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1、4.2对数的运算 测试卷一、单选题1某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次不少于10万粒的是（）（参考数据：，）A第5代种子B第6代种子C第7代种子D第8代种子2在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度单位）和燃料的质量（单位）、火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是（是参数）当质量比比较大时，函数关系中真数部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比从2000提升至50000，则大约增加了（附：）（）A52%B42%C32%D22%3神舟十五号载人飞船搭载宇航员费俊龙邓清明和张陆进入太空，在中国空间站将完成为
2、期6个月的太空驻留任务，期间会进行很多空间科学实验.太空中的水资源极其有限，要通过回收水的方法制造可用水.回收水是将宇航员的尿液汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（）（参考数据）A17B19C21D234若，则的值为（）ABCD5若,则的值为（）ABCD6已知，设，则所在的区间为（）ABCD7已知函数，若，则的值为（）ABCD8已知，设，则（）ABCD二、多选题9下列运算正确的是（）ABCD10下列指数式与对数式互化正确的是（）A与B与C与D与11设函数，若，则的取值
3、可能是（）A0B3CD212下列说法正确的是（）A的充要条件是a0B16的4次方根等于2CD函数的值域为三、填空题13已知，则的值为_14已知，试用表示为_.15已知，则_.16是定义在上的奇函数，且满足，又当时，则_四、解答题17解答下列问题：(1)用表示；(2)已知，且，求M的值18计算下列各式的值：(1)；(2)19(1)计算(2)已知， 求的最小值20已知函数（为常数）.(1)当，求的值；（参考数据：，）(2)若函数为偶函数，求在区间上的值域.21定义在的奇函数和偶函数满足(1)求和的解析式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；22已知函数，（1）若关于的方程有两个不等实根，求的值；
4、（2）是否存在实数，使对任意，关于的方程在区间上总有3个不等实根，若存在；求出实数的取值范围；若不存在，说明理由参考答案1B【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得.因为，故种子数量首次不少于10万粒的是第6代种子.故选：B.2B【分析】质量比提升后的最大速度与提升前的最大速度相除，即可算出增加的百分比.【详解】当质量比为2000时，最大速度，当质量比为50000时，最大速度，所以将质量比从2000提升至50000，则大约增加了.故选：B3C【分析】由指数、对数的运算性质求解即可【详解】设过滤的次数为，原来水中杂
5、质为1，则由题意得，即，所以，所以，因为，所以的最小值为21，则至少要过滤21次.故选：C.4A【分析】根据对数的运算性质可得出的值.【详解】.故选：A.5A【分析】先由换底公式将表示为,再将代入,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可.【详解】解:由题知,.故选：A6C【分析】由题知，进而得，故.【详解】解：因为，所以，因为，所以因为，所以，所以故选：C7D【分析】由代入可知，根据可得，从而求出.【详解】由，得，又由，得，可知，所以，所以，即，解得.故选：D.8A【分析】根据指数与对数的运算，化简可得出，根据指数函数以及幂函数的单调性即可得出.【详解】由已知可得，
6、.所以，.故选：A.9ABD【分析】根据对数的运算法则及对数恒等式,换底公式即可选出选项.【详解】解:由题,关于选项A:,故选项A正确;根据对数恒等式可知,选项B正确;关于选项C:,故选项C错误;根据换底公式可得:,故选项D正确.故选:ABD10ACD【分析】根据指对数的运算即可判断.【详解】根据任何不为0的数的0次方为1，真数为1，对数运算为0，故A正确，故B错误，故C正确，故D正确.故选：ACD.11AB【分析】根据分段函数的定义分类讨论求值即可.【详解】若，则解得，满足题意；若，则解得，满足题意；故选:AB.12AC【分析】根据充要条件的定义,幂函数，指数函数的单调性判断A；由次方根的概
7、念、对数运算性质判断B、C；由指数函数的单调性可判断D【详解】对选项A：由得，即，当时，在上递减， ，故A正确；对选项B ：16的4次方根为，故B错误；对选项C：，故C正确；对选项D：， 值域为，故D错误故选：AC13【分析】由对数的运算法则可得，进而可得.【详解】解：因为，所以，所以.故答案为：14【分析】指对互化可得，由换底公式可得，由可得答案.【详解】因为，所以，可得，.故答案为：.1510【分析】对等式两边取对数可得，又，所以为方程的解，即可求得，即可得解.【详解】由可得，又，所以为方程的解，所以，所以，故答案为：16#【分析】由结合为奇函数，可得的周期为4，而，则，然后结合函数解析式
8、求解即可.【详解】因为为奇函数，所以，因为，所以，所以，所以，所以的周期为4，因为，所以，所以，所以，因为当时，的周期为4的奇函数，所以，故答案为：17(1)；(2).【分析】(1)根据对数的运算公式化简即可；(2)由题意可得，再根据换底公式可得由，可得，代入计算即可.【详解】（1）解：因为；（2）解：因为，所以，所以又因为，即，所以，所以.18(1)(2)【分析】(1)根据有理数指数幂的运算法则即可求解；(2)利用对数的运算法则和对数的换底公式即可求解.【详解】（1）（2）19(1)4(2)【分析】（1）利用指数幂的运算、对数的运算可得答案；（2）由可得，再由基本不等式可得答案.【详解】（1
9、）；（2）因为，所以，所以，当且仅当即时取得最小值为20(1)0.3(2)【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当时，此时（2）函数的定义域为，由偶函数的定义得恒有即：也就是恒有,所以当时，因为函数为上的增函数，所以在单调递减，故在上值域.21(1)，；(2)；(3)证明见解析，.【分析】（1）由已知可得，与联立即可解出和的解析式；（2）由已知可得，即.令，可得只需即可，根据基本不等式即可求出；（3）求出，可知.由函数的单调性以及零点的存在定理可知，即可证明存在唯一零点.由可得，根据对数运算可得.作差可得，由
10、，即可得出.【详解】（1）解：因为，所以因为是奇函数，是偶函数，所以，-得，+得.（2）解：不等式化为，即，令，因为，所以，故不等式在上恒成立，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以.22（1）；（2）.【分析】（1）根据对数运算求得的值.（2）先求得的取值范围，设为，构造函数，将问题转化为：对任意，关于的方程在区间上总有个不相等的实数根（），且有两个不相等的实数根，只有一个根，由此列不等式组来求得的取值范围.【详解】（1）依题意关于的方程有两个不等实根，所以.（2），在上递减，所以，所以，设，则.由于在上递减，在上递增，且，.令，则当时，方程有两个不相等的实数根，且两个根的积为；当时， 方程有且仅有一个根，且这个根在内或为.令，原问题等价于：对任意，关于的方程在区间上总有个不相等的实数根（），且有两个不相等的实数根，只有一个根.则，所以，解得，【点睛】若函数，则在上递减，在上递增.