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1、大学高数第一章大学高数第一章 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1、理解一元函数、复合函数的定义；、理解一元函数、复合函数的定义；2、了了解解函函数数的的表表示示和和函函数数的的简简单单性性态态有有界界性性、单单调调性性、奇偶性、周期性；奇偶性、周期性；3、熟熟悉悉基基本本初初等等函函数数与与初初等等函函数数（包包含含其其定定义义区区间间、简简单单性态和图形）；性态和图形）；4、理解数列极限的概念；、理解数列极限的概念；5、了解数列极限的存在准则、了解数列极限的存在准则单调有界准则、夹逼准则；单调有界准则、夹逼准则；6、理解函数的极限的定义、理解函数的极限的定义;7 7、熟练掌握极限的四则运
2、算法则（包括数列极限与函数极、熟练掌握极限的四则运算法则（包括数列极限与函数极限）限）基基本本要要求求24.4.绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:9函数概念函数概念例例 圆内接正多边形的周长圆内接正多边形的周长圆内接正圆内接正n边形边形Or)10 邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量邮件的重量W W确定邮件的费用确定邮件的费用C C。自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻可以找出在一天中的某个时刻t t的温
3、度值的温度值T T。tTo 真空中初速为零的自由落体，下落路程真空中初速为零的自由落体，下落路程S S与时间与时间t t的关系为：的关系为：，设这一运动花费，设这一运动花费T T秒钟，则秒钟，则t t 0,T0,T。11因变量因变量自变量自变量数集数集X叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域12函数的表示法有函数的表示法有:公式法、图像法和表格法公式法、图像法和表格法,这三这三种表述各有特点并可以相互转化种表述各有特点并可以相互转化 例例1 在出生后在出生后 16个月期间内个月期间内,正常婴儿的体重近似正常婴儿的体重近似满足以下关系满足以下关系:公式法公式法注意注意 在实际问题中在实际问题中
4、,定义域是由实际问题决定的定义域是由实际问题决定的.37 例例2 监护仪自动记录了某患者一段时间内体温监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的的变化曲线变化曲线,如下图示如下图示:例例3 某地区统计了某年某地区统计了某年112月中当地流行性出血热月中当地流行性出血热的发病率的发病率,见下表见下表 (月份)()12345678910111216.68.3 7.1 6.5 7.0 10.0 2.5 3.5 5.7 10.0 17.1 7.0ty例例1 1 求求 y y=arcsin =arcsin 的定义域和值域。的定义域和值域。解：解：函数的定义域为函数的定义域为:得定义域为得定义域为 x 0
5、0 且且解：解：例例2 2 求求的定义域的定义域 .15自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.定义域和对应法则完全相同的两个函数为相同定义域和对应法则完全相同的两个函数为相同函数函数.16例例3 3 判断下列几对函数是否相等判断下列几对函数是否相等.(1)f(x)=2lnx,(x)=lnx(1)f(x)=2lnx,(x)=lnx2 2 ;(2)f(x)=x,(x)=|x|;(2)f(x)=x,(x)=|x|;(3)f(x)=sin(3)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x,(x)=1.x,(x)=1.解：解：f(x)
6、f(x)的定义域为的定义域为，(x)(x)的定义域为的定义域为所以它们不相等。所以它们不相等。解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律不同的对应规律不同 ，所以是不同的函数。，所以是不同的函数。解：解：f(x)f(x)与与(x)(x)的对应规律相同的对应规律相同 ，定义域也相同，定义域也相同，所以所以 f(x)=(x)f(x)=(x)。171函数的单调性函数的单调性:xyo例：例：y=x,y=ey=x,y=ex x 在（在（-,+)-,+)内单调增加。内单调增加。xyo二、函数的特性二、函数的特性182函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数yxox-x19奇函数奇函数yxox-x20
7、例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性.解：解：f(x)f(x)是奇函数是奇函数.例例2 2 设设f(x)f(x)在在R R上定义，证明上定义，证明f(x)f(x)可分解为一个奇函数与可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。一个偶函数的和。证明：设证明：设显然显然 g g(x x)是偶函数，是偶函数，h h(x x)是奇函数是奇函数,而而故命题的证故命题的证.3函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的（通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）.在在(无穷无穷)多个正周期中多个正周期中若若存在一个最小数，此最小数称为存在一个最小数，此最小数称为最小正周期最小正周期。22
8、一个周期函数有无穷多个周期，一个周期函数有无穷多个周期，如如y=sinx，2,4均为周期。均为周期。一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期都存在最小正周期.如如:f(x)=c例例 设设 c c 0,x0,x(-(-,+,+),f(x+c)=-f(x),),f(x+c)=-f(x),证明证明f(x)f(x)为周期函数。为周期函数。证明证明:f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x+2c)=f(x+c)+c)=-f(x+c)=f(x)f(x)f(x)为周期为为周期为2 2c c的函数的函数.事实上事
9、实上,对任何对任何y y(-(-,+,+)都有都有f(x+y)=f(x).f(x+y)=f(x).注意注意23oyM-Mxy=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD4函数的有界性函数的有界性:24注注：1.有界函数一定有上、下界，反之，有界函数一定有上、下界，反之，同时同时有上、有上、下界的函数才是有界的！下界的函数才是有界的！2.有界不是绝对的，是相对于所给定的有界不是绝对的，是相对于所给定的D而言的。而言的。3.有界函数的界不唯一。有界函数的界不唯一。例例 y=siny=sin2 2x,y=cosxx,y=cosx在（在（-,+)-,+)上均为有界函上均为有界函数数,y=x,y=x,y=
10、x,y=x2 2在在(-,+)(-,+)上无界上无界.25基本初等函数基本初等函数1.幂函数幂函数二二 初等函数初等函数262.指数函数指数函数273.对数函数对数函数284.三角函数三角函数正弦函数正弦函数29余弦函数余弦函数30正切函数正切函数31余切函数余切函数32正割函数正割函数33余割函数余割函数345.反三角函数反三角函数355.反三角函数反三角函数363738常数函数，常数函数，幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数统称为三角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.39复合函数复合函数定义定义:设函数设函数y=f(u),u U，函数，函数u
11、=(x),x X,其值其值域域为为(X)=u|u=(x),x X U，则称函数，则称函数y=f(x)为为x的的复合函数复合函数。代入法代入法40例例 设设试求试求解解注注:不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;复合函数可以由两个以上的函数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成成.42例例 将下列复合函数将下列复合函数“分解分解”为简单函数为简单函数解解2.初等函数初等函数定义定义:由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合由六类基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。运算所构成
12、并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。例：例：不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数不是初等函数不是初等函数为初等函数为初等函数44在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同对应法则用不同的的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.3.分段函数分段函数454.反函数反函数DWDW习惯上习惯上,反函数反函数x=(y)写成写成y=(x)=f 1(x).定义定义1设有函数设有函数y=f(x)(x X)，其值域，其值域Y=f(X).若对于若对于Y中每一个中每一个y值值,都可由方程都可由方程f(x)=y确定唯一的确定唯一的x值值:x=(y),称称为为y=
13、f(x)的的反函数反函数,记作记作x=f-1(y),读读“f逆逆”。46直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线对称对称.47例例1 1例例2 2证明若函数证明若函数 y=y=f f(x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x=x=f f 1 1(y),(y),则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明：证明：的反函数是的反函数是 反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例3 3解解:当当x x 0 0时时,y,y 1,1,当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y0).解：解：1）m=n,原式原式2）mn,原式原式3）mn，原式，原式=.82例例解解(无穷小因子分出法
14、无穷小因子分出法)8384练习练习85(1)四、两个重要极限四、两个重要极限8687先利用单调有界数列必有极限证明先利用单调有界数列必有极限证明(2)88又因为又因为89复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则定理定理设函数设函数y=f(u)及及u=(x)构成构成复合函数复合函数y=f (x),在在x0某个去心邻域某个去心邻域,若若且且(x)l,则复合函数则复合函数y=f (x)在在xx0时时的极限为的极限为说明说明:又称变量代换法又称变量代换法90例例6 6解解913)设设u=arcsinxx0时时u0,92例例7 7解解例例8 8解解例例9 9求求解：解：原式原式93其他几个重要极限其他几
15、个重要极限:94常用等价无穷小常用等价无穷小95定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)证证等价无穷小代换等价无穷小代换求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.96例例1 1解解不能滥用等价无穷小代换，只可对函数的因子作不能滥用等价无穷小代换，只可对函数的因子作等价无穷小代换。等价无穷小代换。对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意97例例2 2解解解解错错98例例3 3解解例例4 499例例5已知当已知当x0时，时，是等价无穷小，求是等价无穷小，求a.100思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗
16、？101思考题解答思考题解答不能不能例当例当时时都是无穷小量都是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当时时102一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质第三节函数的连续性第三节函数的连续性连续变化的曲线对应的函数为连续函数连续变化的曲线对应的函数为连续函数如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在如同体温的升降、血液的流动、机体的成长等，在生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函生命科学范畴里，很多变量的变化都是连续不断的函数的连续性正是客观世界中事物连续变化现象的反映数的连续性正
17、是客观世界中事物连续变化现象的反映0 xy1.概念概念一、函数的连续性一、函数的连续性曲线不断曲线不断曲线断开曲线断开函数函数f(x)随随x的改变而的改变而逐渐改变逐渐改变有突变现象有突变现象1052.连续的定义连续的定义106注：注：1)函数函数f(x)在在x0连续的连续的等价等价写法写法(满足定义满足定义1的条件的条件):2)若若y=f(x)在在x0处不连续，则称处不连续，则称y=f(x)在在x0处间断。处间断。3)极限与连续的关系极限与连续的关系:极限极限连续连续连续函数必有极限连续函数必有极限,有极限不一定是连续函数有极限不一定是连续函数.例如例如107例例1 1证证1083.单侧连续
18、单侧连续定理定理109例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续,110解解例例3设设在点在点处连续处连续,问、应满足什么关系问、应满足什么关系?1114.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,基本初等函数在其定义域上连续基本初等函数在其定义域上连续,初等函数在其初等函数在其定义区间上连续定义区间上连续.112二、四则运算的连续性二、四则运算的连续性定理
19、定理1 1例如例如,113极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;意义意义定理定理2 2例如例如,三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性114初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注注:定理定理3 3 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.115四、函数的间断点四、函数的间断点116可去间断点可去间断点
20、例例5 5解解117跳跃间断点跳跃间断点例例6 6解解118如例如例5中中,注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点特点119第二类间断点第二类间断点例例7 7解解120例例8 8解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.121例例9研究下列函数在研究下列函数在x=0的连续性，若是间断的，的连续性，若是间断的，指出间断点类型。指出间断点类型。（a为任意实数）为任意实数）解
21、：解：1)122x=0为跳跃间断点。为跳跃间断点。不存在，不存在，x=0为第二类间断点。为第二类间断点。4）当当a=0时时f4(x)在在x=0处连续。处连续。a0时时x=0为为f(x)的可去间断点。的可去间断点。2)3）123小结小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)124可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振
22、荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx125利用定理利用定理2 2及极限的运算法则及极限的运算法则,便有便有例例10解解 因为因为126定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质127推推论论(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.证证128
23、定义定义:129几何解释几何解释:1.MCmab130例例1 1证证由零点定理由零点定理,131例例2 2证证由零点定理由零点定理,132133小结小结三个定理三个定理最值定理最值定理;零点定理零点定理;介值定理介值定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足这两点不满足,上述定理不一定成立上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法:先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;134思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？135思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数136结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！137