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1、概率论与数理统计概率论与数理统计(韩旭里韩旭里_谢永钦版谢永钦版)第三章第三章 随机向量随机向量第一节第一节 二维随机向量及其分布二维随机向量及其分布第二节第二节 边缘分布边缘分布第三节第三节 条件分布条件分布第四节第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布1、二维随机向量及其分布函数、二维随机向量及其分布函数定义定义1：设：设E是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=e.设设X(e)与与Y(e)是定义在同一样本空间是定义在同一样本空间 上的两上的两个个随机变量随机变量,则称则称(X(e),Y(e)为为 上的上的
2、二维随机向量二维随机向量或或二维随机变量二维随机变量。简记为。简记为(X,Y).定义定义2：设：设(X,Y)是二维随机向量是二维随机向量,对于任意实数对于任意实数x,y，称，称二元函数二元函数F(x,y)=PX x，Y y为二维随机向量为二维随机向量(X,Y)的的分布函数分布函数或或联合分布函数联合分布函数。第一节第一节 二维随机向量及其分布二维随机向量及其分布上一页上一页下一页下一页返回返回(X,Y)的分布函数满足如下的分布函数满足如下基本性质基本性质：(2)0 F(x,y)1(1)F(x,y)是变量是变量x,y的不减函数的不减函数.上一页上一页下一页下一页返回返回2、二维离散型随机变量、二
3、维离散型随机变量定义定义3：若二维随机向量：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有的所有可能取值是有限对或无限可列多对限对或无限可列多对,则称则称(X,Y)为为二维离散型随机二维离散型随机向量向量。设设(X,Y)的一切可能值为的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,，且，且(X,Y)取取各对可能值的概率为各对可能值的概率为PX=xi，Y=yj=pij，i,j=1,2,(1)非负性非负性:pij0，i，j=1，2；上一页上一页下一页下一页返回返回的联合分布律。的联合分布律。和和或随机变量或随机变量的概率分布或分布律，的概率分布或分布律，离散型随机变量离散型随机变量为二维为二维称称YXY
4、XjipYYxXPij),(,.)2,1,(,=上一页上一页下一页下一页返回返回(X,Y)的分布律也可用表格形式表示的分布律也可用表格形式表示 Y X y1 y2 yj x 1 x2 .xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j .pi1 pi2 pij 上一页上一页下一页下一页返回返回例例1:从一个装有从一个装有2个红球个红球,3个白球和个白球和4个黑球的袋中随机个黑球的袋中随机地取地取3个球个球,设设X和和Y分别表示取出的红球数和白球数分别表示取出的红球数和白球数,求求(X,Y)的分布律的分布律,并求并求PX1,Y2,PX+Y=2,及及PX=1.解解:X的可能值为的可能值为0,1
5、,2,Y的可能为的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可的所有可能值为能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率计算可得由古典概率计算可得上一页上一页下一页下一页返回返回于是于是(X,Y)的分布可用表示的分布可用表示YX01230124/8418/8412/841/8412/8424/846/8404/843/8400由由(X,Y)的分布的分布律律,所求概率为所求概率为上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回3、二维连续型随机变量、二维连续型随机变量定义定义5：设设(X,Y)为二维随机向
6、量为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数对于任意实数x,y，有，有上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回11y=xoxy1Oyx1Oyx1Oyx上一页上一页下一页下一页返回返回设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为S,若二维随机变若二维随机变量量(X.,Y)的概率密度为的概率密度为设设(X,Y)在区域在区域G上服从均匀分布上服从均匀分布,D为为G内的一区域内的一区域,即即D G,且且D的面积为的面
7、积为S(D),那么那么二维均匀分布二维均匀分布则称则称(X,Y)在区域在区域G上服从均匀分布上服从均匀分布.上一页上一页下一页下一页返回返回若若(X.,Y)的概率密度为的概率密度为二维正态分布二维正态分布上一页上一页下一页下一页返回返回4、n维随机变量维随机变量设设E是一个随机试验是一个随机试验,它的样本空间是它的样本空间是=(e).设设随机变量随机变量是定义在同一样本空间是定义在同一样本空间上的上的n个随机变量，则称向量个随机变量，则称向量为为n维随机向量维随机向量或或n维随机变量维随机变量。简记为简记为设设是是n维随机变量，对于任意实数维随机变量，对于任意实数,称称n元函数元函数为为n维随
8、机变量维随机变量的的联合分布函数联合分布函数。上一页上一页下一页下一页返回返回X和和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于关于X和和Y的的边缘分布函数边缘分布函数，分别记为，分别记为FX(x),FY(y)。当。当已知已知(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)时，可通过时，可通过求得两个边缘分布函数求得两个边缘分布函数第二节第二节 边缘分布边缘分布上一页上一页下一页下一页返回返回例例1：设二维随机向量：设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回1、二维离散型随机
9、变量的边缘分布、二维离散型随机变量的边缘分布上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回2、二维连续型随机变量的边缘分布、二维连续型随机变量的边缘分布设设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，则则从而知，从而知，X为连续型随机变量且概率密度为为连续型随机变量且概率密度为同理，同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为也是连续型随机变量，其概率密度为上一页上一页下一页下一页返回返回yOx上一页上一页下一页下一页返回返回第三节第三节 条件分布条件分布1、二维离散型
10、随机变量的条件分布律、二维离散型随机变量的条件分布律定义定义6:上一页上一页下一页下一页返回返回例例1：一射手进行射击一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为每次射击击中目标的概率均为p(0p1)且假设各次击中目标与否相互独立且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行到射击进行到击中目标两次为止击中目标两次为止.设以设以X表示到第一次击中目标所需要表示到第一次击中目标所需要的射击次数的射击次数,以以Y表示总共进行的射击次数表示总共进行的射击次数.试求试求(X,Y)的的联合分布律和条件分布律联合分布律和条件分布律.解解:由题意由题意,X=i表示第表示第i次首次击中目标次首次击中目标,Y=j表示表
11、示第第j次击中目标次击中目标,因而因而ij,X=i,Y=j表示第表示第i次和第次和第j次次击中目标而其余击中目标而其余j-2次均未击中目标次均未击中目标.于是于是(X,Y)的联的联合分布律为：合分布律为：上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回LL,2,1|,2,11122 =iijpqpqqpiXjYPYiXiijij的条件分布律为的条件分布律为下下在条件在条件对于固定的对于固定的上一页上一页下一页下一页返回返回2、二维连续型随机变量的条件分布、二维连续型随机变量的条件分布定义定义7：对固定的实数对固定的实数y，设对于任意给定的正数，设对于任意给定的正数，Py-0,且
12、若对于任意实数且若对于任意实数x，极限，极限存在，则称此极限为存在，则称此极限为在在Y=y的条件下的条件下X的条件分布函数的条件分布函数，记作记作P或记为或记为.同样同样,在在X=x条件下随机变量条件下随机变量Y的条件分布函数的条件分布函数上一页上一页下一页下一页返回返回设设(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y)，概率密度为，概率密度为f(x,y)。若在点。若在点(x,y)处处f(x,y)连续，边缘概率密度连续，边缘概率密度fY(y)连续，且连续，且fY(y)0，则有：则有：亦即亦即上一页上一页下一页下一页返回返回类似地在相应条件下可得在类似地在相应条件下可得在X=x条件下条件下Y的条
13、件概率的条件概率密度为密度为若记若记为条件为条件Y=y下下X的条件概率函数，则由上的条件概率函数，则由上式知：式知：上一页上一页下一页下一页返回返回且有边缘概率密度且有边缘概率密度当当1y1时有：时有：解：解：(X,Y)的概率密度为的概率密度为例例2：设随机变量设随机变量(X,Y)在区域在区域D=(x,y)x2+y21上服上服从均匀分布，求条件概率密度从均匀分布，求条件概率密度。上一页上一页下一页下一页返回返回特别特别y=0和和y=时条件概率密度分别为时条件概率密度分别为类似于条件概率的乘法公式，也有类似于条件概率的乘法公式，也有上一页上一页下一页下一页返回返回设设F(x,y)为二维随机变量为
14、二维随机变量(X,Y)的分布函数，的分布函数，(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则上，则上式等价于式等价于第四节第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义8：设设X和和Y是两个随机变量，如果对于任意实是两个随机变量，如果对于任意实数数x和和y，事件，事件Xx与与Yy相互独立，即有相互独立，即有PXx,Yy=PXxPYy，则称，则称随机变量随机变量X与与Y相互独立相互独立。由独立性定义可证由独立性定义可证“若若X与与Y相互独立，则对于任意实数相互独立，则对于任意实数x1x2,y1y2,事件事件x1Xx2与事件与事件y1Yy2相
15、互独立相互独立”。上一页上一页下一页下一页返回返回结论推广结论推广：“若若X与与Y独立，则对于任意一维区间独立，则对于任意一维区间I1和和I2，事件，事件XI1与与YI2相互独立相互独立”。Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)-FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1)=FX(x2)-FX(x1)FY(y2)-FY(y1)=Px1Xx2Py1Yy2所以事件所以事件x1Xx2与与y1Yy2是相互独立的。是相互独立的。当（当（X,Y）为离散型或连续型随机向量时，可用它的）为离散型
16、或连续型随机向量时，可用它的分布律或概率密度来判别分布律或概率密度来判别X与与Y的独立性。的独立性。上一页上一页下一页下一页返回返回例例1:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。的分布律如表所示。XY-102-1/22/201/202/2012/201/202/201/24/202/204/20问问X与与Y相相互独立吗？互独立吗？解解:X与与Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为X-1/211/2pi.1/41/41/2Y-102p.j2/51/52/5逐一验证可知，逐一验证可知，pij=pi.p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。）。从而从而X与与Y相互独立。相互独立。
17、上一页上一页下一页下一页返回返回例例2:设设X和和Y都服从参数为都服从参数为1的指数分布，且相互独的指数分布，且相互独立，试求立，试求PX+Y1。由于由于X与与Y相互独立，所以相互独立，所以(X,Y)的概率密度为的概率密度为于是于是解解:设设fX(x),fY(y)分别为分别为X和和Y的概率密度，则的概率密度，则上一页上一页下一页下一页返回返回第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布1、二维离散型随机变量的函数分布、二维离散型随机变量的函数分布 Y12101/321/31/3例例 设（设（X,Y）分布律为）分布律为求求 X+Y,X-Y,XY及及X/Y的分布的分布.解：先列出
18、下表解：先列出下表X上一页上一页下一页下一页返回返回P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)X Y2334X Y0 110XY1224X/Y11/221于是于是X+Y的分布律为的分布律为X+Y234P02/31/3上一页上一页下一页下一页返回返回同理同理X-YX-Y的分布律为的分布律为X Y 101P1/31/31/3X/Y124P02/31/3XYXY及及X/YX/Y的分布律分别为的分布律分别为XY124P02/31/3上一页上一页下一页下一页返回返回设设(X,Y)为连续型随机向量，具有概率密度为连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)，又又Z=g(X,Y)(
19、g(x,y)为一已知的连续函数为一已知的连续函数)。大部分情。大部分情况下，况下，Z是一连续型随机变量。是一连续型随机变量。为求为求Z的概率密度，可先求出的概率密度，可先求出Z的分布函数的分布函数2、二维连续型随机变量的函数分布、二维连续型随机变量的函数分布上一页上一页下一页下一页返回返回即首先找出上式右端的积分区域即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了。如果求得了FZ(z),那么可通过那么可通过求出求出Z的概率密度的概率密度。求解过程中，关键在于将事件求解过程中，关键在于将事件Zz等价地转化为用等价地转化为用(X,Y)表示的事件表示的事件g(X,Y)z=(X,Y),其中其中。上一页上一
20、页下一页下一页返回返回例例1：设：设且且X与与Y相互相互独立，求独立，求的概率密度。的概率密度。由于由于X与与Y相互独立，于是相互独立，于是(X,Y)的概率密度为的概率密度为先求先求Z的分布函数的分布函数FZ(z)解解：X和和Y的概率密度分别为的概率密度分别为当当z0时时,上一页上一页下一页下一页返回返回综上所述，综上所述，Z=X+Y的概率密度为的概率密度为这正是参数为这正是参数为的的分布的概率密度。分布的概率密度。上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回XYXY上一页上一页下一页下一页返回返回解解:(1)1)串联情况串联情况XY上一页上一页下一页下一页返回返回(2)(2)并联情况并联情况XY上一页上一页下一页下一页返回返回