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1、第第4章级数章级数l本章学习目标了解幂级数的概念;会求泰勒级数;会把函数在展开成幂级数;知道幂级数和罗伦级数的区别与联系;会求函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数.4.1 幂级数幂级数幂级数的概念 同实变函数一样,关于幂级数也有:1.收敛圆与收敛半径2.级数在其收敛圆内有如下性质:1)可以逐项求导.2)可以逐项积分.3)在收敛圆内,幂级数的和函数是解析函数.例例1求求 的收敛半径的收敛半径(并讨论在收敛圆并讨论在收敛圆周上的情形周上的情形)解:因为所以,收敛半径即原级数在圆内 收敛,在圆外发散.在圆周 上,原级数收敛,所以原级数在收敛圆内和收敛圆周上处处收敛.泰勒级数泰勒级数l我们经常利用泰勒展
2、开式的唯一性及幂级数的运算和性质(级数在其收敛圆内可以逐项求导,可以逐项积分)来把函数展开成幂级数,即利用间接的方法,把函数展开成幂级数.泰勒级数泰勒级数 定理一 若函数 在圆盘 内解析,则 在该圆盘内可展成的幂级数,这种展式是唯一的,且为 (4.1.3)或 其中 这个公式(4.1.3)称为 在 的泰勒展开式,它的右端称为 在 的泰勒级数,称为泰勒系数.利用泰勒展开式利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系我们可以直接通过计算系数数,把函数展开成幂级数把函数展开成幂级数.(4.1.4)(4.1.5)(4.1.6)(4.1.7)l1.只要函数 在圆盘 内解析,就可在 展开成泰勒级数;l2.此时泰勒
3、级数,泰勒展开式,的幂级数为同意语;l3.若 在 平面内处处解析,则;l4.若 只在区域 内解析,为内 的一点,则 在 的泰勒展开式的收敛半径 等于 到的 边界上各点的最短距离;l5.若 在 平面上除若干孤立奇点外内处处解析,则 等于 到最近的孤立奇点的距离.例例2把函数把函数 展开成展开成 的幂级数的幂级数 l解:函数 在 内处处解析,l由公式(4.1.7)l把上式两边逐项求导,即得所求的展开式罗伦级数罗伦级数 定理二 设函数 在圆环域 ,内处处解析,那末 (4.2.1)其中 (4.2.2)4.2 罗伦级数罗伦级数l幂级数在其收敛圆内具有的许多性质在收敛圆环域:内的罗伦级数也具有.l1.在收
4、敛圆环域内的罗伦级数可以逐项求导,l2.在收敛圆环域内的罗伦级数可以逐项积分,l3.在收敛圆环域内的罗伦级数的和函数是解析函数 求罗伦展开式的系数求罗伦展开式的系数l罗伦展开式的系数 用公式(4.2.2)计算是很麻烦的,由罗伦级数的唯一性,我们可用别的方法,特别是代数运算,代换,求导和积分等方法展开,这样往往必将便利(即间接展开法).l同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.例例3把函数把函数 展开成展开成 的级数的级数 解:因为所以例例4把函数把函数 在收敛圆环域在收敛圆环域 内内展开成罗伦级数展开成罗伦级数.解:因为所以,例例5把函数把函数 在收敛圆环域在收敛圆环域 内内展开成罗伦级数展开成罗伦级数.解:因为所以,例例5把函数把函数 在收敛圆环域在收敛圆环域 内内展开成罗伦级数展开成罗伦级数.解:因为所以,l通过例3、例4、例5可知同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗伦级数一般不同;由罗伦级数的唯一性可知,同一个函数在相同的收敛圆环域内的罗伦级数一定相同.