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1、第13章虚位移原理1第1页，本讲稿共29页例例A：考虑并回答解题步骤如图，系统平衡。已知Q、l、，求P。1.整体：解解：2.E点（或BE、AE及重物）3.BC和滑块C分析分析：1.欲求P，可通过图(c)求，但NC、SBE未知；2.NC可通过整体求，图(a)；3.SBE可通过AEB求，图(b)。结论结论：取3个分离体，列4个方程 较繁，尚可忍受！2第2页，本讲稿共29页例例B：考虑并回答解题步骤如图，系统平衡。已知Q、l、，求P。？！分离体太多！分离体太多！中间未知量太多！中间未知量太多！方程太多！方程太多！太繁！不能忍受太繁！不能忍受！分析问题特点，引入新的求解思想：分析问题特点，引入新的求解
2、思想：结构特点结构特点：几何可变体系。怎么办？怎么办？待求量特点待求量特点：较少，且具有主动力的性质。拓展思路拓展思路：可否直接建立P和Q 的关系？可否避开求中间反力？可否从动力学方程考虑？动量定理 或质心运动定理或动量矩定理还是静力学方程，无意义达朗伯原理？仍然会得到纯静力学方程，也无效！3第3页，本讲稿共29页动能定理假设系统有一小的位移只包含P和Q，不含约束力，故建立P和Q的简单关系。虚功方程虚功方程，即虚位移原理虚位移原理虚位移虚位移严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。用动力学思想解决静力学问题4第4页，本讲稿共29页第十三章 虚位移原理13-1 约束约束 约束的运动学分类约束的运动
3、学分类静力学中讲的约束静力学中讲的约束约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体；此处讲的约束此处讲的约束约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指运动限制条件。一、约束和约束方程一、约束和约束方程自由质点系自由质点系：运动不受任何限制。非自由质点系非自由质点系：运动受到限制。限制条件用数学方程表示即约束方程约束方程。约束约束5第5页，本讲稿共29页二、约束的运动学分类二、约束的运动学分类从三方面理解：概念、实例和约束方程。常有以下4种（独立）分类方法：1.几何约束和运动约束单摆：杆为刚性质点：小球约束：铰链和杆约束方程：圆轮纯滚动：质点系：圆轮约束：地面，无滑动约
4、束方程：几何约束几何约束只限制质点或质点系在空间的位置，约束方程为位置坐标的代数方程（不含位置坐标的导数）；运动约束运动约束除位移方面的限制外，还有速度或角速度方面的限制，约束方程为位置坐标的微分方程（或速度、角速度及位置坐标的代数方程，显含位置坐标的导数）。6第6页，本讲稿共29页2.定常约束和非定常约束3.完整约束和非完整约束定常约束定常约束约束方程中不显含时间t；（如前二例）非定常约束非定常约束约束方程中显含时间t。变摆长单摆：完整约束完整约束约束方程中不包含坐标对时间的导数，或虽包含，但可积（转换为有限形式）；（如前）非完整约束非完整约束约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可积。二质点
5、追踪问题：质点：小球约束：铰链和绳约束方程：质点A、B在平面内运动，且A的速度始终指向B。质点系：A、B约束：A速度指向B约束方程：7第7页，本讲稿共29页4.双面约束（固执约束）和单面约束（非固执约束）双面约束（固执约束）双面约束（固执约束）不仅能限制质点沿某一方向的运动，还能限制相反方向的运动，约束方程为等式方程；（如前单摆）单面约束（非固执约束）单面约束（非固执约束）只能限制质点沿某一方向的运动，约束方程为不等式方程。单摆：用绳连约束方程：我们遇到的一般是完整、定常、几何、双面约束（或具有双面约束性质的单面约束），其约束方程可用含各质点直角坐标的代数方程表示。此处只讨论上述情形。13-2
6、 自由度自由度 广义坐标广义坐标一、自由度一、自由度具有完整约束的质点系，确定其位置的独立坐标数，称为自由度自由度或自由自由度数度数。8第8页，本讲稿共29页曲柄连杆机构：自由质点系：A、B；自由度 22 4约束方程：自由度的计算：自由度的计算：质点系自由度 自由质点系自由度 约束（方程）数1.以质点作为基本单元约束数 3质点系自由度 4 3 12.以刚体作为基本单元质点系自由度 自由刚体系自由度 约束（方程）数自由刚体系：OA、AB；自由度 32 6约束数 5约束方程：质点系自由度 6 5 19第9页，本讲稿共29页二、广义坐标二、广义坐标上述方法很麻烦，特别是约束较多而自由度较少时，可采用
7、以下实用方法：上述方法很麻烦，特别是约束较多而自由度较少时，可采用以下实用方法：固定质点系中任意质点或刚体的任一方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为1，如图(1)；否则，再固定质点系中质点或刚体的另一方向的运动，若其他质点和刚体都不会运动，则自由度为2，如图(2)；依此类推。图(1)图(2)引入广义坐标的意义：引入广义坐标的意义：如前面例子，当系统自由度较少、约束较多时，用直角坐标和约束方程表示质点系的运动很麻烦，故引入广义坐标。如图(1)中，可选为广义坐标；图(2)中，可选 1、2为广义坐标。确定质系位置的独立参变量，称为广义坐标广义坐标。可为任意坐标，如直角坐标和非直角坐标。
8、完整约束下，广义坐标数自由度数目。10第10页，本讲稿共29页所有直角坐标均可用广义坐标表示：qj 为广义坐标或19-3 虚位移虚位移 虚功虚功一、虚位移一、虚位移定义定义：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移虚位移。虚位移的数学意义虚位移的数学意义广义坐标的变分虚位移有两种情形：虚位移有两种情形：质点的虚位移质点的虚位移线位移刚体的虚位移刚体的虚位移角位移理解虚位移有理解虚位移有4个要点个要点：为约束所容许，即不能破坏系统的约束；可能发生的，即假想的，与时间无关；所有的，可不止一种；无限小，不改变系统位置。11第11页，本讲稿共29
9、页图(b)例子：例子：图(c)虚虚 位位 移移 与与 实实 位位 移移 的的 比比 较较12第12页，本讲稿共29页二、虚位移的求法二、虚位移的求法实际是求虚位移的关系1.几何法（运动分析法）假想系统运动，找该位置下各速度（角速度）的关系，即各虚位移的关系。通常将各有关虚位移用广义坐标的虚位移表示。例例：曲柄连杆机构选为广义坐标。OA杆：AB瞬心在I：所以，2.解析法（变分法）第 i 点：虚位移：13第13页，本讲稿共29页通常选直角坐标系，直接写各点直角坐标的变分，且不在图中画出虚位移：例例：曲柄连杆机构选为广义坐标，考虑几何关系：注注：通常两种方法各有侧重，有些问题用几何法容易，有些问题有
10、解析法容易。一般容易作运动学分析的问题宜选用几何法。14第14页，本讲稿共29页三、虚功三、虚功力在虚位移上所做的功称为虚功虚功。指力 对轴或瞬心P之矩，特别对刚体此式常用例例 曲柄连杆机构，求各主动力之虚功。力：或力偶：力G：力偶M：力F：直接求C点虚位移不易，故不用下式求虚功：而用G对瞬心的力矩求：解解1：几何法15第15页，本讲稿共29页解解2：变分法建立图示坐标系。选为广义坐标。力偶M：力G：力F：16第16页，本讲稿共29页19-4 理想约束理想约束动能定理中曾提过，此处给出更严格的定义：动能定理中曾提过，此处给出更严格的定义：约束力在任何虚位移中所做的虚功为零，称此约束为理想约束。
11、即满足：约束力在任何虚位移中所做的虚功为零，称此约束为理想约束。即满足：我们已分析，大多数常见约束为理想约束。我们已分析，大多数常见约束为理想约束。19-5 虚位移原理虚位移原理事实上，我们早已知道：有了上述各种概念，可严格叙述为：又称虚功原理虚功原理具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，具有完整、双面、定常、理想约束的质点系，在给定位置保持平衡在给定位置保持平衡的充要条的充要条件是，件是，所有所有作用于质点系上的作用于质点系上的主动力主动力在在任何虚位移上任何虚位移上所做的所做的虚功之和为零虚功之和为零。约束力的虚功约束力的虚功约束的动力学性质约束的动力学性质17第17页，本讲稿共29页用
12、虚位移原理可求两类问题：用虚位移原理可求两类问题：一、求主动力或平衡条件（位置）一、求主动力或平衡条件（位置）对几何可变体系对几何可变体系解题步骤解题步骤：(一一)研究研究整体整体（不取分离体）（不取分离体），并选广义坐标；，并选广义坐标；(二二)（若用几何法若用几何法）画出系统一组虚位移，并用广义坐标虚位）画出系统一组虚位移，并用广义坐标虚位移移 表示所有对应主动力的虚位移；表示所有对应主动力的虚位移；(三三)列解方程列解方程。（若用解析法，不画虚位移若用解析法，不画虚位移）画出直角坐）画出直角坐标系，并求所有对应主动力坐标的变分；标系，并求所有对应主动力坐标的变分；18第18页，本讲稿共2
13、9页例例1：本章开头例子本章开头例子如图，系统平衡。已知如图，系统平衡。已知Q、l、，求求P。xy解，建立图示坐标系，则有解，建立图示坐标系，则有对应虚位移为：对应虚位移为：代入虚功方程可得代入虚功方程可得19第19页，本讲稿共29页例例2：(例1变形)已知Q、弹簧原长 l、k，AC=BC=CE=CD=DH=HE=l，求平衡时。（以方程给出）答案：注：弹簧处理方法：去之，代以弹簧力，为常主动力。解，建立图示坐标系，则有解，建立图示坐标系，则有平衡时弹力为平衡时弹力为由虚位移原理方程由虚位移原理方程20第20页，本讲稿共29页例例3：图示机构。已知OA=r，铅直杆OE=l，OB=BE，AB水平，
14、。求图示位置时力偶M与力Q的关系。答案：21第21页，本讲稿共29页问题问题：用虚功方程可解几个代数未知量？看例子平面自由刚体几个自由度？给刚体虚位移：对应平动对应转动矩心可任取变分方程对应独立代数方程数 广义坐标数22第22页，本讲稿共29页图示所示平面机构，不计各杆好滑块的质量，略去接触面摩擦，求在图图示所示平面机构，不计各杆好滑块的质量，略去接触面摩擦，求在图示位置平衡时，力矩示位置平衡时，力矩M和和F的关系。的关系。虚位移关系的建立需要虚位移关系的建立需要 运动合成运动合成23第23页，本讲稿共29页A去A处y方向约束A去A处x方向约束二、求约束力（或内力）二、求约束力（或内力）一般为
15、几何不变体系一般为几何不变体系处理方法处理方法：去掉约束，代之以约束力，转化为几何可变体系，同一。去掉约束，代之以约束力，转化为几何可变体系，同一。一般去掉一般去掉1个约束，转化为个约束，转化为1自由度的可变体系。自由度的可变体系。各种约束的解除方法：各种约束的解除方法：ABAAB去B铰链AB去A铰链x方向约束A去A处转动约束AB去A铰链y方向约束24第24页，本讲稿共29页例例4：将本章开头例子改动已知Q、l、，求C处水平反力。去掉C处水平约束，同例1。例例5：已知：M=5.0 kN m，P1=P2=4 kN，q=2 kN/m，=30，l=2 m。求固定端A的反力。25第25页，本讲稿共29
16、页去A处y方向约束去A处转动约束AQ1Q2去A处x方向约束Q1Q2作业作业：135，8，10Q1Q226第26页，本讲稿共29页13-4 动力学普遍方程动力学普遍方程拉格朗日是分析力学的创始人。达朗伯原理虚位移原理动力学普遍方程拉格朗日方程分析力学的基础动力学普遍方程的思想是：对n个质点的质点系：动力学问题形式上的平衡问题动力学普遍方程达朗伯原理虚位移原理理想约束：27第27页，本讲稿共29页(2)或(3)或注注：上式中不一定指质点，而一般可理解为力或力偶个数；当质点系静止时（静平衡），退化为虚功方程：即，对动力学问题，给系统加上惯性力，再应用虚位移原理即可解题。(1)例例 138 瓦特调速器28第28页，本讲稿共29页29第29页，本讲稿共29页