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1、解析几何-圆锥曲线的离心率专题综述圆锥曲线的离心率问题是近几年高考的热点内容之一， 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a、b、c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a、c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关离心率问题难点的根本方法。专题探究探究1：求离心率(或取值范围) 解决离心率范围(最值)问题的基本思路是建立目标函数或构建不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达离心率，利用求函数
2、的值域(最值)的方法将离心率表示为其他变量的函数，求其值域(最值)，从而确定离心率的取值范围；构建不等关系是根据试题本身给出的不等条件，或一些隐含条件或椭圆(双曲线)自身的性质构造不等关系，从而求解(2021浙江省丹州市期末)在等腰梯形ABCD中,AB/CD,且|AB|=2,|AD|=1，|CD|=2x其中x(0,1),以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x(0,1),不等式te1+e2恒成立,则t的最大值为()A. 3B. 5C. 2D. 2【审题视点】如何利用题设条件表示e1+e2？【思维引导】根据双曲线和椭圆的性质用x表示e1
3、和e2，然后利用对勾函数的单调性求解。【规范解析】如图所示，连接BD，过D作DEAB于点E，依据图像求|BE|、|BD|、|AC|则|AE|=1-x，所以ED2=2x-x2，又BE=1+x，故BD2=DE2+BE2=4x+1，则AC2=BD2=4x+1，根据双曲线的定义有|BD|-|AD|=2a1，即2a1=4x+1-1,2c1=|AB|=2，e1=2c12a1=24x+1-1，而根据椭圆的定义有2a2=|AD|+|AC|=4x+1+1,2c2=|CD|=2x，e2=2c22a2=2x4x+1+1，令e1=m，则由0x5+12，又e2=1m，根据对勾函数的性质求t则e1+e2=m+1mm5+1
4、2，由对勾函数的性质可知e1+e25+12+15+12=5，又t0)的焦点F的直线l，交抛物线C的准线于点A，与抛物线C的一个交点为B，且AB=kBF(k2)，若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是_探究2：离心率问题中的共焦点问题在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，学生面对此类问题往往束手无策，下面介绍下与此类问题有关的两个结论。已知椭圆C1：1(其中ab0)与双曲线C2：1(其中m0，n0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个
5、交点，F1F2，则n2e12+b2e22=b2+n2； 1【方法技巧】结论的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减 结论的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等然后使用结论：1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题关于结论的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方(2021福建省福州市模拟)已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A. mn 且e1e21 B. mn 且e1e21 C. m1 D. mn 且e1e2n, 由结论得出
6、e1，e2的等量关系式由结论可得 1e12+1e22=2,利用均值不等式证明e1e21方法1：（利用均值不等式）e1e2， 2=1e12+1e222e1e2,e1e21,故选A.方法2：（利用三角换元）利用三角换元证明e1e21由1e12+1e22=2，0e11,可设1e1=2cos, 1e2=2sin, 01. 故选A. 方法3：（利用消元法） 1e12+1e22=2, 1e22=2-1e12， 1e12e22=-1e14+2e12=-1e12-12+1，利用消元法证明e1e21由1e12+1e22=2，0e11,得11e121. 故选A.【探究总结】如果已知b1与b2的倍数关系，则可由结论
7、得到e1与e2的等量关系式，于是问题转化为二元条件最值或范围问题，利用求二元条件最值的基本方法（如均值不等式、三角换元、消元法等）使问题获解。 (2021湖南省四校联考) 设椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线C2：x2m2-y2n2=1(m0,n0)的公共焦点为F1，F2，将C1，C2的离心率记为e1，e2，点A是C1，C2在第一象限的公共点,若点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1,则1e12+1e22=探究3：与离心率问题有关的参数问题有些离心率问题，如果题设条件中含有参数，同时参数的取值范围已知或易求解，首先找出离心率和参数之间的关系，进而求出离心率的取值范围。(2021
8、湖南省株洲市)已知椭圆：x2a2+y2b2=1ab0，直线x+y=1与椭圆交于M，N两点，以线段MN为直径的圆经过原点，若椭圆的离心率不大于32，则a的取值范围为( )A. 0,10B. 22,10C. 1,52D. 1,102【审题视点】如何利用 “以线段MN为直径的圆经过原点”这个条件，得到关于a和离心率e的关系式？【思维引导】 由题意，将x+y=1代入椭圆方程整理得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由韦达定理及以线段MN为直径的圆经过原点,求得2a2=11-e2+1，由0e32，求得a的取值范围【规范解析】根据离心率的范围求a根据以
9、MN为直径的圆经过原点，得到a和离心率e的关系式联立直线与椭圆，用韦达定理表示M、N两点的坐标将x+y=1代入椭圆方程整理得：(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2(1-b2)a2+b2，而y1y2=(1-x1)(1-x2)=b2(1-a2)a2+b2，由题意得OMON，x1x2+y1y2=0，a2(1-b2)a2+b2+b2(1-a2)a2+b2=0，a2+b2=2a2b2，1a2+1b2=2，将b2=a2-c2，e=ca代入得：2-e2=2a2(1-e2)，即2a2=11-e2+1，又0e32
10、，解得1b0)交于A、B两点，F为椭圆的左焦点,若AFBF,且该椭圆的离心率e22,63，则的取值范围为_专题升华与圆锥曲线离心率有关的二级结论：结论1（最大顶角）：在椭圆焦点三角形PF1F2中，F1PF2=，则当P为短轴端点时，最大，且椭圆的离心率esin2，SF1PF2=b2tan2 ;结论2（最大顶角）：设P为椭圆x2a2+y2b2=1上一点，A1-a,0, A2a,0, A1PA2=, 则当P为短轴端点时，A1PA2且椭圆的离心率e1-1tan22 ;结论3（斜率乘积）：在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中，若直线l与椭圆相交于A,B两点，P是弦AB的中点，则kABkOP=-b2a
11、2=e2-1.【答案详解】变式训练1【答案】(1,2【解析】如图，k2，且AB=kBF，|AB|2|BF|，过B作准线的垂线，垂足为C，|AB|2|BF|，|BF|=|BC|，|AB|2|BC|，在ABC中，sinA=|BC|AB|，sinA22，0A45，45ABC0,b0)的一条渐近线垂直，-bak=-1，则0ba1，即0c2-a2a21，解得1e2故答案为：(1,2.变式训练2【答案】2 【解析】 连接AF2，由题意可得焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2m，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，所以|AF1|2+|A
12、F2|2=2m2+2a2，因为点A关于C2的一条渐近线的对称点为F1，所以双曲线的一条渐近线是线段AF1的中垂线，所以可得F1AF2=90，所以|AF1|2+|AF2|2=4c2，所以2m2+2a2=4c2，即m2+a2=2c2，所以m2c2+a2c2=2，所以1e12+1e22=2故答案为：2变式训练3【答案】6,56 【解析】 如下图所示，设右焦点F，连结AF，BF，又AFBF，得四边形AFBF是矩形，AF+AF=2a，AF+BF=2a，OF=c，AB=2c，BAF=2，AF=2ccos2，BF=2csin2，2csin2+2ccos2=2a，ca=1sin2+cos2=12sin2+4,该椭圆的离心率e22,63，2212sin2+463，0,)，656，的取值范围是6,56，故答案为6,56.