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1、 高三考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数运算公式求的代数形式，结合复数的几何意义确定其对应点的位置.【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，该点在第四象限.故选：D.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元一次不等式和一元二次不等式的解法，结合交集的定义和运算即可求解.【详解】因为，所以故选：C3. 某地有9个快递收件点，在某天接收到的快递个数分
2、别为360，284，290，300，402，188，240，260，288，则这组数据的第72百分位数为（ ）A. 290B. 295C. 300D. 330【答案】C【解析】 【分析】根据百分位数的估计方法计算即可.【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列得188，240，260，284，288，290，300，360，402，因为，所以这组数据的第72百分位数为300.故选：C4. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系、充分和必要条件的知识确定正确答案.【详解】因为圆内切于圆，所以“
3、”是“”的充分不必要条件.故选：A5. 已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出的范围，再利用向量夹角公式求解作答.【详解】，是单位向量，由得：，依题意，不等式对任意实数恒成立，则，解得，而，则，又，函数在上单调递减，因此， 所以向量，的夹角的取值范围为.故选：B6. 已知函数的最小正周期为，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题意得，再由得，从而得解.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，因为，所以，又因为，所以.故选：B7. 在平面中，若正内切
4、圆的面积为，内切圆与外接圆之间的圆环面积为，则在空间中，若正四面体内切球的体积为，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，点到底面的距离为，底面的面积为，先利用等体积法求出，再结合勾股定理求出 ，再根据球的体积公式即可得出答案.【详解】设正四面体的内切球与外接球的半径分别为，点到底面的距离为，底面的面积为，由等体积法得，设，正的中心为，则，由，得，故故选：B.8. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸文化森林”图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声.现有一块不规则
5、的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件求的解析式，设，利用表示梯形的面积，利用导数求其最大值.【详解】因为曲线是函数的图象，点的坐标为， 所以，故，所以，设线段对应的函数解析式为， 因为直线经过点，所以，所以，设，则点的坐标为由可得，所以点的坐标为，所以，所以直角梯形的面积，所以，令，可得，当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递减，所以当时，函数取最大
6、值，最大值为.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（ ）A. 平面B. 平面C. 平面D. 平面【答案】BCD 【解析】【分析】以点为坐标原点，以，方向为，轴为正方向，建立空间直角坐标系，根据线与面的平行与垂直的向量求法对选项一一验证即可.【详解】以点为坐标原点，以，方向为，轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，则平面，故A正确；，设平面的一个法向量为，则
7、，令，则，则与平面不平行，故B错误；，设平面的一个法向量为， 则，令，则，则与平面不垂直，故C错误；，设平面的一个法向量为，则，令，则，则与平面不垂直，故D错误；故选：BCD.10. 设均为正数，且，则（ ）A. B. 当时，可能成立C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解.【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时，等号成立，又，所以，所以A选项正确；对于B：若，则，因为为正数，所以，所以B选项错误；对于C：由，且为正数， 得，则，即，所以C选项正确；对于D：，当且仅当时，等号成立，所以，所以D选项正确故选：ACD.11. 已知函数，则（ ）A. 是奇函数
8、B. 当时，C. 的最大值是1D. 的图象关于直线对称【答案】BCD【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断A，利用同角三角函数的关系判断B，换元法，利用单调性与导数的关系求最大值判断C,根据对称轴的性质判断D.【详解】对于A, 不恒成立，所以不是奇函数，故A错误；对于B，当时，所以，所以，故B正确；对于C，令，则，所以，所以原函数可换元为， ，令解得，令解得或，所以在单调递减，单调递增，单调递减，所以函数的最大值为，故C正确；对于D，因为所以，所以的图象关于直线对称，故D正确，故选：BCD.12. 已知F是抛物线的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E
9、，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则（ ）A. 四边形面积的最大值为2B. 四边形周长的最大值为C. 为定值D. 四边形面积的最小值为32【答案】ACD【解析】 【分析】根据给定条件，求出抛物线的方程，确定四边形形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦长即可计算推理判断C，D作答.【详解】因为点在抛物线上，所以，故，抛物线的焦点的坐标为，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形面积的最大值为2，故A正确.由，得，即，当且仅当时，等号成立，所以四边形周长的最大值为，故B不正确.设直线的方程为，联立消x得，方程的判别式，设，则，则，同理得，
10、C正确.，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某容器内液体的高度单位：与时间单位：的函数关系式为，则当时，液体高度的瞬时变化率为_【答案】【解析】【分析】直接求出导函数，即可求解.【详解】因为，所以.依题意可得当时，液体高度的瞬时变化率为故答案为：414. 的展开式中，项的系数为_【答案】40【解析】【分析】根据题意可得，结合二项式展开式的通项公式计算即可求解.【详解】，的展开式中项为，的展开式中没有项，所以的展开式中含项的系数为40故答案为：40. 15. 若数列是等比数列且，则_.【答案】【解析】【分析】求出等
11、比数列的公比后，得的通项公式，再用累加法可求出结果.【详解】设等比数列的公比为q，则，则，当时，因为也适合上式，所以.故答案为：.16. 为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，若，则到轴的距离为_.【答案】【解析】【分析】首先表示出，的坐标，依题意可得，即可得到为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得解.【详解】解：不妨设， 则，为椭圆的焦点，所以，又，所以，且，所以在以、为焦点的椭圆上，且，所以，所以为椭圆上一点，由，解得，则，故到轴的距离为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知的内角，的对边分别为，且，.（1）求的大小；（2）若
12、，求边上高的长度.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）运用余弦定理建立的关系，代入，可求得，三角形为等腰三角形，进而求得.（2）结合第一问，可以求得三角形的三边，利用等面积法求得高.【小问1详解】， ，,又，【小问2详解】，设边上高为，则18. 在，这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.问题：在各项均为整数的等差数列中，公差为，且_.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式的基本计算求解即可；（2）根据错位相减法计算求解即可.【小问1详解】解：若选，则，故不能选，若选：
13、依题意可得，解得故【小问2详解】 解：由（1）知，则，所以，所以，故19. 口袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，每次从口袋中取一个球，若取出的是白球，则不放回，若取出的是黑球，则放回袋中.（1）求在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率；（2）求取了3次后，取出的白球的个数的分布列及数学期望.【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）运用条件概率公式计算即可；（2）先分析出取出白球的个数的几种可能，再写出分布列，最后根据分布列算出期望.【小问1详解】解:设第一次取出白球为事件A，第二次取出黑球为事件B，在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率.【
14、小问2详解】解：设取出白球的个数为，则，所以X的分布列为 01220. 如图，在直三棱柱中，且二面角为为45.（1）求棱AC的长；（2）若D为棱的中点，求平面与平面夹角的正切值.【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】（1）由图及题意可得是二面角的平面角，后可得棱AC的长；（2）建立以C为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【小问1详解】因平面ABC，平面ABC，则.又，平面，平面，则平面.又平面，则，故是二面角的平面角，则.又，则.【小问2详解】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.可得，. 设平面的法向量为，则，取，得.设平面的法向量为，则，取，得由，得平面与平面的夹
15、角为60，故平面与平面的夹角的正切值为.21. 已知双曲线右焦点为，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，点关于轴对称的点为.当时，.（1）求双曲线的方程；（2）若的外心为，求的取值范围.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1)设双曲线的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程； (2)设直线的方程为，利用设而不求法求点的坐标，利用表示，再求其范围.【小问1详解】设双曲线的半焦距为，因为双曲线的右焦点为，所以，因为点和点关于轴对称，所以当时，直线的方程为，联立可得，又，所以，又，所以，故双曲线方程为；【小问2详解】若直线的斜率为0，则直线与双曲线右支只有一个交点，与已知矛盾，
16、所以可设直线的方程为，联立，消，得，方程的判别式，设，则，由已知，所以， 所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，又线段的垂直平分线方程为，所以点的坐标为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以所以的取值范围为.【点睛】直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决；其中范围或最值问题，一般利用设而不求法求出变量的解析式，再结合函数方法求其范围或最值.22. 已知函数（1）求在上的极值；（2）若，求的最小值【答案】（1）为极小值，无极大值. （2）【解析】【分析】(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况；(2) 令,令，设，再借助导函数的正负性，分析原函数的单调性确定极值，再反推的单调性，判断极大值情况.【小问1详解】，令，得，在为负，单调递减，在为正，单调递增，故为极小值，无极大值.【小问2详解】由题知 ,令，令，则 ，设 则 ，为正，在单调递增，为负，在单调递减，故为极大值，若，即，此时，则在单调递减，又，所以时，在单调递增，时，在单调递减，故为极大值，所以，则当时，符合条件；，即 此时， 存在，在上；，则在单调递增，又，则在区间上所以在区间上，单调递减，则，不满足条件.综上所述的最小值为.