳在我们的几何世界里，几何图形多种多样，许多几何问题只靠基本图形中的基本公式是不够的。因此，我们要在图形与图形之间搭起“桥梁”。分割、平移、旋转、公共区域、弦图等方法，成为解决问题的一个个有利工具。同学们应多加练习，熟悉这些方法。奥赛点击如图，正方形每条边上的交点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部 分 的 面 积 是 正 方 形 面 积 的。（第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2 试填空题）自我检测（一）（每题10分，满分100分）1.三角形面积公式 o2.正方形面积

19、公式 o3.长方形面积公式 o4.梯形面积公式 o5 .AB,C D 是两条平行线，则 四 边 形 ABCD和 四 边 形 EFCD面积o6 .如 图，已 知 正 方 形 的 边 长 为 3 米，则“十”字标志的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。I-17.如图，网格中的小正方形的边长是1,那么，阴影部分的面积为8.请画出你所知道的弦图。9.如图所示，四边形的面积为10.12个长为4 厘米，宽为1 厘米的小纸片，摆成下图所示形状，则阴影部分面积为自我检测（二）（每题10分，满分50分）1.如图，长方形的长和宽分别是12和 9,把三角形的三条边分别平均分成三

20、段，得到A,B,C,D,E,F 六个点，连接AF,BC,D E,得到一个六边形。求这个六边形的面积。2.如图，已知三角形ABC和三角形EDC都是等腰直角三角形，点 A 是CD边的三等分点，如果三角形ABC的面积是72平方厘米，求三角形CDE的面积。3.如图，有一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米，中间有两条大道，一条是长方形，一条是平行四边形。那么，草地部分面积为多少？4.一块长方形玻璃，长截取5 分米，宽截取3 分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面积是71平方分米，求剩下的正方形的面积。5.如图，大正方形是由4 个直角三角形拼成，直角三角形的直角边分别为5 厘米和6 厘米，求大正

21、方形的面积。第5讲 巧 求 面 积（二）知识要点巧求面积（二）是在巧求面积（一）的基础上，继续深入学习。巧求面积的重点主要针对常见的长方形（包括正方形）、三角形、平行四边形、梯形等规则图形，掌握画辅助线、等积变换、等量代换等方法巧求面积，其中等积变换是我们重点需要掌握的知识点。在三角形等积变换问题中，特别要注意结论的灵活运用，熟练使用三角形面积公式的两个重要结论，从而达到巧求面积的目的。例题精讲例 1如图，已知CA=AB=6,且三角形ABE面积比三角形CDE的面积大3,求CD的长。考级模拟 图中正方形ABCD的边长为4,长方形DEFG的长为5,求长方形的宽DEo例 2如图，正方形的边长为10厘

22、米，四边形ABCD的面积为6平方厘米,求阴影部分面积。考级模拟 如图，已知长方形面积为6平方厘米，求阴影部分面积。例 3如图所示，在长方形ABCD中，AD=15,A B=8,四边形OEFG的面积为9,求阴影部分面积。考级模拟 如图，等腰三角形BCD的面积是80平方米，高是8 米，三角形ABC的高是15米，求阴影部分面积。例 4如图所示，直角梯形ABCD的上底与高相同，正方形DEFH的边长等于6 厘米，求阴影部分的面积。考级模拟 如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，B0=3,E0=2,EF=9,求阴影部分面积。A例 5如图所示，正方形AB（:D 的一条对角线BD被过DA和 BC的两条平行线分为

23、长2 厘米的三部分，求正方形ABCD的面积。考级模拟 如图，ABCD是个面积为24平方米的梯形。已知CD=3AB,E是 AD的中点,求三角形CDE的面积。总结归纳通过本节的学习，要求掌握画辅助线、等积变换、等量代换等巧求面积方法。那么解决复杂图形面积的方法有哪些呢？1.观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形。2.对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变换）。3.做出适当的辅助线，铺路搭桥，或把图形进行割补。奥赛点击下图中大长方形由四个面积分别为12,36,24,48平方厘米的小长方形拼成，则阴影部分的面积为多少？（2004南京数学冬令营六年级第8 题）自我检测（

24、一）（每题10分，满分100分）1.等积转换是。2.如图，E 为AD的中点，请找出面积相等的三角形3.如图，找出与三角形ACE面积相等的三角形4.如图，连接B D,找出与三角形BDG面积相等的三角形5.如图，已 知 EDB F,连 接 A E 找出与三角形AEG面积相等的三角形_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _C6.一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是 平方厘米。127.如图，三角形被分成了甲、乙两个部分，图中数字是相应线段的长度,则乙的面积是甲的面积的 倍。8.如图，两个正方形的边长分别是6 厘米和2 厘米，则阴影部分的面积为_ _ _ _ _ _ _ _

25、_ _ _ 平方厘米。9.图中甲的面积比乙的面积大10.如图，有边长分别为16和 24的两个正方形，一条直线把两个相连的正方形分成四个部分，则 甲 三 角 形 比 乙 三 角 形 面 积 多。16第 10题图自我检测（二）（每题10分，满分50分）1.如 图，梯形ABCD中，下底AB的长度是上底CD的2 倍，腰 BC长 10厘米，直角三角形的一条直角边AE长 16厘米，那么，梯形的面积是多少平方厘米?2.如图，平行四边形ABCD的边长BC长 8,直角三角形BCE的直角边EC长为 6o已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大8,求平行四边形ABCD的面积。3.如图，ABCD是个直角梯形，以AD

26、为一边向外作长方形ADEF,其面积为6平方厘米，连接BE交AD于G,连接GC。求图中阴影部分的面积。（提示：连接BD和AE）4.如图，三角形ABC被线段DE分成三角形BDE和四边形ACDE两部分,问：四边形ACDE是三角形BDE面积的几倍?（提示：连接AD）5.如图，长方形ABCD的面积为36平方厘米，EFG分别为边AB,BC,CD的中点，H 为 AD边上任意一点，求阴影部分的面积。（提示：连接BH）AHn单元测试一一、填空题（每题6分，共60分）1.252边 形 的 内 角 和 为,外角和为 o2.正 五 边 形 的 内 角 和 为,各个内角的度数为 o3.将任一三角形分成面积相等的六个三角

27、形，请画出至少四种。4.如图，已知四边形ABCD为梯形，对角线AC,B D交于点E,试证明SABE与S4ABE面积相等。第4题图5.将上图分成大小、形状相同的三块且每块带有一个小圆圈。6.将下图分成两块，然后拼成一个正方形。第6题图第7题图7.图中每个小三角形的面积为1平方厘米，则阴影部分面积为.,平方厘米。8.如图，已知正方形的边长为1米，则“十”字标志的面积为第8题图第9题图9.两个相同的直角梯形重叠在一起，则阴影部分面积为10.如图，在三角形ABC中，AB=6AD,AC=3AE,三角形AD E的面积为1,则三角形ABC面积为。AB C第 io 题图二、计算题（每题8 分，共40分）11.

28、如图，已知 2NB=NC,ND=2NB,Z A=3Z B,求NA 的度数。12.在三角形ABC中，D、E 分别是AB、AC的中点，如果三角形ADE的面积为 30平方厘米，求三角形ABC的面积。13.如图，ABCD和 CEFG都是正方形，已知A B=6,求阴影部分面积。14.已知三角形ABC面积为1,BD=AB,CE=2BC,AF=3AC,求三角形DEF面积。15.如图，正方形ABCD的面积为120平方厘米，E 是 AB的中点，F 是 BC的中点，求四边形BGHF的面积。第6讲数的整除特征（一）知 识 要 点：如 果 一 个 非 零 自 然 数a被 另 一 个 非 零 自 然 数b除，余 数 为

29、0,则 称a是b的倍 数，b是a的 因 数，也 称 为a能 被b整 除。例 如20是5的 倍 数，我 们 称20能被5整 除，记 作5|20o本 讲 我 们 重 点 掌 握 四 组 数 的 整 除 特 征。1.如 果 一 个 数 的 个 位 数 字 能 被2或5整 除，则 这 个 数 就 能 被2或5整 除。2.如 果 一 个 数 的 末 两 位 数 字 能 被4或25整 除,则 这 个 数 就 能 被4或25整 除。3.如 果 一 个 数 的 末 三 位 数 字 能 被8或125整 除，则 这 个 数 就 能 被8或125整 除。4.如 果 一 个 数 的 各 位 数 字 之 和 能 被3或

30、9整 除，则 这 个 数 就 能 被3或9整除。5.学 会 把 一 个 自 然 数 分 解 为 数 码 与1,10,100,1000乘 积 的 形 式，如：372=3 X 100+7 X 10+2XK例题精讲例1在 口 内 填 上 适 当 的 数，使 五 位 数5874口 能 被2整 除，这样的五位数有多少个？考级模拟 在 口 内 填 上 适 当 的 数，使 四 位 数139口 能 被5整 除，这样的四位数有哪 几个？例2在 口 内 填 上 适 当 的 数，使 六 位 数69547口 能 被4或25整 除。考级模拟（1）在口内填上适当的数，使七位数7 1 3 2 口2 0 能被8 整除。（2）

31、判断下列哪些数能被2 5 整除，哪些能被1 2 5 整除？能被1 2 5 整除的数一定能被2 5 整除吗？反之能被2 5 整除的数一定能被1 2 5 整除吗？7 5 0 7 6 5 2 7 7 5 6 3 2 5 1 5 0 0 1 0 0 0例3 在口内填上适当的数，使五位数3 1 口2 6 能被3 或 9 整除。考级模拟 根据被3 和 9整除的数的特征，用“去三法”或“去九法”判别下列数中哪些数能被3 整除，哪些能被9 整除。请仔细观察能被9整除的数一定能被3 整除吗？反之能被3 整除的数一定能被9 整除吗？请牢记这个规律！5 6 4 6 4 9 2 5 7 2 5 3 4 1 8 7 2

32、 0 3 5 6 1 4 2 3 6例 4 在 8 6 5 后面补上3 个数字，组成一个六位数，使它能被3,4,5整除，且使这个数值尽可能地大。考级模拟 在358后面补上3个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，且使这个数值尽可能地小。例5在五位数15口8口的口内填什么数字，才能使它既能被3整除，又含有因数5?考级模拟 口？。口能被8,9整除，求这样的数有哪些？总结归纳：本讲要学会把数进行分解，如把abed写成abcd=aX 1000+bX 100+cX 10+d,帮助理解被2和5,4和25,8和125整除的特征为什么只需要看末一位、末两位、末三位；把1000看 成999+1的形式

33、。帮助理解3或9整除的特征。遇到能同时被两个或三个数整除时，应该逐个考虑被这些数整除的特征，并有先后地考虑。奥赛点击：若四位数9a8a以能被15整除，则a代表的数字是。自我检测（一）（每题10分，满分100分）1.能被25整除的数，只要看这个数的末 位的数字能否被25整除，末两位 数 字 只 能 是、o2.能被125整除的数，只要看这个数的末 位的数字能否被125整除，末三位 数 字 只 能 是、3.能被3 和 9 整除的数的特征是这个数的 分别能被3 和 9 整除。4.能被8 整除的数一定能被 和 整除，能被4 整除的数一定能够被_ _ _ _ _ 整除；能被125整除的数一定能被 和_ _

34、 _ _ _ _ 整除，能被25整除的数一定能够被 整除。5.能被2 整除的数 能被4 整除，能被2 整除的数 能被8 整除，能被4 整除的数 能被8 整除；能被125整除的数 能被25整除。（填“一定”或“不一定”）6.能同时被2,3,5 整除的最小两位数是 07.能同时被3,4,5 整除的最小四位数是 o8.73口1 能被3 整除，则口=；3578口能被8 整除，贝1 口=。9.四位数而是9 的倍数，那么a=o10.口2020口能被8,9 整除，这个数是 o自我检测（二）（每 题10分，满 分50分）1.用“去三法”或“去九法”判别下列哪些数能被3整除？哪些数能被9整除?564 58922

35、1 45678 614902 41234762.六 位 数16249口能被4整除，这个数有哪些？3.四位数6a2b能同时被2,3,5整除，求这个数是多少？4.五位数口895口能同时被8,9整除，求这个五位数。5.在917后面补三个数字，组成一个六位数，使它能被2,3,5整除，则该六位数最大为，最小为 o第7讲数的整除特征（二）知识要点本讲我们重点掌握被11整除的数的特征，能同时被互质的两个数整除的数的特征，初步掌握用字母代表数的方法。1.被11整除的数的特征。如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差（大数减小数）能39/148被11整除，那么这个数就能被11整除，否则就不能。2.被互

36、质的两个数同时整除的数的特征。两个数互质指：如果两个自然数只能同时被1整除，不能同时被别的任何自然数整除。例如2和5互质，8和9互质，5和11互质。如果一个自然数能同时被两个互质的数整除，那么这个数一定能被这两个互质的数的乘积整除；反之，如果一个自然数能被两个互质数的乘积整除，则这个数一定能被这两个互质的数整除。例如，一个自然数能同时被3和11整除，则这个自然数能被3 3整除；再例如，一个自然数能被9 9整除，则这个自然数能被9和11两个数整除。3.用字母代表一个自然数是以后我们经常会用到的方法，例如一个五位数可以用abcde表示,其中a可以取1-9中任意一个数字，而b,c,d,e可以取。9

37、中任意一个。并且有abcde=aX 1000+bX1000+cX100+dX10+e。例题精讲例1根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除:3434 3443 52019 68868考级模拟：根据被11整除的数的特征，判别下列数中哪几个能被11整除:7878 452245 372372 68868 888888 3443例2 一个六位数12口34口能被8 8整除，求这个六位数。考级模拟：在口内填入适当的数字，使得5口4口能被3 3整除。40/148例3四位数4 口7 口能被5 5 整除，这样的四个位数是哪些?考级模拟：一年级有7 2 名学生，课间加餐共交口5 2.7 口元，每人

38、交了多少元？例 4：一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数7 3 口，口内的数字是几？考级模拟：三位数a b c 和它的反序数c b a 的差被9 9 除，商为a,b,c中哪两个数的差？例 5 有 0,1,4,7,9五个数字，从中选出4 个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3 整除的四位数从小到大排列起来，第 5 个数的末位数字是几？考级模拟：六位数口1 9 9 3 口能被4 5 整除，这样的六位数是哪些？41/148总结归纳：我们已经学习了 2,3,4,5,8,9,11,25,125的整除特征，现在我们发现很多没有研究过的数的特征最终都可以转化为学过的这些数的整除特征，例如,被

39、6整除可以转化为被2和3整除，被12整除可以转化为被3和4整除，所以这一节掌握这个转化很重要。奥赛点击：有一个五位数由五个不同数字组成，而这个五位数能同时被6和11整除，问这个五位数最小是多少？（第13届全港小学数学比赛第5题）自我检测（）1.一个自然数能够被11整除的特征是：2.abcabc 被11整除，abccba 被U整除。（填“能”或“不能”）3.如果一个整数能同时被3和11整除，那么这个数一定能被 整除。4.如果一个整数能被72整除，那么这个数一定能被 和整除。5.55|口37口，口37口能被 整除，同时也能被 整除。6.四位数57Al能被11整除，A=o7.11|6x6x6x,贝U

40、x=o8.自然数la2a3a4a5能被11整除，贝!|a=。42 7 1489.若四位数9a8a能被15整除，则=10.55|5口4口，这样的四位数是自 我 检 测（二）1.45|xT993y,求满足条件的所有六位数。2.一个无重复数字的五位数3口6口5能被75整除，这样的五位数有哪几个？3.一个五位数，4x7y5同时是11与25的倍数，求这个五位数。4.一个四位数AB12加上9后能被9整除，减去8后能被8整除，求满足条件的最大数。43 7 1485.在五位数中，数字和等于4 3 且能被1 1 整除的数有哪些?第8讲 数 的 整 除 特 征（三）知识要点本讲我们继续讨论有关数的整除特征，掌握能

41、被7,1 1,1 3 这三个数整除的数的特征，深化用字母代表数的理解。1.被7,1 1,1 3 整除的数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7,1 1 或1 3 整除，那么这个数就能被7,1 1 或1 3 整除，否则就不能。2.1 0 0 1 =7 X 1 1 X 1 3,熟记 1 0 0 1 能被7,1 1 或 1 3 整除。并熟记7 7 =7 X 1 1；9 1 =7 X 1 3；1 4 3 =1 1 X 1 3。3.a b a b a b =a b X 1 0 1 0 1,a b c a b c a b c=a b c X 1 0

42、0 1 0 0 1例题精讲例1根据被7,1 1,1 3 整除的数的特征，判断2 1 4 6 45 5 311能否被7,11,13整除。考级模拟 根据被7,11,13整除的数的特征，判断下列哪些数能同时被7,44/14811,13这三个数整除。26 8 06 7 846 0469 119 11例2 说明12位数a b b a a b b a a b b a 一定能被3,7,11,13整除。考级模拟45 6 45 6 45 6=()X (10011001=()X(8 408 4=()X(a b ca b ca b c=()X(45/148例3把三位数5ab接连重复地写下去，共写2011个5ab,所

43、得的数gab5ab5ab5a卜 恰好是143的倍数,试求ab=?v20 n 个 5ab考级模拟 已知2 a L s b 能被91整除，求ab2001个2ab例4 如 I果53位数55口9也能被7整除，那么中间口内的数字是几？考 级 模 拟一个32位 数 眸 6口在口能被13整除，口代表的数字是几?19 1246/148例5 某校有13个兴趣小组，各组的人数如下表:组别12345678910111213人数23579101 1141317212424一天下午，学时校同举办语文和数学两个讲座，已知有12个小组去听讲座,其中听语文讲座的人数是听数学讲座人数的6倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题，问这

44、一组是第几组？考级模拟 已知：abed+abc+ab+a=1370,求abed总结归纳熟记能被7、11、13整除的数的特征，运用2血2=尻*1001,及1001=7 X11 X 13,可知这样的六位数一定能被7、11、13整除。并学会将一个数进行不同的拆分，例如：45197=4X10000+5X 1000+1 X 100+9X10+7=45X 1000+197=4X10000+51X100+9747 7 148奥赛点击三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4,那么符合条 件 的 最 小 的 三 个 数 是,。（第十三届小学“祖冲之杯”数学竞赛六年级第一题填空第2题）自 我

45、检 测（一）1.,201120112011一定能被 整除。-若干20112.110110=（）X（），所以 110110 被 110整除，被7整除，被11整除，被13整除。（填“能”或“不能“）3.100010001 被3整除，被7整除，被11整除，48/14813整除。(填“能”或“不能”)4.bbbbbb 被3整除，被7整除，被11整除，被13整除。(填“能”或“不能 )5.abcabc=()X()。6。一个五位数4口7 口5能同时被11和25整除，这个五位数是7.1010101X59=_1001001X 624_=_8.从1,2,3,4,5中取三个数，组成的三位数中没有重复数字又能被2和

46、9整除的有哪些？9.321321321=()X()10011001=()X()41041=()X()10.88 门2口34口，这个六位数是 o自我检测(二)1.下面这个41位数因q 口吐辿能被7整除，问中间方格代表的数字是几?Y Y20个5 20个92。六位数a2000b能被72整除，求a与b49/1483.在 1001,237 5,115 5,27 7 2,15 15,8 415 中，既能被3,又能被 11 整除的数是哪些？4.说明11011能被7,11,13整除。5 .有一个19 9 4位数A 能被9 整除，它的各位数字之和为a,a 的各位数字之和为b,b 的数字之和为c,则C 的数字是几

47、？第9讲 质数与合数知识要点1.自然数按照约数的多少分为三类：1、质数、合数。质数：也称素数，是指只有1和它本身这两个约数的自然数。合数：至少有3个约数，即除1和本身外还有其他的约数。注：1既不是质数，也不是合数。2是最小的质数，也是唯一的偶质数；3是最小的奇质数；4是最小的合数。2.质数与合数的判断方法：熟记100以内的25 个质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,5 3,5 9,50/1486 1,6 7,7 1,7 3,7 9,8 3,8 9。9 7“N法”：如何判断一个自然数N 是质数还是合数，按定义就是看这个数的约数的个数，那么从小到

48、大用自然数2,3,4,5,N 1去除N,只要其中有一个自然数能整除N,N 就是合数，否则就是质数，但这样太麻烦了，因为除数太多了，实际上，只要用从小到大的质数去除N 就可以了，所以提出了“N 法”。“N法”：先找出一个大于N 且最接近N 的平方数K 2,再写出K 以内的所有质数，最后用找出的这些质数去除N,如果这些质数都不能整除N,那么N 是质数；如果这些质数中至少有一个能整除N,那么N 就是合数。根据合数的定义，如果一个数能写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。例如，14 3 11X 13,14 8 为合数。例题精讲例1 判断7 9,8 9,9 1,27 7,4 3 7 这四个数是合

49、数还是质数。考级模拟判断4 3,5 3,7 13 这三个数合是数还是质数?例2 两个质数的和是9 9,这两个质数的积是多少?51/148考级模拟 两个质数的和是6 0,这两个质数的积最大是多少?例3 判断数14 3,111111121111111是质数还是合数?考级模拟判断123 4 5 6 8 23 4 5 6 7 是质数还是合数?例4 断判。一1 和 2“)+5 是质数还是合数？考 级 模 拟 判断3 7 6 1是质数还是合数。C52/148例5三个质数的和为8 0,这三个质数的乘积最大是多少?考 级 模 拟 a,b,C都是质数，并且a+b=33,b+c=44,c+d=66,那么d等于多少

50、？(第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试填空题第8题)总结归纳n灵活使用各种方法判使断一个数是质数还是合数，熟记K 的个位数字的变化规律。掌握a(n=l,2,3-1 0)的末位数字变化周期。奥赛点击写出12个连续整数，使得这12个数都是合数。自我检测(一)1.写出30 510之间的质数：2.在()内填上15以1内的质数。10=()+()=()*()=()-()3.把10、11分别拆成三个质数的和。10=()+()+()11=)+()+()53/1484.如果两个质数的和是奇数，则其中一个质数肯定是5.如果两个质数的积为偶数，则其中一个质数肯定是6.两个质数的和是4 3,这两个质数的差