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1、 向量的概念向量的概念咸宁高中咸宁高中 吕维东吕维东向量向量：既有大小，又有方向的量。：既有大小，又有方向的量。数量数量：只有大小，没有方向的量。：只有大小，没有方向的量。由于由于实数实数与与数轴上的点数轴上的点一一对应，一一对应，所以所以数量数量常常用数轴上的一个点表示，常常用数轴上的一个点表示，如如3，2，-1，而且不同的点表示不同而且不同的点表示不同的数量。的数量。对于对于向量向量，我们常用，我们常用带箭头的线段带箭头的线段来来表示，线段按一定比例（标度）画出，表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。量的方向。有向线
2、段有向线段：在线段在线段AB的两个端点中，的两个端点中，规定一个顺序，假设规定一个顺序，假设A为起点，为起点，B为终为终点，我们就说线段点，我们就说线段AB具有方向。具有具有方向。具有方向的线段叫做有向线段。方向的线段叫做有向线段。有向线段的三个要素：有向线段的三个要素：起点起点、方向方向、长度长度A（起点）（起点）B（终点）（终点）二二.向量的表示向量的表示：1.几何表示法：几何表示法：以以A为起点，为起点，B为终点作有向线段为终点作有向线段 。有向线段按一定比例（标度）画出，它的长度有向线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。表示向量的大小，箭头表示向量的方
3、向。A（起点）（起点）B（终点）（终点）2.字母表示法：字母表示法：除了上面用起点和终点表示之外，还可以用除了上面用起点和终点表示之外，还可以用黑体小写字母黑体小写字母a、b、c表示，手写时，表示，手写时，要写成带箭头的小写字母要写成带箭头的小写字母AB记作向量记作向量或向量或向量注意：起点一定要写在注意：起点一定要写在终点的前面终点的前面因为我们现在所研究的因为我们现在所研究的向量向量，与，与起点位置无关起点位置无关.所以数学中的向量也叫所以数学中的向量也叫 自由向量自由向量用有向线段表示向量时，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。起点可以取任意位置。如图：它们表示如图：它们表示2条条
4、不同的有向线段不同的有向线段;但但都表示都表示同一个向量同一个向量.能不能说向量就是有向线段能不能说向量就是有向线段?ABCD向量只有大小和方向，而无特定的位置，这样向量只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量的向量可以作任意平移。可以作任意平移。向量的大小向量的大小：向量的大小叫做向量的长或模，如向量的大小叫做向量的长或模，如 的模分别记的模分别记作作 。说明：说明：1.向量向量 的模的模 ；2.向量不能比大小，但是向量不能比大小，但是 可以比大小；可以比大小；3.两个特殊向量：两个特殊向量：两个特殊向量：两个特殊向量：2 2、单位向量：单位向量：长度为长度为 1 1 个单位长度个单位长度
5、的向量。的向量。零零向量向量大小为大小为0，方向不确定的，方向不确定的.可以是可以是任意方向任意方向.1单位向量单位向量大小为大小为1，方向不一定相同。，方向不一定相同。所以所以单位向量可以有无数个。单位向量可以有无数个。1 1、零向量：零向量：长度为长度为 0 0 的向量。记作的向量。记作 0 0思考：思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？它们的终点的轨迹是什么图形？通常用通常用 来表示。来表示。表示与表示与 相同方向的单位向量。相同方向的单位向量。平行向量：平行向量：方向相同或相反的非零向量。方向相同或相反的非零向
6、量。向量向量a，b平行，记作平行，记作 a/b零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行，即对于任，即对于任意向量意向量a，都有，都有0/a。相等向量：相等向量：长度相等且方向相同的向量。长度相等且方向相同的向量。共线向量：共线向量：就是平行向量就是平行向量ACBDFEO 例例1如图，设如图，设 是正六边形是正六边形 的中心，分别写出图中的中心，分别写出图中与向量与向量 、相等的向量相等的向量11FE（3 3）与向量）与向量 共线的向量有共线的向量有哪几个？哪几个？(2)(2)与向量与向量 长度相等的向量长度相等的向量有多少个？有多少个？练习练习 上题中上题中(1)(1)向量向量OA与与FE相等
7、吗相等吗?1平行向量是否一定方向相同？平行向量是否一定方向相同？2不相等的向量是否一定不平行？不相等的向量是否一定不平行？3与零向量相等的向量必定是什么向量？与零向量相等的向量必定是什么向量？4与任意向量都平行的向量是什么向量？与任意向量都平行的向量是什么向量？5若两个向量在同一直线上，则这两个向量一若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？定是什么向量？6两个非零向量相等的充要条件是什么？两个非零向量相等的充要条件是什么？7共线向量一定在同一直线上吗？共线向量一定在同一直线上吗？2.2.如图，如图，、E、F分别是分别是 ABC各边上各边上的中点，的中点，四边形四边形BCMD是平行四边形，请分别写出：是平行四边形，请分别写出：（1 1）与）与CM模相等且共线的向量；模相等且共线的向量；（2 2）与）与FE相等的向量。相等的向量。BACEFDM解：（解：（1）EF、BD、DA、MC FE、DB、AD（2）DB、MC、AD