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1、为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益高等传热学高等传热学非稳态热传导非稳态热传导(三三)为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益格林函数法在非稳态导热中的应用格林函数法在非稳态导热中的应用n影响物体中的温度变化的
2、因素 内热源 边界的热作用 初始温度分布广义热源广义热源从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为用的时间足够短，则可以抽象为“瞬时瞬时”作用的热源。作用的热源。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益格林函数法在非稳态导热中的应用格林函数法在非稳态导热中的应用从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作从时间的概念上说，热源
3、可以是连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为用的时间足够短，则可以抽象为“瞬时瞬时”作用的热源。作用的热源。热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为空间尺度足够小，也可以抽象为“点热源点热源”、“线热线热源源”和和“面热源面热源”。“瞬时点热源瞬时点热源”：瞬时作用于某个点的热源：瞬时作用于某个点的热源各种热源都可以看作是许多各种热源都可以看作是许多瞬时点热源的集合瞬时点热源的集合，即把，即把空间中连续分布的热源看成是在空间中依次排列着的空间中连续分布的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源许多点热源；把时间
4、上持续的热源看成是许多前后相继的瞬时热源。把时间上持续的热源看成是许多前后相继的瞬时热源。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益格林函数法在非稳态导热中的应用格林函数法在非稳态导热中的应用n非稳态导热非稳态导热问题求解思路：问题求解思路：各种复杂的热各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场的源引起的温度场的叠加得到叠加得到，数学上即成，数学上即成
5、为某种积分，这就是为某种积分，这就是热源法热源法，或称，或称格林函格林函数法数法。在特定几何条件的导热系统中，在在特定几何条件的导热系统中，在齐次边界条件齐次边界条件和和零零初始条件初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格林（为热源函数，或称格林（Green）函数）函数采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程具有非齐次边界条件的导热微分方程为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法
6、权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益格林函数法在非格林函数法在非稳态导热稳态导热中的中的应应用用n“瞬瞬时时”和和“点点”源的概念在数学上都可以用狄拉克源的概念在数学上都可以用狄拉克（Dirac）分布函数分布函数，简简称称函数函数，单单位脉冲函数位脉冲函数来表示。各函数的定来表示。各函数的定义为义为:函数具有以下性函数具有以下性质质：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事
7、业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益格林函数法在非稳态导热中的应用格林函数法在非稳态导热中的应用n空间变量的三维空间变量的三维函数函数 在直角坐标系中在直角坐标系中等同于三个坐标变量的等同于三个坐标变量的函数的乘积，即函数的乘积，即时刻作用在空间某一点时刻作用在空间某一点强度在数量上等于强度在数量上等于cJ的的瞬时点热源可写作瞬时点热源可写作=为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益格林函
8、数法在非格林函数法在非稳态导热稳态导热中的中的应应用用 其中自其中自变变量的第一部分表示量的第一部分表示该该温度分布是空温度分布是空间间坐坐标标r 和和时时间间的函数，第二部分的函数，第二部分 表示瞬表示瞬时时点点热热源的位置和源的位置和释释放的放的时时间间。格林函数所格林函数所对应对应的瞬的瞬时时点点热热源的源的强强度度规规定定为为 cJ/(m3)1 m3 1=cJ,也就是使也就是使单单位体位体积积的介的介质质温度升高温度升高1 所需的所需的热热量。量。在特定几何条件的在特定几何条件的导热导热系系统统中，在中，在齐齐次次边边界条件界条件和和零零初始条件初始条件下下单单位位强强度的瞬度的瞬时时
9、点点热热源所源所产产生的温度生的温度场场称称为热为热源函数，或称格林（源函数，或称格林（Green）函数）函数:为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益格林函数法在非格林函数法在非稳态导热稳态导热中的中的应应用用初始温度分布初始温度分布F(r)在微元体在微元体积积dV 中所中所对应对应的的热热量等于量等于cF(r)dV，因此它就等价于一个在，因此它就等价于一个在0时时刻的瞬刻的瞬时时分分布布热热源源qv(
10、r，)cF(r)（0）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益大平壁中的非大平壁中的非稳态导热稳态导热设设一一维维平壁有初始温度分布平壁有初始温度分布F（x）对对和内和内热热源源qv(x，)cg(x,)，平壁的一个，平壁的一个边边界界维维持持绝热绝热，另一个，另一个边边界受界受到到热热流流f()的作用。的作用。该问题该问题的数学描述的数学描述为为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制
11、的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热首先首先考察考察该导热系统的辅助问题该导热系统的辅助问题：瞬时点热源引起的：瞬时点热源引起的温度分布，即温度分布，即格林函数格林函数G，它满足以下，它满足以下条件条件：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职
12、工的合法权益大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热 时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应仍维时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应仍维持为持为0，而，而 时刻的瞬时热源的作用等同于时刻的瞬时热源的作用等同于 时刻的初时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为始温度分布，则以上问题可转化为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热用分离变量法得到的满足以上方程和边界
13、条件的解的用分离变量法得到的满足以上方程和边界条件的解的一般形式为一般形式为系数系数 可以由可以由 时的时的“初始初始”条件确定，即条件确定，即把把 展开成傅里叶余弦级数并比较两边的系数，展开成傅里叶余弦级数并比较两边的系数，得到得到，m=l，2，为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热即格林函数为即格林函数为将所有的瞬时点热源产生的温度分布（格林函数）叠将所有的瞬
14、时点热源产生的温度分布（格林函数）叠加，就能获得原导热问题的解。加，就能获得原导热问题的解。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热在在时刻内热源引起的温度分布时刻内热源引起的温度分布tl 应为在此前所有的瞬应为在此前所有的瞬时点热源时点热源,的作用的叠加的作用的叠加内热源内热源：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度
15、，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热初始温度分布初始温度分布F(x)的影响可以看作是在的影响可以看作是在 时刻时刻，在各微元体积在各微元体积 有瞬时热源有瞬时热源 的作用。因此，由初始温度分布引起的温度分布的作用。因此，由初始温度分布引起的温度分布 t2，初始温度分布初始温度分布：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场
16、经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态导热边界热流边界热流f()的影响可以看作是在时间序列上一系列的的影响可以看作是在时间序列上一系列的瞬时热源瞬时热源 的作用。因此由边界热的作用。因此由边界热流作用而引起的温度分布流作用而引起的温度分布t3 应为应为边界热流边界热流：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益大平壁中的非稳态导热大平壁中的非稳态
17、导热总的热源总的热源=内热源内热源+初始温度分布初始温度分布+边界热流边界热流：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热根据其定义，一维无限大介质中的格林函数应满足以根据其定义，一维无限大介质中的格林函数应满足以下定解问题：下定解问题：或等价于以下齐次的问题：或等价于以下齐次的问题：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人
18、员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热用分离变量法可以求得一维无限大介质中的格林函数，用分离变量法可以求得一维无限大介质中的格林函数，即瞬时平面热源在初始温度分布为零的无限大介质中即瞬时平面热源在初始温度分布为零的无限大介质中引起的温度分布是引起的温度分布是容易证明以上函数满足齐容易证明以上函数满足齐次导热方程和边界条件。次导热方程和边界条件。这一温度分布函数示于这一温度分布函数示于右右图所示。图所示。无限大物体中的瞬时面热无限大
19、物体中的瞬时面热源及其产生的温度场源及其产生的温度场为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热注意到，任一时刻曲线以下的面积与体积热容量的乘注意到，任一时刻曲线以下的面积与体积热容量的乘积就是物体总内能的增加。由于系统与外界没有传热，积就是物体总内能的增加。由于系统与外界没有传热，这一总能量应不随时间变化，并等于脉冲加热的热量，这一总能量应不随时间变化，并等于
20、脉冲加热的热量，即即另一方面，给出的初始温度分布和狄拉克另一方面，给出的初始温度分布和狄拉克分布函数分布函数的性质可得初始时刻输入的热量为的性质可得初始时刻输入的热量为由此可知，给出的由此可知，给出的格林格林函数也满足初始条件，即瞬时函数也满足初始条件，即瞬时面热源加热的条件。面热源加热的条件。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热得到了格林函数后，就可以
21、直接写出带有热源和非均得到了格林函数后，就可以直接写出带有热源和非均匀初始温度的一维无限大介质中的导热问题的解。问匀初始温度的一维无限大介质中的导热问题的解。问题的数学描述为题的数学描述为其解为其解为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热作为一个作为一个特例特例，考察由随时间变化的平面热源引起的，考察由随时间变化的平面热源引起的温度场。物体的初始温度为零，
22、当时间温度场。物体的初始温度为零，当时间0时在时在x=0处处有一个强度为有一个强度为qs()的平面热源持续地释放热量。这样，的平面热源持续地释放热量。这样，相当于在相当于在上式上式中有中有其解为其解为对于对于qs 是常量的情况是常量的情况 ，可以作变量可以作变量置换置换 并分部积分，可得并分部积分，可得为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热考虑到该温度分布
23、的对称性，它就相当于边界有恒定考虑到该温度分布的对称性，它就相当于边界有恒定热流热流 的半无限大物体的温度分布，即等同于的半无限大物体的温度分布，即等同于式式为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热再考察一个的例子。用熔融的钢水注入两根长钢轨之再考察一个的例子。用熔融的钢水注入两根长钢轨之间预留的空隙使之焊接为一体。假设不考虑由于相变间预留的空隙使之焊接为一
24、体。假设不考虑由于相变引起的潜热和物性变化等复杂因素，且忽略钢轨表面引起的潜热和物性变化等复杂因素，且忽略钢轨表面的散热，则该问题可简化为无限大物体中的一维导热。的散热，则该问题可简化为无限大物体中的一维导热。取空隙的中心平面为坐标原点，初始温度分布可简化取空隙的中心平面为坐标原点，初始温度分布可简化为为温度分布温度分布如图所示，如图所示，两根长钢轨在熔焊时的温度分布两根长钢轨在熔焊时的温度分布为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度
25、，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热考虑到该温度分布的对称性，它就相当于边界有恒定考虑到该温度分布的对称性，它就相当于边界有恒定热流热流 的半无限大物体的温度分布，即等同于的半无限大物体的温度分布，即等同于式式为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益无限大物体中的非稳态导热无限大物体中的非稳态导热可直接写出该问题的温度分布。因为没有内热源，有可直接写出该问题的温度
26、分布。因为没有内热源，有作变量置换作变量置换 ，得到，得到为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一般空间域中的格林函数法一般空间域中的格林函数法以下进一步简要介绍用格林函数法求解一般的非稳态以下进一步简要介绍用格林函数法求解一般的非稳态导热问题的思路及其结论。对于一般的非稳态线性导导热问题的思路及其结论。对于一般的非稳态线性导热问题，其数学描述可写作热问题，其数学描述可写作为了规范事业单位聘用关系，建立
27、和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益一般空间域中的格林函数法一般空间域中的格林函数法为求解这一非齐次导热问题，先考虑一个辅助问题，为求解这一非齐次导热问题，先考虑一个辅助问题，求由瞬时点热源求由瞬时点热源 在相应的齐次边界条件在相应的齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布，即求格林函数和零初始条件下引起的温度分布，即求格林函数G。相应的数学描述为相应的数学描述为如果得到了以上问题的解，即该特定导热系统的格如果得到了以上问题的解，即该特定导热系统的格林函数林函数G，则原问题的解可写作，则原问题的解可写作