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1、会计学1中南大学土木工程测量测量误差理论中南大学土木工程测量测量误差理论第七章：测量误差与平差中南大学土木中南大学土木工程工程学院学院 道路工程系道路工程系第1页/共122页主要内容主要内容测量误差与精度评定的标准测量误差与精度评定的标准误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用等精度独立观测值的最可靠值及其中误差等精度独立观测值的最可靠值及其中误差按真误差求观测值的中误差按真误差求观测值的中误差不等精度观测系统的中误差估计不等精度观测系统的中误差估计最小二乘原理与条件平差最小二乘原理与条件平差第2页/共122页71 测量误差与评定精度的标准 n n一、测量误差及其来源一、测量误差及其来源n n
2、1 1、测量误差、测量误差n n现象：现象：n n设某一量的真值为设某一量的真值为X X，实际观测所得数值为观测值，实际观测所得数值为观测值 ，由于观测值，由于观测值 中带有测量误差，因此各个观测值中带有测量误差，因此各个观测值不可能等于真值，其与真值之差定义为观测值的真误不可能等于真值，其与真值之差定义为观测值的真误差差 。n n 第3页/共122页2 2测量误差的来源测量误差的来源测量误差的来源测量误差的来源n n观测值中存在误差有下列观测值中存在误差有下列三方面三方面原因原因n n（1 1）测量仪器）测量仪器n n测量仪器存在构造上的缺陷或仪器本身精密度有一定限度。测量仪器存在构造上的缺
3、陷或仪器本身精密度有一定限度。n n例：例：水准仪：水准仪：CCCC不平行不平行LLLL经纬仪经纬仪:CC:CC不垂直不垂直HHHH卷尺的尺长卷尺的尺长n n（2 2）观测者）观测者n n感觉器官的鉴别能力；技术水平和工作态度。感觉器官的鉴别能力；技术水平和工作态度。n n例：对中、照准和读数例：对中、照准和读数n n（3 3）外界条件）外界条件n n温度、湿度、气压、风力、大气折光等外界条件因素温度、湿度、气压、风力、大气折光等外界条件因素n n例：距离丈量；角度和高程测量例：距离丈量；角度和高程测量n nn n仪器仪器n n观测者观测者n n外界环境外界环境这三个因素被统称为观测条件观测条
4、件第4页/共122页3 3观测条件与精度观测条件与精度观测条件与精度观测条件与精度n n 仪器仪器n n 观测者观测者n n 外界环境外界环境n n等精度观测：等精度观测：相同相同观测观测条件下进行的观测，测量成果的条件下进行的观测，测量成果的质量可以说是相同的质量可以说是相同的 。n n不等精度观测不等精度观测：不同观测条件下进行的观测。不同观测条件下进行的观测。n n误差理论研究的目的：误差理论研究的目的：n n (1)(1)确定最可靠值确定最可靠值n n (2)(2)评定测量的精度评定测量的精度n n (3)(3)确定误差的限度确定误差的限度这三个因素被统称为观测条件观测条件第5页/共1
5、22页二、测量误差分类及处理二、测量误差分类及处理n n1 1、系统误差、系统误差、系统误差、系统误差(Systematic error)(Systematic error)n n（1 1）概念概念：在相同的观测条件下对某一未知量进行一系列观测，若误：在相同的观测条件下对某一未知量进行一系列观测，若误差在大小或符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变差在大小或符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数。化，或者为某一常数。n n例：量距；水准；例：量距；水准；角度；角度；n n（2 2）来源来源：仪器自身的缺陷仪器自身的缺陷n n 观测者的习惯观测者的习惯n
6、 n 外界条件外界条件n n（3 3）特点特点：积累性积累性对测量结果影响较大对测量结果影响较大n n（4 4）处理方法处理方法：n n 用计算的方法加以改正用计算的方法加以改正n n 用一定的测量方法中以消除用一定的测量方法中以消除n n 校正仪器校正仪器第6页/共122页系统误差举例系统误差举例30 m30 m的钢尺，经鉴定其实际长度为的钢尺，经鉴定其实际长度为30.005 m30.005 m，则，则用该尺每丈量一整尺就有用该尺每丈量一整尺就有+5mm+5mm的误差，随尺段数的误差，随尺段数成比例地增加，并保持其符号不变。成比例地增加，并保持其符号不变。水准仪因视线与水准管不平行而引起的水
7、准尺读水准仪因视线与水准管不平行而引起的水准尺读数误差，它与视线长度成正比而符号不变。数误差，它与视线长度成正比而符号不变。经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，经纬仪因视准轴与横轴不垂直而引起的方向误差，它随视线竖直角的大小而变，但符号不变。它随视线竖直角的大小而变，但符号不变。第7页/共122页二、测量误差分类及处理（续）二、测量误差分类及处理（续）n n2、偶然误差、偶然误差(Stochastic error)n n（1 1）概念概念：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若单个误差的符号和大小都不相同，看不出明显规律测，若单
8、个误差的符号和大小都不相同，看不出明显规律 。n n例：估读小数；量距插钎；例：估读小数；量距插钎；照准读数；照准读数；n n（2 2）来源来源：仪器仪器n n 观测者的感官能力的限制观测者的感官能力的限制n n 外界条件外界条件n n（3 3）特点特点：统计规律性，并且观测次数越多，规律越明显统计规律性，并且观测次数越多，规律越明显n n（4 4）处理方法处理方法：n n 误差理论误差理论第8页/共122页偶然误差举例偶然误差举例n n 水平角度测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，水平角度测量中照准目标时，可能稍偏左也可能稍偏右，偏差的大小也不一样。偏差的大小也不一样。n n 水准测量
9、或钢尺量距中估读毫米位时，可能偏大也可能偏水准测量或钢尺量距中估读毫米位时，可能偏大也可能偏小，其大小也不一样。小，其大小也不一样。n n 注意注意注意注意：偶然误差的出现是不可避免的，其出现纯属偶然性：偶然误差的出现是不可避免的，其出现纯属偶然性质，其大小和符号也无法预知。但是在相同的观测条件下，质，其大小和符号也无法预知。但是在相同的观测条件下，进行重复观测所出现的大量偶然误差，却存在着一定的规律。进行重复观测所出现的大量偶然误差，却存在着一定的规律。第9页/共122页比较：比较：系统误差与偶然误差系统误差与偶然误差n n1 1、偶然误差大小与符号，无法预知，在发生之、偶然误差大小与符号，
10、无法预知，在发生之前不存在；前不存在；n n2 2、系统误差只要观测条件不变，它的一些规律、系统误差只要观测条件不变，它的一些规律是可以重现的；是可以重现的；n n3 3、偶然误差表面无规律，个体无规律，但群体、偶然误差表面无规律，个体无规律，但群体服从统计规律。服从统计规律。第10页/共122页二、测量误差分类及处理（续）二、测量误差分类及处理（续）n n3 3、粗差、粗差、粗差、粗差(Gross error)(Gross error)n n粗差粗差是指超出正常观测条件所出现的、而且数值超出规定的误是指超出正常观测条件所出现的、而且数值超出规定的误差。差。n n误差量级远远大于前两者，是由于
11、观测或操作失误、记录粗心误差量级远远大于前两者，是由于观测或操作失误、记录粗心所造成的。所造成的。n n 随着科技的进步，关于粗差的误差理论也得到了较快发展。随着科技的进步，关于粗差的误差理论也得到了较快发展。2020世纪世纪6060年代后期，荷兰巴尔达年代后期，荷兰巴尔达（W.BaardaW.Baarda）教授提出的测量可教授提出的测量可靠性理论和数据探测法，为粗差的理论研究和实用检验方法奠靠性理论和数据探测法，为粗差的理论研究和实用检验方法奠定了基础。到目前为止，已经形成了粗差定位、估计和假设检定了基础。到目前为止，已经形成了粗差定位、估计和假设检验等理论体系，为粗差的剔除提供了一些有效的
12、解决方法。验等理论体系，为粗差的剔除提供了一些有效的解决方法。n n带有偶然误差的观测列带有偶然误差的观测列 ：在一系列观测值中剔除粗差及消减系在一系列观测值中剔除粗差及消减系统误差的影响后，该观测列中主要存在偶然误差。统误差的影响后，该观测列中主要存在偶然误差。第11页/共122页必要的提示必要的提示n n观测量含有粗差时，须经过一定的方法探测并纠观测量含有粗差时，须经过一定的方法探测并纠正、或返工重测。正、或返工重测。n n观测量含有系统误差时，可通过一定的数学模型观测量含有系统误差时，可通过一定的数学模型来修正，如钢尺尺长改正，测距仪的加常数来修正，如钢尺尺长改正，测距仪的加常数/乘乘常
13、数改正、和气象改正等。常数改正、和气象改正等。n n而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。而进一步的测量误差分析与处理仅针对偶然误差。第12页/共122页实例：观测误差对模型参数确定的影响实例：观测误差对模型参数确定的影响实例：观测误差对模型参数确定的影响实例：观测误差对模型参数确定的影响理论模型第13页/共122页观测点位存在偶然误差时，参数求解结果观测点位存在偶然误差时，参数求解结果观测点位存在偶然误差时，参数求解结果观测点位存在偶然误差时，参数求解结果理论模型含偶然误差的点位求得的模型求解出的参
14、数：a=10.2b=4.9第14页/共122页理论模型含误差的点位求得的模型求解出的参数：a=13b=9.8观测点位存在粗差时，参数求解结果观测点位存在粗差时，参数求解结果观测点位存在粗差时，参数求解结果观测点位存在粗差时，参数求解结果含粗差点位含粗差点位第15页/共122页三、偶然误差的特性三、偶然误差的特性 n n 从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。能发现其规律性，误差个数愈多，规律性愈明显。n n n
15、 n 下面，我们从一个实例下面，我们从一个实例多个三角形内角和的多个三角形内角和的误差误差来看偶然误差的特性。来看偶然误差的特性。第16页/共122页观测实例观测实例n n观测值：三角形内角和Ln n真值：任一三角形内角和的真值X为180aibici所观测的三角形个数：n=162第17页/共122页三角形内角和真误差统计表第18页/共122页误差直方图误差直方图正态分布曲线正态分布曲线第19页/共122页偶然误差的特性总结偶然误差的特性总结偶然误差的特性总结偶然误差的特性总结n n（1 1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即超
16、过一定限值的误差，其出现的概过一定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零，简称率为零，简称有界性有界性；n n（2 2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大，简称率大，简称单峰性单峰性；n n（3 3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同，简称）绝对值相等的正负误差出现的概率相同，简称对对称性；称性；n n（4 4）偶然误差的数学期望为零，简称）偶然误差的数学期望为零，简称补偿性补偿性。即。即第20页/共122页准确度准确度准确度准确度(Accuracy)-(Accuracy)-精确度精确度精确度精确度(Precision)(Prec
17、ision)n n Accuracy refers to how close a measurement is to the true value of what is being measured.n n Precision refers to how close measurements of the same quantity are to each other,even if they are not close to the true value.n nFor example,the darts on the dart boards below represent sets of m
18、easurements.A bulls eye represents a perfect measurement-a measurement exactly the same as the true value.第21页/共122页Neither Neither Precise Nor Precise Nor AccurateAccuratePrecise But Precise But Not Not AccurateAccuratePrecise and Precise and AccurateAccurate准确(Accuracy)-精确(Precision)第22页/共122页四、衡量
19、精度的指标四、衡量精度的指标n n虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度虽然误差分布曲线或直方图可以描述并比较出观测精度的高低，但此方法并不实用。的高低，但此方法并不实用。的高低，但此方法并不实用。的高低，但此方法并不实用。n n对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要对实际测量问题，无须求出其误差分布情况，而仅需要使用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也就是使用一些数字特征来反映误
20、差分布的离散程度。也就是使用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也就是使用一些数字特征来反映误差分布的离散程度。也就是说，需要评定精度的标准。说，需要评定精度的标准。说，需要评定精度的标准。说，需要评定精度的标准。n n观测条件相同观测条件相同观测条件相同观测条件相同精度相同精度相同精度相同精度相同对应一条误差分布曲线对应一条误差分布曲线对应一条误差分布曲线对应一条误差分布曲线n n精度：离散程度，不是误差大小精度：离散程度，不是误差大小精度：离散程度，不是误差大小精度：离散程度，不是误差大小n n测量中评定精度的标准有以下这些测量中评定精度的标准有以下这些测量中评定精度的标准有以下这些测量
21、中评定精度的标准有以下这些n n方差、中误差方差、中误差方差、中误差方差、中误差n n容许误差容许误差容许误差容许误差n n相对误差相对误差相对误差相对误差第23页/共122页1、方差与中误差、方差与中误差n n方差方差(Variance)(Variance)是反映一组观测值离散程度的一个数是反映一组观测值离散程度的一个数字指标。其数学定义为：字指标。其数学定义为：n n中误差中误差(Standard deviation)(Standard deviation)：方差的平方根方差的平方根n n测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。测量工作中，均采用中误差作为评定精度的标准。第24页/共1
22、22页偶然误差理论分布曲线偶然误差理论分布曲线偶然误差理论分布曲线偶然误差理论分布曲线正态正态正态正态(高斯高斯高斯高斯)分布分布分布分布曲线I表现较陡峭，即误差分布比较集中，或称离散度较小，故观测精度较高。第25页/共122页中误差的几何意义中误差的几何意义中误差的几何意义中误差的几何意义n n可以证明中误差是正态分可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐布曲线上两个拐点的横坐标值。标值。第26页/共122页方差与中误差（续）方差与中误差（续）n n 实际工作中，不可能对观测实际工作中，不可能对观测量作无穷多次观测，因此，量作无穷多次观测，因此，只能根据有限的观测值的真只能根据有限的观测
23、值的真误差求出中误差的估值来代误差求出中误差的估值来代表观测值的精度。在测量中表观测值的精度。在测量中常用常用m m来表示真误差的估值来表示真误差的估值 。即。即第27页/共122页中误差计算实例中误差计算实例 有甲乙两组，各自观测了6个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三内角和的真误差）第28页/共122页方差与中误差（续）方差与中误差（续）n n 对于一组同精度的观测，各观测值的真误差虽然各不相同，但是各观测值的中误差相同。第29页/共122页2、容许误差、容许误差n n容许误差定义n n 由偶然误差的第一特性可知，由偶然误差的第一特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差在一定的观测条件下，
24、偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是这个限值就是容许误差容许误差或称或称极限极限误差误差。n n由概率计算可知第30页/共122页n n大于大于3 3倍中误差的真误差倍中误差的真误差实际上是不可能出现的。实际上是不可能出现的。因此，通常以因此，通常以3 3倍中误差倍中误差作为偶然误差的作为偶然误差的极限值极限值。n n在测量工作中一般取在测量工作中一般取2 2倍倍中误差中误差作为观测值的作为观测值的容容许误差，即许误差，即容容=2=2m mn n当某观测值的误差超过当某观测值的误差超过了容许的了容许的2 2倍中误差时，倍中误差时，将认为该观测值含有将认为
25、该观测值含有粗粗差差，而应舍去不用或重，而应舍去不用或重测。测。第31页/共122页3、相对误差、相对误差n n真误差、中误差等具有与观测量相同的量纲真误差、中误差等具有与观测量相同的量纲(单单位位)，它们被称为，它们被称为“绝对误差绝对误差”。n n相对中误差相对中误差相对中误差相对中误差：观测值误差的绝对值与相应观测值观测值误差的绝对值与相应观测值之比之比n n相对中误差，相对容许误差，相对闭合差，相对相对中误差，相对容许误差，相对闭合差，相对较差等较差等第32页/共122页相对误差应用实例相对误差应用实例n n例：甲组：量距例：甲组：量距例：甲组：量距例：甲组：量距n n次，次，次，次，
26、L L甲甲甲甲=200m=200m，mm甲甲甲甲=0.02m0.02mn n 乙组：量距乙组：量距乙组：量距乙组：量距n n次，次，次，次，L L乙乙乙乙=100m=100m，mm乙乙乙乙=0.02m0.02mn n前者的相对中误差为前者的相对中误差为1/100001/10000，后者为，后者为1/50001/5000。n n虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同，前者显然优于后者。相同，前者显然优于后者。n n区别区别n n绝对误差：绝对误差：用于误差大小与观测量的大小无关的观测值，有用于误差大小与观测量的大小无关的观测值
27、，有单位，有符号，用于角度、方向等的观测单位，有符号，用于角度、方向等的观测n n相对误差：相对误差：用于误差大小与观测量的大小有关的观测值，此用于误差大小与观测量的大小有关的观测值，此时误差大小不能反映观测质量，无单位，无符号，用于距离时误差大小不能反映观测质量，无单位，无符号，用于距离等等第33页/共122页772 2 误差传播定律及其应用误差传播定律及其应用n n 在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系函数关系间接计间接计算出来的。算出来的。n n 例如，水准测量中，
28、例如，水准测量中，h h=a a-b b，这时高差，这时高差h h就是直接观测就是直接观测值值a a、b b的函数。当的函数。当a a、b b存在误差时，存在误差时，h h也受其影响而产生误也受其影响而产生误差，这就是所谓的误差传播。差，这就是所谓的误差传播。n n阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为律称为误差传播定律误差传播定律误差传播定律误差传播定律。第34页/共122页一、误差传播定律推导一、误差传播定律推导第35页/共122页误差传播定律推导误差传播定律推导（续续）第36页/共122页误差传播定律推导（续）误差传播定律推导（
29、续）误差传播定律推导（续）误差传播定律推导（续）第37页/共122页二、求任意函数中误差的步骤二、求任意函数中误差的步骤n n1.1.列出独立观测值的函数式列出独立观测值的函数式n n2.2.求出真误差关系式，可对函数式进行全微分求出真误差关系式，可对函数式进行全微分n n3.3.求出中误差关系式求出中误差关系式第38页/共122页常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式第39页/共122页常用函数的中误差公式注意事项常用函数的中误差公式注意事项n n1、正确列出函数式；n n2、函数式中的观测值必须是独立的；n n3、单位必须统一；第40页/共122页例例-1n n1、量得某圆形建筑物得直径
30、D=34.50m，其中误差 ，求建筑物得园周长及其中误差。n n 解：圆周长及其中误差：第41页/共122页例例-2第42页/共122页例例-3错误的求解错误的求解第43页/共122页例例-3第44页/共122页例例-4错误的求解错误的求解n n4、用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。第45页/共122页例例-4n n 4、用长30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。第46页/共122页例例-5第47页/共122页例例-5第48页/共122页应用误差传播定律时应注意的两点应用误差传播定律时应注意的两点应用误差传播定
31、律时应注意的两点应用误差传播定律时应注意的两点n n要正确列出函数式n n 如例3和 例4n n在函数式中各个观测值必须是独立的n n 第49页/共122页1、水准测量、水准测量的精度的精度三、误差传播定律的应用三、误差传播定律的应用结论结论1：当各观测高差的精度相同时，水准测量高差的中误差与测：当各观测高差的精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比。站数的平方根成正比。第50页/共122页结论结论2：当测站高差中误差：当测站高差中误差m站站和两转点间的距离和两转点间的距离L相同时，相同时，为一为一定值，则水准测量的高差与水准路线长度的平方根成正比。定值，则水准测量的高差与水准路
32、线长度的平方根成正比。第51页/共122页铁路线路水准的限差铁路线路水准的限差第52页/共122页2、水平角测量精度分、水平角测量精度分析析第53页/共122页两测回角值之差的限差两测回角值之差的限差第54页/共122页3、钢尺量距的精度、钢尺量距的精度第55页/共122页光电测距的精度光电测距的精度光电测距的基本计算公式第56页/共122页光电测距的精度光电测距的精度第57页/共122页光电测距的精度（续）光电测距的精度（续）光电测距的误差：与距离成比例的比例误差，与距离无关的固定误差。第58页/共122页n n7-3等精度独立观测值的下最可靠值及其中误差一、等精度独立观测值的最可靠值 在测
33、量工作中，除了要对观测成果评定精度外，还要确定观测量的最可靠值。由于观测量的真值难以求得，因此，观测量的最可靠值只能是最接近真值的值，称为最或然值(Most probable value,MPV)。当我们对某一个量同精度进行多次观测后，则算术平均值(arithmetic mean)就是观测值的最或然值。第59页/共122页一、等精度独立观测值的最可靠值（续）（续）设对某一个量进行了n次同精度观测，得观测值L1,L2,Ln,求该观测量的算术均值。n为无穷大时，算数平均值的极限是观测值的真值，当n为有限时，算数平均值最接近真值，等精度独立观测量的最可靠值是算术平均值。第60页/共122页一、等精度
34、独立观测值的最可靠值（续）（续）n为无穷大时，算数平均值的极限是观测值的真值，当n为有限时，算数平均值最接近真值，等精度独立观测量的最可靠值是算术平均值。第61页/共122页二二、算术平均值的中、算术平均值的中误差误差 等精度独立观测量最可靠值的中误差M是单次观测值中误差m的1/（n1/2）倍。设独立观测值L1、L2Ln的中误差为m，则等精度独立观测量最可靠值的计算式可写为如下：第62页/共122页观测次数与算术平均值观测次数与算术平均值中误差的关系中误差的关系观测次数算术平均值的中误差20.7140.5060.41100.32200.22500.14 测量工作中增加观测次数取平均或者提高单次
35、观测精度是提高测量结果的有效方法。第63页/共122页三、按最或然误差求观测值的三、按最或然误差求观测值的中误差中误差n n前面已介绍的中误差公式（见下式）是不实用的前面已介绍的中误差公式（见下式）是不实用的n n 因为其中的真误差因为其中的真误差 是较难得到的。因此，一般是较难得到的。因此，一般我们按观测值的最或然误差来求得观测值的中误差。我们按观测值的最或然误差来求得观测值的中误差。n n 观测值的观测值的最或然误差最或然误差是观测量的最或然值是观测量的最或然值x x与观测与观测值值L Li i之差，也就是观测值的之差，也就是观测值的改正数改正数(correction,(correctio
36、n,residual)residual)，以，以v v来表示。来表示。第64页/共122页按最或然误差求观测值按最或然误差求观测值的中误差（续）的中误差（续）第65页/共122页按最或然误差求观测值按最或然误差求观测值的中误差（续）的中误差（续）第66页/共122页按最或然误差求观测值按最或然误差求观测值的中误差（续）的中误差（续）第67页/共122页例例-6n n 对某段距离同等精度丈量了对某段距离同等精度丈量了6 6次，结果列于下表，求次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。中误差。次序观测值Li (m)改正数
37、 vi(mm)1346.535+4.02346.548-9.03346.520+19.04346.546-7.05346.550-11.06346.537+2.0第68页/共122页一、按双观测值之差求观测值的中误差一、按双观测值之差求观测值的中误差一、按双观测值之差求观测值的中误差一、按双观测值之差求观测值的中误差n n对某一量进行同精度的双次观测，其较差对某一量进行同精度的双次观测，其较差为为7-4 按真误差求观测值的中误差按真误差求观测值的中误差第69页/共122页例例-6n n 水准测量在水准点水准测量在水准点1616各点之间往返各测了一次，各各点之间往返各测了一次，各水准点间的距离均
38、为水准点间的距离均为1km,1km,各段往返测所得的高差见下各段往返测所得的高差见下表。求每公里单程水准测量高差的中误差和每公里往表。求每公里单程水准测量高差的中误差和每公里往返测平均高差的中误差。返测平均高差的中误差。123456hh”第70页/共122页例例-6求解求解测段高差观测值(m)dd12-0.185+0.188+3923+1.626-1.629-3934+1.435-1.430+52545+0.505-0.509-41656-0.007+0.005-24第71页/共122页二、按三角形的闭合二、按三角形的闭合差求测角中误差差求测角中误差第72页/共122页n n7-5 不等精度独
39、立观测值的最可不等精度独立观测值的最可靠值及其中误差靠值及其中误差(unequal-precision observations)第73页/共122页不等精度观测问题不等精度观测问题n n 若对同一个量进行多次观测，是在不同的观测若对同一个量进行多次观测，是在不同的观测条件下来进行的，如各次观测所用的仪器或方法条件下来进行的，如各次观测所用的仪器或方法不同，则各观测值的精度是不同的。不同，则各观测值的精度是不同的。n n 这类问题归结为不等精度观测问题，不能采用这类问题归结为不等精度观测问题，不能采用前面的方法来处理。前面的方法来处理。n n 当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均当各观测量
40、的精度不相同时，不能按算术平均值和相关中误差公式来计算观测值的最或然值和值和相关中误差公式来计算观测值的最或然值和评定其精度。评定其精度。第74页/共122页一、权一、权(Weight)n n 在处理不同精度的观测值时，精度高的观测值应在处理不同精度的观测值时，精度高的观测值应给予较大的信赖，精度低的，应给予较小的信赖。给予较大的信赖，精度低的，应给予较小的信赖。n n 我们可以对每一观测值给定一个参数来衡量其精我们可以对每一观测值给定一个参数来衡量其精度的高低，这个参数称为度的高低，这个参数称为“权权(weight)”(weight)”。权越大，。权越大，精度越高，反之，精度越低。精度越高，
41、反之，精度越低。n n衡量观测值精度相对高低。衡量观测值精度相对高低。第75页/共122页n n各观测值的权之间的关系：各观测值的权之间的关系：任意给定的常数 设观测值L1、L2、L3、.Ln的中误差分别为m1、m2、m3、mn，其相对应的权分别为p1、p2、p3、pn，则权的定义为：一、权(Weight)第76页/共122页单位权单位权(unit weight)和和单位权中误差单位权中误差n n单位权：权为单位权：权为1 1时的权时的权n n权为权为1 1的观测值又称为单位权观测值的观测值又称为单位权观测值n n而为单位权观测值的中误差，简称为单位权中误差。而为单位权观测值的中误差，简称为单
42、位权中误差。常用常用 来表示来表示。第77页/共122页权的计算实例权的计算实例n n 无论无论 如何取值，权之间的比例关系并没有改变，这说明衡如何取值，权之间的比例关系并没有改变，这说明衡量量n n精度时，权的绝对值不是主要的，关键是它们之间的比例关系。精度时，权的绝对值不是主要的，关键是它们之间的比例关系。第78页/共122页n n 观测精度的高低可以用权或者中误差表示，观观测精度的高低可以用权或者中误差表示，观测精度越高，权就越大，中误差越小。测精度越高，权就越大，中误差越小。n n 中误差是表示观测值精度的一个绝对数字，而中误差是表示观测值精度的一个绝对数字，而权则是比较各观测精度高低
43、的一组相对数字。权则是比较各观测精度高低的一组相对数字。权的计算实例权的计算实例第79页/共122页二、确定权的方法二、确定权的方法n n例例8 8：在相同的：在相同的观测条件下，对观测条件下，对某一未知量分别某一未知量分别用不同的次数用不同的次数n n11n n22n n3 3进行观测，进行观测，得相应的算术平得相应的算术平均值为均值为L L11L L22L L3 3,求求L L11L L22L L3 3的权。的权。按中误差确定权是求权的基本方法，但是对于一些测量工作，有简单的方法确定权。第80页/共122页结结 论论n n 同精度观测时，算术平均值的权与观测次数成正比。n n权与观测次数成
44、正比n n根据测回数确定权。用于测角、量距中。第81页/共122页n n例例9 9：用同样观测方法，经由长度为：用同样观测方法，经由长度为L L1 1、L L2 2,、L L3 3的三条的三条不同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为不同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为h h1 1、h h2 2、h h3 3。已知每公里的高差中误差为。已知每公里的高差中误差为mmkmkm,求三个高差的权。求三个高差的权。第82页/共122页结结 论论n n高差的权与距离成反比。高差的权与距离成反比。n n权的数值可以改变，但它们之间的比例关系不权的数值可以改变，但它们之间的比例关系不变。变。n n权值变
45、化后，单位权中误差的值也随之改变。权值变化后，单位权中误差的值也随之改变。n n可用于水准路线的确权方法。可用于水准路线的确权方法。第83页/共122页n n例例1010：第84页/共122页结结 论论n n 权与测站数成反比。权与测站数成反比。n n 对于量边总长度等多尺段之和，权与尺段数对于量边总长度等多尺段之和，权与尺段数成反比。成反比。n n 对于水准测量，权与测站数成反比，同一测对于水准测量，权与测站数成反比，同一测段，测站越多，权值越小。段，测站越多，权值越小。第85页/共122页三、加权平均值及其中三、加权平均值及其中误差误差n n1、不等精度观测量的最或然值n n设对某角进行了
46、两组观测：n n第一组测第一组测n n1 1个测回，其个测回，其平均值为平均值为L L1 1,n n第二组测第二组测n n2 2个测回，其个测回，其平均值为平均值为L L2 2。n n问题：如何求该角度的最或然值？第86页/共122页三、加权平均值及其中三、加权平均值及其中误差误差第87页/共122页2、加权平均值、加权平均值的中误差的中误差第88页/共122页第89页/共122页第90页/共122页第91页/共122页3、按最或然值求单位、按最或然值求单位权中误差权中误差n n这里先给出按最或然值这里先给出按最或然值求单位权中误差的公式求单位权中误差的公式n n最或然值中误差最或然值中误差第
47、92页/共122页4、不等精度观测实例、不等精度观测实例n n例题：从已知水准例题：从已知水准点点A A、B B、C C经三条水经三条水准路线，测得准路线，测得E E点的点的观测高程观测高程HHi i及水准路及水准路线长度线长度S Si i。求。求E E点的最点的最或然高程及其中误差。或然高程及其中误差。第93页/共122页所需计算公式所需计算公式第94页/共122页测段测段高程观测值高程观测值 /m水准路线长度水准路线长度AEBECE42.34742.32042.3324.02.02.50.250.500.4017.0-10.02.04.2-5.00.871.450.01.6第95页/共12
48、2页E点高程的最或是值为点高程的最或是值为单位权观测值中误差为单位权观测值中误差为最或是值中误差为最或是值中误差为第96页/共122页水准观测精度评定结果水准观测精度评定结果最后结果可写成 HE=527.4690.009（m）第97页/共122页误差理论的综合应用误差理论的综合应用误差理论的综合应用误差理论的综合应用第98页/共122页水准路线上高程的计算水准路线上高程的计算第99页/共122页水准路线上高程的计算水准路线上高程的计算（续）（续）第100页/共122页4、水准路线上高程的、水准路线上高程的计算计算第101页/共122页水准路线上高程的计算水准路线上高程的计算（续）（续）第102
49、页/共122页76 最小二乘与条件平差原理最小二乘与条件平差原理 n n一、测量平差概述一、测量平差概述 第103页/共122页第104页/共122页第105页/共122页第106页/共122页第107页/共122页第108页/共122页二、最小二乘原理二、最小二乘原理第109页/共122页第110页/共122页第111页/共122页三、条件平差原理三、条件平差原理 n n 条件平差是以条件方程为出发点，根据准则，求未知量的最条件平差是以条件方程为出发点，根据准则，求未知量的最佳估值的计算方法。从数学上讲，这是一个求条件极值的问题。佳估值的计算方法。从数学上讲，这是一个求条件极值的问题。第112页/共122页第113页/共122页第114页/共122页求解过程：求解过程：第115页/共122页第116页/共122页四、按条件平差求平差值的计算步骤及示例四、按条件平差求平差值的计算步骤及示例四、按条件平差求平差值的计算步骤及示例四、按条件平差求平差值的计算步骤及示例 第117页/共122页第118页/共122页第119页/共122页第120页/共122页n n作业：第7章n n2、4、7、8、9、10第121页/共122页