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1、概率论与数理统计概率论与数理统计(韩旭里韩旭里_谢永钦版谢永钦版)第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第一节第一节 大数定律大数定律第二节第二节 中心极限定理中心极限定理第一节第一节大数定律大数定律定义定义1:上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理1:上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理2:上一页上一页下一页下一页返回返回或或证明：设证明：设Xi表示第表示第i 次试验中事件次试验中事件A出现的次数，出现的次数，i=1,2,n,则则X1,X2,Xn相互独立且均服从参数为相互独立且均服从参数为p的的(0-1)分布，故有分布，故有E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i
2、=1,2,n且且，由契比雪夫大数定律知，对于任意的，由契比雪夫大数定律知，对于任意的，有，有（贝努利大数定律）以（贝努利大数定律）以nA是是n次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数出现的次数.p是事件是事件A在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概率率(0p0有有:定理定理3:上一页上一页下一页下一页返回返回(辛钦大数定律辛钦大数定律)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从同一分布，且具有数学期望服从同一分布，且具有数学期望E(Xi)=(i=1,2,)，则对于任意正数，则对于任意正数,有有定理定理4:上一页上一页下一页下一页返回返回(独立同分布的中心极限定理
3、独立同分布的中心极限定理)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相互独立相互独立,服从同一分布服从同一分布,且具有数学期且具有数学期望和方差，望和方差，E(Xk)=,D(Xk)=2 0(k=1,2,).则随机则随机变量变量定理定理5:的分布函数的分布函数Fn(x),对于任意对于任意x,有有第二节第二节中心极限定理中心极限定理上一页上一页下一页下一页返回返回(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)设随机变量设随机变量X1,X2,Xn,相相互独立互独立,它们具有数学期望和方差它们具有数学期望和方差:定理定理6:上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理7:上一页上一页下一页下
4、一页返回返回例：某保险公司有例：某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每，每个参加保险的人在年初付个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时元保险费，而在死亡时家属可向公司领得家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中：元。问在此项业务活动中：(1)保险公司亏本的概率是多少？保险公司亏本的概率是多少？(2)保险公司获得利润不少于保险公司获得利润不少于40000元的概率是多少？元的概率是多少？上一页上一页下一页下一页返回返回PX120=1-解：设这解：设这10000人中一年内死亡的人数为人中一年内死亡的人数为X，则，则Xb(10000,0.006),保险公司一年收取保险公司一年收取1000012=120000元元保险费，故仅当每年死亡人数超过保险费，故仅当每年死亡人数超过120人时公司才会亏人时公司才会亏本，当每年死亡人数不超过本，当每年死亡人数不超过80人时公司获利不少于人时公司获利不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为元。由此可知，所求的概率分别为PX120及及。上一页上一页下一页下一页返回返回