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1、双曲线的标准方程双曲线的标准方程一、回顾1.椭圆的定义是什么？和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的 2.椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？定义图象方程焦点a.b.c的关系yoxF1F2xyoF1F2 x2a2+y2b2=1y2x2a2+b2=1|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）a2=b2+c2 （ab0,ac0,b与c大小 不确定)F1(-c,0),F2 (c,0)F1(0,-c),F2(0,c)在x轴上 在y轴上 2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么
2、呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的 当当|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a(|=2a(常数常数)时时设设M为平面内一动点，为平面内一动点，当当|MF|MF2 2|-|MF|-|MF1 1|=|=2a2a（常数）时常数）时如图如图如图如图(A)(A)，|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=|=常数常数常数常数如图如图如图如图(B)(B)，上面上面上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线由由由由可得：可得：可得：可得：|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=|=常数常数常数常数 （差的绝对值）差的
3、绝对值）|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=|=常数常数常数常数双曲线在生活中双曲线在生活中 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的的距离的差的绝对值差的绝对值等于常数（等于常数（小小于于|F1F2|，且，且不等于不等于0）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做双曲线双曲线。这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的焦点焦点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做双曲线的双曲线的焦距焦距。通常情况下，我们把通常情况下，我们把|F1F2|记为记为2c2c（c0)c0)；常数常数记为记为2a2a(a0)(a0).问题问题4:4:定义中为什么强调定义中为什么强调常数常数要要小于小于|F
4、|F1 1F F2 2|且且不等于不等于0 0（即（即02a2c02a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？若若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？此时轨迹为以此时轨迹为以F F1 1或或F F2 2为端点的为端点的两条射线两条射线此时此时轨迹不存在轨迹不存在此时轨迹为线段此时轨迹为线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线F1F2F1F2分分3种情况来看：种情况来看：二、双曲线标准方程的推导 建系建系使使 轴经过两焦点轴经过两焦点 ，轴为线段轴为线段 的的垂直平分线。垂直平分线。O 设点设点设设 是双曲线上任一点，是双曲线上任一点，焦距为焦距为 ，那么，那么 焦点焦点 又设又设|MF
5、1|与与|MF2|的差的绝对值等于常数的差的绝对值等于常数 。列式列式即即将上述方程化为：移项两边平方后整理得：两边再平方后整理得：由双曲线定义知：即：设 代入上式整理得：两边同时除以 得：化简化简这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0).其中c2=a2+b2.类比椭圆的标准方程，请思考焦点在类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴轴上的上的双双曲线曲线的标准方程是什么？的标准方程是什么？其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程标准方程，它所表示的双曲线的焦点在y轴轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c).三三
6、.双曲线两种标准方程的比较双曲线两种标准方程的比较 方程用方程用“”号连接。号连接。分母是分母是 但但 大小不定。大小不定。如果如果 的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在 轴上；如果轴上；如果 的系数是正的，则的系数是正的，则焦点在焦点在 轴上。轴上。OMF2F1xyF2F1MxOy定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2四、双曲线与椭圆之间的区别与联系四、双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（
7、0，c）F（0，c）判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。及焦点坐标。答案：答案：题后反思：题后反思：先把非标准方程先把非标准方程化成标准方程，化成标准方程，再判断焦点所在再判断焦点所在的坐标轴。的坐标轴。例例1 1:如果方程如果方程 表示双曲表示双曲线，求线，求m的取值范围的取值范围.解解:n变式、如果方程变式、如果方程 表示双曲线，表示双曲线，求求m m的范围的范围n解（m-1)(2-m)2或m1x2y2m-1+2-m=1方程方程 可以表示哪些曲线？可以表示哪些曲线？_.思考：思考：变式训练变式训练解：因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在
8、x轴上，所以设它的标准方程为轴上，所以设它的标准方程为因此，双曲线的标准方程为因此，双曲线的标准方程为题后反思：求标准方程要做到求标准方程要做到先定型，后定量。先定型，后定量。两条射线两条射线轨迹不存在轨迹不存在例例2、已知双曲线的焦点、已知双曲线的焦点 F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点，双曲线上一点P到焦到焦点的距离差的绝对值等于点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。，求双曲线的标准方程。1.若若|PF1|-|PF2|=8呢？呢？2.若若|PF1|-|PF2|=10呢？呢？3.若若|PF1|-|PF2|=12呢？呢？所以所以2c=10，2a=8。即。即a=4，c=5那么那么b2=c2-a2=25-16=9根据已知条件，根据已知条件，|F1F2|=10.|PF1|-|PF2|=8，例题：例题：根据下列条件，求双曲线的标准方程：根据下列条件，求双曲线的标准方程：1、过点、过点 P(3,)、Q(,5)且焦点在坐标且焦点在坐标轴上；轴上；2、c=，经过点经过点(5,2)，焦点在，焦点在 x 轴上；轴上；3、与双曲线、与双曲线 有相同焦点，且经过有相同焦点，且经过点点(3 ,2)双曲线的定义双曲线的定义双曲线的标准方程双曲线的标准方程应用应用51页练习页练习A组组1、2；56页习题页习题2.3 A组组1、2题。题。