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1、第一节、经济系统稳定性的概念第一节、经济系统稳定性的概念第二节、经济系统稳定性的判别第二节、经济系统稳定性的判别第三节、单品种商品市场价格的稳定性第三节、单品种商品市场价格的稳定性第四节、国民收入系统的稳定性第四节、国民收入系统的稳定性第四章 经济系统的稳定性分析第一节 经济系统的稳定性概念3稳定性 经济系统的稳定性是经济控制论研究经济系统的稳定性是经济控制论研究的重要问题之一。的重要问题之一。如果能够预先判断经济系统的稳定性，如果能够预先判断经济系统的稳定性，对不稳定或稳定性欠佳的系统采取预先对不稳定或稳定性欠佳的系统采取预先的控制措施，使经济系统的运行更为接近的控制措施，使经济系统的运行更
2、为接近理想的稳定状态。理想的稳定状态。实际的经济系统在运行中的稳定性关实际的经济系统在运行中的稳定性关系到系统能否实现预定的目标。系到系统能否实现预定的目标。4经济系统稳定性研究目的 了解经济系统的动态规律；了解经济系统的动态规律；预测发展方向；预测发展方向；分析经济系统结构；分析经济系统结构；政策模拟。政策模拟。5一、稳定性理论提出的典型问题 如果系统的初始状态偏离了系统的某如果系统的初始状态偏离了系统的某个平衡状态，个平衡状态，当时间当时间k不断增大时，系不断增大时，系统的状态统的状态x(k)相对于平衡状态相对于平衡状态xe的发展规的发展规律将会怎样的？律将会怎样的？系统渐近稳定：系统渐近
3、稳定：x(k)将趋向于平衡状态将趋向于平衡状态xe 系统稳定：系统稳定：x(k)有界有界 系统不稳定：系统不稳定：x(k)朝着偏离朝着偏离xe的的无限大方向发无限大方向发散散 通常有三种可能：通常有三种可能：6图4.1 7二、平衡态的定义 设有离散时间系统设有离散时间系统x(k+1)=fx(k)(1)式中：式中：x(k)Rnn，fx为已知的为已知的n n维向量函数。维向量函数。如果存在如果存在xe，xeRnn，满足向量方程满足向量方程xefxe(2)则称则称xe为系统为系统式式(1)的一个平衡状态的一个平衡状态(均衡状态均衡状态)。9三、线性定常离散系统的稳定性其中：其中：x(k)为为n维状态
4、向量，维状态向量，u(k)为为m维控制向量维控制向量，y(k)为为r维输出向量维输出向量，A、B、C、D为维数相应的常数矩阵。为维数相应的常数矩阵。设有线性离散经济系统设有线性离散经济系统(3)(4)10对系统(3)(4)做Z变换(5)(6)求得：求得：求求Z反变换：反变换：(7)(8)11分析：如如果果系系统统不不受受外外部部的的控控制制作作用用，即即u(k)0（齐齐次次方方程程），则则系系统统只只有有自自由由运运动动，当当k时，自由运动消失时，自由运动消失,x(k)xe=0，则称系统为渐近稳定。则称系统为渐近稳定。x(k)是是系系统统内内部部状状态态变变量量，其其变变化化分分为两部分为两部
5、分12稳定性定义：考考虑虑系系统统(3)-(4)，如如果果系系统统输输入入u(k)0，当当称系统为渐近稳定的。称系统为渐近稳定的。稳定性的属性稳定性的属性 14例1：设有如下系统设有如下系统判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。15解：做Z变换 求出：求出：16求Z反变换 可得可得xi(k)的具体形式：的具体形式：Xi(k)ai0.8645751kbi0.3354248ki=1、2ai、bi为与初值相关的系数项。为与初值相关的系数项。所以，系统是渐近稳定的。所以，系统是渐近稳定的。因为因为 17第二节 经济系统稳定性的判别19一、特征方程判别法 20检验例121二、二阶线性定常系统的稳定性22稳
6、定性判别 显然X=0是它的平衡态，如果平衡状态X=0是稳定的（或渐进稳定）则称该线性定常系统是稳定的（或渐进稳定的）。23定理2：系统关于平衡态系统关于平衡态xe渐近稳定的渐近稳定的充分必要条件为：充分必要条件为：第三节 单品种商品市场价格模型稳定性分析26一、模型原理 设：设：某市场中，某市场中，消费者对某商品的需求函数为消费者对某商品的需求函数为厂商对该商品的供给函数为厂商对该商品的供给函数为或或a，b，c，d为为0的常数。的常数。x(k)需求量，需求量，y(k)供给量供给量，p(k)价格价格。27图4.3 供需曲线反函数反函数28分析假设供给量滞后价格一个时间单位（如今假设供给量滞后价格
7、一个时间单位（如今年的农产品价格受去年价格的影响），市年的农产品价格受去年价格的影响），市场达到供需平衡时场达到供需平衡时或或即即作作Z变换变换整理整理2930Z反变换：从解的表达式中看出，当从解的表达式中看出，当时时，市市场场价格模型系价格模型系统统是是渐进稳渐进稳定的，市定的，市场场供求平衡供求平衡时时的价格的价格为为31当当 时，时，P(kP(k)在在P Pe e上下等幅震荡，上下等幅震荡，价格系统是稳定的。价格系统是稳定的。当当 时，时，价格系统是不稳定的。价格系统是不稳定的。32应用案例 从从本本例例的的蛛蛛网网图图可可以以详详细细分分析析价价格格的的自自由由调调节节过过程程，即即经
8、经济济系系统统的的运运动动过过程程，进进一一步步理理解解经经济济系系统统是是如如何何渐渐近稳定的。近稳定的。33西瓜的市场价格问题34353637西瓜价格波动的图解分析：p(k)0.5380.4250.400.300.06p(2)1.92.9ABCDS供D需0.4250.400.300.340123x(k)y(k)p(k)收收敛敛型型蛛蛛网网(稳定稳定)A发散发散(不稳定不稳定)等幅振荡等幅振荡(临界临界)38总结：当满足模型条件时，市场价格系统是一个自稳定系统第四节 宏观经济模型的稳定性分析40该模型讨论宏观经济系统中国民收入、消费、储蓄、公共消费（政府支出）、国际贸易等变量之间的关系，及经
9、济增长规律（如经济波动周期等）。模型介绍：41几个基本的经济概念：一个企业（部门）的生产过程中要一个企业（部门）的生产过程中要投入的三种基本要素投入的三种基本要素产出的产品产值中间消耗投入产出的产品产值中间消耗投入该企业（部门）的增加值。该企业（部门）的增加值。GNP可用于可用于消费和固定消费和固定资产投资。资产投资。42宏观经济系统的运行要素市场要素市场产品市场产品市场金融市场金融市场C-消费AD-企业支付Y-国民收入S-储蓄I-投资T-税收G-政府支出M-进口X-出口IM-家庭进口AM-企业进口CCADYISGT1T2XIMAM43一、二部门经济系统（家庭、厂商）44Y(k)=C(k)+I
10、(k)C(k)=C0+bY(k-1)45方框图：C046 讨论国民收入系统的稳定性Y(k)bY(k-1)+C0+I(k)国民收入国民收入Y(k)是一阶线性非齐次系统。是一阶线性非齐次系统。0b11b0平衡状态为平衡状态为47已已知知b的的经经济济意意义义已已定定义义为为0b1，国国民民经经济济系系统统模模型型是是渐渐进进稳稳定定的的，即即国国民民收收入入Y(k)最终会趋于国民收入的均衡值。最终会趋于国民收入的均衡值。48Y(k)bY(k-1)+C0+I(k)设设I(k)=I0+hY(k-1)，即投资以滞后一期的方式线性的依即投资以滞后一期的方式线性的依赖国民收入，其中赖国民收入，其中I为固定投
11、资，为固定投资，I00，为已知常数；为已知常数；h为边际投资倾向，为边际投资倾向，0h1，为已知常数。为已知常数。将将I(k)代入系统表达式，代入系统表达式，得：得：Y(k)=(b+h)Y(k-1)+(C0+I0)49方框图：Y(k)=(b+h)Y(k-1)+(C0+I0)C0+I050讨论：Y(k)=(b+h)Y(k-1)+(C0+I0)当当0(b+h)1时时，(4.11)得得平平衡衡态态为为称称为为乘乘数数，由由定定义义4.1.1知知，国国民民经经济系统是渐近稳定的。济系统是渐近稳定的。式中：式中：b为边际消费倾向，则为边际消费倾向，则1-b为边际储蓄倾向。为边际储蓄倾向。当当边边际际投投
12、资资倾倾向向h边边际际储储蓄蓄倾倾向向时时，国国民民收入系统关于均衡值是渐近稳定的。收入系统关于均衡值是渐近稳定的。经济含义：经济含义：0bh10h1-b，51讨论：Y(k)=(b+h)Y(k-1)+(C0+I0)52二、三部门经济系统（家庭、厂商、政府）（家庭、厂商、政府）53C(k)的确定第第k年年的的个个人人消消费费总总额额C(k)与与上上一一年年的的生生产产总值总值Y(k-1)有关：有关：C(k)=C0+bY(k-1)国民生产总值与消费及投资的平衡方程国民生产总值与消费及投资的平衡方程Y(k)=C(k)+I(k)+G(k)其中其中C0、b为常数，为常数，C00基本消费水平，基本消费水平
13、，0b0，表表示示消消费费增增量量大大于于0时，投资增加，时，投资增加，a称为加速系数。称为加速系数。第第k年投资额年投资额I(k)与人们消费需求与人们消费需求及银行利率有关。及银行利率有关。设：设：经济平稳发展，银行利率变化率等于经济平稳发展，银行利率变化率等于0则：则：I(k)=I0+aC(k)-C(k-1)55三部门的宏观经济系统模型：代入代入I(k)=I0+aC0+bY(k-1)-C0-bY(k-2)=I0+baY(k-1)-Y(k-2)56Y(k)=C(k)+I(k)+G(k)C(k)=C0+bY(k-1)I(k)=I0+baY(k-1)-Y(k-2)假设政府支出各期相同假设政府支出
14、各期相同G(k)=G，常数常数则得到二阶差分方程：则得到二阶差分方程：Y(k)=b(1+k)Y(k-1)-baY(k-2)+(G+C0+I0)y(k)=C0+bY(k-1)+I0+baY(k-1)-Y(k-2)+G(k)=b(1+k)Y(k-1)-baY(k-2)+G(k)+(C0+I0)再由再由57取状态变量：Y(kY(k)=b(1+a)Y(k-1)-baY(k-2)+(G+C)=b(1+a)Y(k-1)-baY(k-2)+(G+C0 0+I+I0 0)有：有：x1(k+1)=Y(k)x2(k+1)=Y(k-1)=x1(k)则：则：x1(k+1)=b(1+a)x1(k)-bax2(k)+(G
15、+C0+I0)x2(k+1)=x1(k)58写成矩阵形式：x1(k+1)=b(1+a)x1(k)-bax2(k)+(G+C0+I0)x2(k+1)=x1(k)x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，59平衡状态为 xe=(I-A)-1B60特征方程：0b0根据判定定理根据判定定理知，在满足知，在满足a1/b时，该时，该经济系统经济系统是稳定的。是稳定的。根据定理根据定理4.2ba1a0，成立；成立；1b(1+a)ba1-b0,成立。成立。61三、四部门经济系统：分析方法完全相同分析方法完全相同模型中包括：模型中包括：家庭、厂商、政府、国际贸易家庭、厂商、政府、国际贸易62建模原理Y(k)为第为第
16、k期国民生产总值，期国民生产总值，C(k)为第为第k期个人消费总额，期个人消费总额，G(k)为第为第k期政府支出期政府支出,I(k)为第为第k期投资总额，期投资总额，M(k)为第为第k期进口量，期进口量，X(k)为第为第k期出口量期出口量63讨论经济意义：1-(b+h+x-m)0可改写为0h0时，系统渐进稳定。时，系统渐进稳定。64引进税收税收税收可支配收入可支配收入65引进税收1-(bhb)0时时 ,系统是渐进稳定的。系统是渐进稳定的。无税收模型：无税收模型：（bhxm）1，假设假设，x=m，则：则：b+h1有税收模型：有税收模型：(b+h-b)0,0。b+h-b0时时 ,系统是渐进稳定的。系统是渐进稳定的。无税收模型：无税收模型：（bhxm）1，假设假设，x=m，则：则：b+h1有税收模型：有税收模型：(b+h-b)0,0。b+h-bb+h成立，即含税收时系统的极点更靠近平成立，即含税收时系统的极点更靠近平衡点，稳定性更好衡点，稳定性更好。引入税收后会提高经济系统的稳定性。引入税收后会提高经济系统的稳定性。67本章小结稳定性是系统的固有属性。研究稳定性的意义：特征根法特征根法二阶系统二阶系统动态规律动态规律经济结构经济结构政策模拟政策模拟稳定性的判别方法：稳定性的判别方法：谢 谢4/6/2023