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1、本章将要讨论的主要内容测量误差与精度评定的标准误差传播定律及其应用等精度独立观测值的最可靠值及其中误差按真误差求观测值的中误差不等精度观测系统的中误差估计最小二乘原理与条件平差第1页/共118页71 测量误差与评定精度的标准 一、测量误差及其来源1、测量误差现象：设某一量的真值为X，实际观测所得数值为观测值 ，由于观测值 中带有测量误差，因此各个观测值不可能等于真值，其与真值之差定义为观测值的真误差 。第2页/共118页2测量误差的来源观测值中存在误差有下列三方面原因（1）测量仪器测量仪器存在构造上的缺陷或仪器本身精密度有一定限度。例：水准仪：CC不平行LL经纬仪:CC不垂直HH卷尺的尺长（2
2、）观测者感觉器官的鉴别能力；技术水平和工作态度。例：对中、照准和读数（3）外界条件温度、湿度、气压、风力、大气折光等外界条件因素例：距离丈量；角度和高程测量仪器观测者外界环境这三个因素被统称为观测条件观测条件第3页/共118页3观测条件与精度 仪器 观测者 外界环境等精度观测：相同观测条件下进行的观测，测量成果的质量可以说是相同的。不等精度观测：不同观测条件下进行的观测。误差理论研究的目的：(1)确定最可靠值 (2)评定测量的精度 (3)确定误差的限度这三个因素被统称为观测条件观测条件第4页/共118页二、测量误差分类及处理1、系统误差(Systematic error)（1）概念：在相同的观
3、测条件下对某一未知量进行一系列观测，若误差在大小或符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数。例：量距；水准；角度；（2）来源：仪器自身的缺陷 观测者的习惯 外界条件（3）特点：积累性对测量结果影响较大（4）处理方法：用计算的方法加以改正 用一定的测量方法中以消除 校正仪器第5页/共118页系统误差举例30 m的钢尺，经鉴定其实际长度为30.005 m，则用该尺每丈量一整尺就有+5mm的误差，随尺段数成比例地增加，并保持其符号不变。水准仪因视线与水准管不平行而引起的水准尺读数误差，它与视线长度成正比而符号不变。经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，它随视线竖直角
4、的大小而变，但符号不变。第6页/共118页二、测量误差分类及处理（续）2、偶然误差(Stochastic error)（1）概念：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若单个误差的符号和大小都不相同，看不出明显规律。例：估读小数；量距插钎；照准读数；（2）来源：仪器 观测者的感官能力的限制 外界条件（3）特点：统计规律性，并且观测次数越多，规律越明显（4）处理方法：误差理论第7页/共118页偶然误差举例水平角度测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样。水准测量或钢尺量距中估读毫米位时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样。注意：偶然误差的出现是不可避免的，其出现纯属
5、偶然性质，其大小和符号也无法预知。但是在相同的观测条件下，进行重复观测所出现的大量偶然误差，却存在着一定的规律。第8页/共118页比较：系统误差与偶然误差1、偶然误差大小与符号，无法预知，在发生之前不存在；2、系统误差只要观测条件不变，它的一些规律是可以重现的；3、偶然误差表面无规律，个体无规律，但群体服从统计规律。第9页/共118页二、测量误差分类及处理（续）3、粗差(Gross error)粗差是指超出正常观测条件所出现的、而且数值超出规定的误差。误差量级远远大于前两者，是由于观测或操作失误、记录粗心所造成的。随着科技的进步，关于粗差的误差理论也得到了较快发展。20世纪60年代后期，荷兰巴
6、尔达（W.Baarda）教授提出的测量可靠性理论和数据探测法，为粗差的理论研究和实用检验方法奠定了基础。到目前为止，已经形成了粗差定位、估计和假设检验等理论体系，为粗差的剔除提供了一些有效的解决方法。带有偶然误差的观测列：在一系列观测值中剔除粗差及消减系统误差的影响后，该观测列中主要存在偶然误差。第10页/共118页必要的提示观测量含有粗差时，须经过一定的方法探测并纠正、或返工重测。观测量含有系统误差时，可通过一定的数学模型来修正，如钢尺尺长改正，测距仪的加常数/乘常数改正、和气象改正等。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。第11页/共118页实例：观测误差对模型参数确定的影响理论模型
7、第12页/共118页观测点位存在偶然误差时，参数求解结果理论模型含偶然误差的点位求得的模型求解出的参数：a=10.2b=4.9第13页/共118页理论模型含误差的点位求得的模型求解出的参数：a=13b=9.8观测点位存在粗差时，参数求解结果含粗差点位含粗差点位第14页/共118页三、偶然误差的特性 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。下面，我们从一个实例多个三角形内角和的误差来看偶然误差的特性。第15页/共118页观测实例观测值：三角形内角和L真值：任一三角形内角和的真值X为180aibici所观
8、测的三角形个数：n=162第16页/共118页三角形内角和真误差统计表第17页/共118页误差直方图误差直方图正态分布曲线第18页/共118页偶然误差的特性总结（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零，简称有界性；（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，简称单峰性；（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同，简称对称性；（4）偶然误差的数学期望为零，简称补偿性。即第19页/共118页准确度(Accuracy)-精确度(Precision)Accuracy refers to how close a measurement
9、is to the true value of what is being measured.Precision refers to how close measurements of the same quantity are to each other,even if they are not close to the true value.For example,the darts on the dart boards below represent sets of measurements.A bulls eye represents a perfect measurement-a m
10、easurement exactly the same as the true value.第20页/共118页Neither Precise Nor AccurateSince none of the darts are close to the bulls eye,the measurements they represent are not very accurate.Also,since the darts are not very close to each other,the set of five measurements here is not very precise eit
11、her.第21页/共118页Precise and AccurateThe measurements are all close to the true value,so they are accurate.Also,the measurements are all close to each other,so they are precise.第22页/共118页Precise But Not AccurateSince all of the measurements are close together,they are precise,but since they are not clo
12、se to the true value,they are not accurate.第23页/共118页Neither Neither Precise Nor Precise Nor AccurateAccuratePrecise But Precise But Not Not AccurateAccuratePrecise and Precise and AccurateAccurate第24页/共118页四、衡量精度的指标虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度的高低，但此方法并不实用。度的高低，但此方法并不实用。对实际测量问题，无须
13、求出其误差分布情况，而仅需对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要使用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也要使用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也就是说，需要评定精度的标准。就是说，需要评定精度的标准。观测条件相同观测条件相同精度相同精度相同对应一条误差分布曲对应一条误差分布曲线线精度：离散程度，不是误差大小精度：离散程度，不是误差大小测量中评定精度的标准有以下这些测量中评定精度的标准有以下这些方差、中误差方差、中误差容许误差容许误差相对误差相对误差第25页/共118页1、方差与中误差方差(Variance)是反映一组观测值离散程度的一个是反映一组观测值离散程度的一个数字指标
14、。其数学定义为：数字指标。其数学定义为：中误差(Standard deviation)：方差的平方根方差的平方根测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。第26页/共118页方差与中误差（续）实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有限的实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观测，因此，只能根据有限的观测值的真误差求出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量中常用观测值的真误差求出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量中常用m m来表示真误差的估值来表示真误差的估值 。即。即第27页/共118页中误差计算实例有甲乙两组，各自观测了6个三
15、角形的内角，得三角形的闭合差（即三内角和的真误差）第28页/共118页偶然误差理论分布曲线正态(高斯)分布曲线I表现较陡峭，即误差分布比较集中，或称离散度较小，故观测精度较高。第29页/共118页中误差的几何意义可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐标值。第30页/共118页2、容许误差容许误差定义由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是不会超过一定的限值。这个限值就是容许误差容许误差或称或称极限误差极限误差。由概率计算可知第31页/共118页大于大于3 3倍中误差的真误倍
16、中误差的真误差实际上是不可能出差实际上是不可能出现的。因此，通常以现的。因此，通常以3 3倍中误差倍中误差作为偶然误作为偶然误差的差的极限值极限值。在测量工作中一般取在测量工作中一般取2 2倍中误差倍中误差作为观测值作为观测值的的容许误差，即容许误差，即容容=2=2m m当某观测值的误差超当某观测值的误差超过了容许的过了容许的2 2倍中误差倍中误差时，将认为该观测值时，将认为该观测值含有含有粗差粗差，而应舍去，而应舍去不用或重测。不用或重测。第32页/共118页3、相对误差真误差、中误差等具有与观测量相同的量纲(单位)，它们被称为“绝对误差”。相对中误差：观测值误差的绝对值与相应观测值之比相对
17、中误差，相对容许误差，相对闭合差，相对较差等第33页/共118页相对误差应用实例例：甲组：量距n次，L甲=200m，m甲=0.02m 乙组：量距n次，L乙=100m，m乙=0.02m前者的相对中误差为1/10000，后者为1/5000。虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同，前者显然优于后者。区别区别绝对误差：用于误差大小与观测量的大小无关的观测值，有单位，有符号，用于角度、方向等的观测相对误差：用于误差大小与观测量的大小有关的观测值，此时误差大小不能反映观测质量，无单位，无符号，用于距离等第34页/共118页772 2 误差传播定律及其应用在实际工作中，往往会遇到某些量的大
18、小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的。例如，水准测量中，h=a-b，这时高差h就是直接观测值a、b的函数。当a、b存在误差时，h也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。第35页/共118页一、误差传播定律推导一、误差传播定律推导第36页/共118页误差传播定律推导误差传播定律推导（续）第37页/共118页误差传播定律推导（续）第38页/共118页二、求任意函数中误差的步骤1.列出独立观测值的函数式2.求出真误差关系式，可对函数式进行全微分3.求出中误差关系式第39页/共118页常用函数的中误差公式
19、第40页/共118页例-11、量得某圆形建筑物得直径D=34.50m，其中误差 ，求建筑物得园周长及其中误差。解：圆周长及其中误差：第41页/共118页例-2第42页/共118页例-3错误的求解第43页/共118页例-3第44页/共118页例-4错误的求解4、用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。第45页/共118页例-4 4、用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。第46页/共118页例-5第47页/共118页例-5第48页/共118页应用误差传播定律时应注意的两点要正确列出函数式 如例3和 例4在函数式中各个
20、观测值必须是独立的 第49页/共118页1、水准测量的精度三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用第50页/共118页第51页/共118页铁路线路水准的限差第52页/共118页2、两半测回角值之差的限差第53页/共118页两测回角值之差的限差第54页/共118页3、钢尺量距的精度第55页/共118页光电测距的精度第56页/共118页光电测距的精度（续）第57页/共118页7-3等精度独立观测值的下最可靠值及其中误差一、等精度独立观测值的最可靠值在测量工作中，除了要对观测成果评定精度外，还要确定观测量的最可靠值。由于观测量的真值难以求得，因此，观测量的最可靠值只能是最接近真值的值，称为最或然
21、值(Most probable value,MPV)。当我们对某一个量同精度进行多次观测后，则算术平均值(arithmetic mean)就是观测值的最或然值。第58页/共118页一、等精度独立观测值的最可靠值（续）设对某一个量进行了n次同精度观测，得观测值L1,L2,Ln,求该观测量的算术均值。第59页/共118页二、算术平均值的中误差第60页/共118页观测次数与算术平均值中误差的关系观测次数算术平均值的中误差20.7140.5060.41100.32200.22500.14第61页/共118页三、按最或然误差求观测值的中误差前面已介绍的中误差公式（见下式）是不实用的 因为其中的真误差是较
22、难得到的。因此，一般我们按观测值的最或然误差来求得观测值的中误差。观测值的最或然误差是观测量的最或然值x与观测值Li之差，也就是观测值的改正数(correction,residual)，以v来表示。第62页/共118页按最或然误差求观测值的中误差（续）第63页/共118页按最或然误差求观测值的中误差（续）第64页/共118页按最或然误差求观测值的中误差（续）第65页/共118页例-6对某段距离同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。次序观测值Li (m)改正数 vi(mm)1346.535+4.32346.548-8.73346.520+19.
23、04346.546-6.75346.550-10.76346.537+2.3第66页/共118页一、按双观测值之差求观测值的中误差对某一量进行同精度的双次观测，其较差为7-4 按真误差求观测值的中误差按真误差求观测值的中误差第67页/共118页例-6水准测量在水准点16各点之间往返各测了一次，各水准点间的距离均为1km,各段往返测所得的高差见下表。求每公里单程水准测量高差的中误差和每公里往返测平均高差的中误差。123456hh”第68页/共118页例-6求解测段高差观测值(m)dd12-0.185+0.188+3923+1.626-1.629-3934+1.435-1.430+52545+0.
24、505-0.509-41656-0.007+0.005-24第69页/共118页二、按三角形的闭合差求测角中误差第70页/共118页7-5 不等精度独立观测值的最可靠值及其中误差(unequal-precision observations)第71页/共118页不等精度观测问题若对同一个量进行多次观测，是在不同的观测条件下来进行的，如各次观测所用的仪器或方法不同，则各观测值的精度是不同的。这类问题归结为不等精度观测问题，不能采用前面的方法来处理。当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均值和相关中误差公式来计算观测值的最或然值和评定其精度。第72页/共118页一、权(Weight)在处理不同精度
25、的观测值时，精度高的观测值应给予较大的信赖，精度低的，应给予较小的信赖。我们可以对每一观测值给定一个参数来衡量其精度的高低，这个参数称为“权(weight)”。权越大，精度越高，反之，精度越低。衡量观测值精度相对高低。第73页/共118页各观测值的权之间的关系：任意给定的常数第74页/共118页权的计算实例第75页/共118页单位权(unit weight)和单位权中误差单位权：权为1时的权权为1的观测值又称为单位权观测值而为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。常用 来表示。第76页/共118页二、确定权的方法例8：在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1n2n3进行观测，得
26、相应的算术平均值为L1L2L3,求L1L2L3的权。第77页/共118页结 论同精度观测时，算术平均值的权与观测次数成正比。权与观测次数成正比根据测回数确定权。用于测角、量距中。第78页/共118页例9：用同样观测方法，经由长度为L1,L2,L3的三条不同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为h1,h2,h3。已知每公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。第79页/共118页结 论高差的权与距离成反比。权的数值可以改变，但它们之间的比例关系不变。权值变化后，单位权中误差的值也随之改变。可用于水准路线的确权方法。第80页/共118页例10：第81页/共118页结 论权与测站数成反比。对于量边总
27、长度等多尺段之和，权与尺段数成反比。对于水准测量，权与测站数成反比，同一测段，测站越多，权值越小。第82页/共118页三、加权平均值及其中误差1、不等精度观测量的最或然值设对某角进行了两组观测：第一组测n1个测回，其平均值为L1,第二组测n2个测回，其平均值为L2。问题：如何求该角度的最或然值？第83页/共118页第84页/共118页2、加权平均值的中误差第85页/共118页3、按最或然值求单位权中误差这里先给出按最或然值求单位权中误差的公式最或然值中误差第86页/共118页第87页/共118页第88页/共118页第89页/共118页4、不等精度观测实例例题：从已知水准点A、B、C经三条水准路
28、线，测得E点的观测高程Hi及水准路线长度Si。求E点的最或然高程及其中误差。第90页/共118页所需计算公式第91页/共118页测段测段高程观测值高程观测值 /m水准路线长度水准路线长度AEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6第92页/共118页E点高程的最或是值为点高程的最或是值为单位权观测值中误差为单位权观测值中误差为最或是值中误差为最或是值中误差为第93页/共118页水准观测精度评定结果水准观测精度评定结果最后结果可写成 HE=527.4690.009（m）第94页/共11
29、8页误差理论的综合应用第95页/共118页水准路线上高程的计算第96页/共118页水准路线上高程的计算（续）第97页/共118页4、水准路线上高程的计算第98页/共118页水准路线上高程的计算（续）第99页/共118页76 最小二乘与条件平差原理 一、测量平差概述 第100页/共118页第101页/共118页第102页/共118页第103页/共118页第104页/共118页第105页/共118页二、最小二乘原理第106页/共118页第107页/共118页第108页/共118页三、条件平差原理 条件平差是以条件方程为出发点，根据准则，求未知量的最佳估值的计算方法。从数学上讲，这是一个求条件极值的问题。第109页/共118页第110页/共118页第111页/共118页求解过程：第112页/共118页第113页/共118页四、按条件平差求平差值的计算步骤及示例 第114页/共118页第115页/共118页第116页/共118页第117页/共118页感谢您的观看。第118页/共118页