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1、自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心内容与要点内容与要点内容内容要点要点1Lyapunov稳定性概念稳定性概念平衡点平衡点,稳定性稳定性,渐近稳定性渐近稳定性,全局渐近稳定性全局渐近稳定性2Lyapunov稳定性判据稳定性判据稳定性判据稳定性判据,渐近稳定性判渐近稳定性判据据,全局渐近稳定性判据全局渐近稳定性判据3连续时间线性系统的连续时间线性系统的稳定性判据稳定性判据间接法判据，直接法判据间接法判据，直接法判据4离散时间线性系统的离散时间线性系统的稳定性判据稳定性判据间接法判据，直接法判据间接法判据，直接法判据自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心一、一、Lya
2、punov稳定性概念稳定性概念t1、平衡状态（平衡点）、平衡状态（平衡点）在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称在没有外界干扰的情况下，系统保持静止不动的状态称为平衡状态。为平衡状态。系统系统 的平衡状态的计算的平衡状态的计算线性系统线性系统 的平衡状态：的平衡状态：自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心一、一、Lyapunov稳定性概念稳定性概念例:单摆两个平衡点自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心一、一、Lyapunov稳定性概念稳定性概念自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心一、一、Lyapunov 稳定性概念稳定性概念t2、Lyap
3、unov 稳定性定义稳定性定义自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心一、一、Lyapunov 稳定性概念稳定性概念 自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心一、一、Lyapunov 稳定性概念稳定性概念t3、Lyapunov 渐近渐近稳定性定义稳定性定义 平衡点称为渐近稳定的，如果满足：平衡点称为渐近稳定的，如果满足：1）Lyapunov 稳定性；稳定性；2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态：）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态：自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心一、一、Lyapunov 稳定性概念稳定性概念t4、Lyapunov大范围（全局）
4、大范围（全局）渐近渐近稳定性定义稳定性定义平衡点称为渐近稳定的，如果满足：平衡点称为渐近稳定的，如果满足：1）Lyapunov 稳定性；稳定性；2）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态；）当时间趋于无穷时状态轨迹趋于平衡状态；3）条件）条件2）对于任意初始状态成立。）对于任意初始状态成立。自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心一、一、Lyapunov 稳定性概念稳定性概念t5、Lyapunov 不不稳定稳定 自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判据稳定性判据t1、Lyapunov 稳定性判别的基本稳定性判别的基本方法方法间接法（第一
5、方法）间接法（第一方法）通过求出系统的解来判断通过求出系统的解来判断直接法（第二方法直接法（第二方法,Lyapunov函数方法）函数方法）通过构造一种广义能量函数（称为通过构造一种广义能量函数（称为Lyapunov 函数函数）并利）并利用系统向量场用系统向量场f(x)来判断。来判断。自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov Lyapunov 稳定性判别稳定性判别t2、Lyapunov函数（广义能量函数）函数（广义能量函数）Lyapunov函数的定义函数的定义自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别二次
6、型二次型Lyapunov函数对称矩阵对称矩阵自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别标量函数的定号性标量函数的定号性自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别二次型函数的定号的判断二次型函数的定号的判断Sylvester判据判据自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别特征值判据特征值判据自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控
7、制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别t3、Lyapunov 稳定性判别定理稳定性判别定理自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别例例:研究单摆在研究单摆在(0,0)点的稳定性点的稳定性自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别t4、Lyapunov渐近渐近稳定性判别定理稳定性判别定理自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性
8、判别稳定性判别推论推论自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别t5、Lyapunov 不不稳定性判别定理稳定性判别定理自主技术与智能控制研究中心自主技
9、术与智能控制研究中心二、二、Lyapunov 稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心稳定性小结与作业稳定性小结与作业t概念概念平衡点平衡点Lyapunov稳定稳定Lyapunov渐近稳定渐近稳定Lyapunov全局渐近稳全局渐近稳定定Lyapunov不稳定不稳定Lyapunov函数函数Lyapunov函数的正函数的正（负）定（负）定二次型二次型tLyapunov稳定性定理稳定性定理Lyapunov稳定性稳定性Lyapunov渐近稳定性渐近稳定性Lyapunov全局渐近稳定性全局渐近稳定性Lyapunov不稳定性不稳定性t作业作业P182-1821(1)补充补充
10、自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心小结与作业小结与作业自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心三、连续时间线性系统三、连续时间线性系统稳定性判别稳定性判别t1、线性时不变系统稳定判据的间接法、线性时不变系统稳定判据的间接法自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心三、连续时间线性系统三、连续时间线性系统稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心三、连续时间线性系统三、连续时间线性系统稳定性判别稳定性判别t2、线性时不变系统稳定判据的直接法、线性时不变系统稳定判据的直接法自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心三、
11、连续时间线性系统三、连续时间线性系统稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心三、连续时间线性系统三、连续时间线性系统稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心三、连续时间线性系统三、连续时间线性系统稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心三、连续时间线性系统三、连续时间线性系统稳定性判别稳定性判别t3、应用、应用MATLAB求解李雅普诺夫方程求解李雅普诺夫方程 P=lyap(A,Q)解方程解方程 AP+PA=-Q A=0 1;-1-1;A=A;将将A转置转置 Q=1 0;0 1;P=lyap(A,Q)
12、P=1.5000 0.5000 0.5000 1.0000注意：注意：应先将应先将A A矩阵转置后再代入矩阵转置后再代入lyaplyap()()函数。函数。自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心四、离散时间线性系统四、离散时间线性系统稳定性判别稳定性判别t1、离散时间线性系统稳定判据的间接法、离散时间线性系统稳定判据的间接法自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心四、离散时间线性系统四、离散时间线性系统稳定性判别稳定性判别t2、离散时间线性系统稳定判据的直接法、离散时间线性系统稳定判据的直接法自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心四、离散时间线性系统四、
13、离散时间线性系统稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心四、离散时间线性系统四、离散时间线性系统稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心四、离散时间线性系统四、离散时间线性系统稳定性判别稳定性判别自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心本章小结本章小结t稳定性概念稳定性概念李亚普诺夫稳定李亚普诺夫稳定李亚普诺夫渐进稳定李亚普诺夫渐进稳定李亚普诺夫大范围李亚普诺夫大范围(全局全局)渐进稳定渐进稳定李亚普诺夫不稳定李亚普诺夫不稳定自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心本章小结本章小结t稳定性判断稳定性判断李亚
14、普诺夫稳定性第一法李亚普诺夫稳定性第一法李亚普诺夫稳定性第二法李亚普诺夫稳定性第二法线性（定常、离散）系统李亚普诺夫稳线性（定常、离散）系统李亚普诺夫稳定性定性t作业作业P182:3(1),(3),5自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心附附 录录:Lyapunovt Aleksandr Mikhailovich Lyapunov （18571918），俄罗斯数学家、力），俄罗斯数学家、力 学家和物理学家。学家和物理学家。t Lyapunov 在微分方程、位势理论、在微分方程、位势理论、系统稳定性理论以及概率论等领域系统稳定性理论以及概率论等领域 做出了重大贡献。编辑了欧拉做出了
15、重大贡献。编辑了欧拉 （Euler）文集第）文集第18、19卷。卷。tLyapunov 是俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院是俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。以及法国巴黎科学院的外籍院士。自主技术与智能控制研究中心自主技术与智能控制研究中心附附 录录:Lyapunovt1892年，莫斯科大学的博士学位论文：年，莫斯科大学的博士学位论文：“运动稳定性的一般问题运动稳定性的一般问题”（The General Problem of The Stability of Motion）tLyapunov稳定性理论对于现代控制理论的发展具有非稳定性理论对于现代控制理论的发展具有非常重要的意义，为此国际控制界于常重要的意义，为此国际控制界于1992年还举行了该年还举行了该论文发表论文发表100周年的纪念活动。周年的纪念活动。tLyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。组成部分。