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1、第四章第四章 解析函数的幂级数表示解析函数的幂级数表示 前面两章我们分别用微分和积分的方法研究前面两章我们分别用微分和积分的方法研究了解析函数的性质了解析函数的性质,本章我们将用级数的方法研本章我们将用级数的方法研究解析函数的性质究解析函数的性质.把解析函数表示为级数不仅有理论意义把解析函数表示为级数不仅有理论意义,而且而且有实际意义，而某些应用问题也常常用到级数有实际意义，而某些应用问题也常常用到级数.本章首先介绍复数项级数本章首先介绍复数项级数;然后讨论复变函数然后讨论复变函数项级数项级数,着重讨论幂级数及其收敛性问题；之后着重讨论幂级数及其收敛性问题；之后研究解析函数展开成泰勒级数；最后
2、研究解析研究解析函数展开成泰勒级数；最后研究解析函数零点的孤立性和惟一性问题函数零点的孤立性和惟一性问题.1 1、复数项级数、复数项级数2 2、一致收敛的复函数项级数、一致收敛的复函数项级数1 复级数的基本性质复级数的基本性质3、解析函数项级数、解析函数项级数定义定义1 1、复数项级数、复数项级数说明说明 1、复数项级数的敛散问题、复数项级数的敛散问题两个实数项级数的敛散问题两个实数项级数的敛散问题(定理定理4.1)解解所以原级数发散所以原级数发散.例例1 1例例解解 即复级数收敛等价于级数充分远的任意片段充分小。即复级数收敛等价于级数充分远的任意片段充分小。注：注：注注2、注意注意 应用正项
3、级数的审敛法判定其收敛性应用正项级数的审敛法判定其收敛性.所以可所以可（绝对收敛的级数本身也收敛）（绝对收敛的级数本身也收敛）比较法比较法比值法（达朗贝尔判别法比值法（达朗贝尔判别法 ）根值法（柯西判别法根值法（柯西判别法 ）常用的有常用的有练习：判别下列复级数的敛散性练习：判别下列复级数的敛散性定义定义2 2、一致收敛的复函数项级数、一致收敛的复函数项级数点集点集E称为收敛域称为收敛域.称为点点收敛称为点点收敛.定义定义2、在、在E上一致收敛上一致收敛 在在E上收敛上收敛注：注：1、收敛是局部概念，不同的、收敛是局部概念，不同的z存在不同的存在不同的N.一致收敛是整体概念，即总对一个点集而一
4、致收敛是整体概念，即总对一个点集而 言，言，N是整个点集上公用的。是整个点集上公用的。比比较较3、欲证、欲证在在E上一致收敛，需对上一致收敛，需对z敛敛。这是因为。这是因为比较：比较：(大大M法法)定理定理4.5 优级数准则是一个被广泛应用的方法优级数准则是一个被广泛应用的方法.因为因为它把判别复函数项级数的一致收敛性转化为它把判别复函数项级数的一致收敛性转化为判判别正项级数的收敛性别正项级数的收敛性；另外，优级数准则同时；另外，优级数准则同时还可以判定还可以判定绝对收敛性绝对收敛性.而正项级数而正项级数收敛。从而收敛。从而一致收敛。一致收敛。例如例如在在z平面上一致收敛。平面上一致收敛。下述
5、两个定理和数学分析中相应的定理平行下述两个定理和数学分析中相应的定理平行.每个每个 在点集在点集E上连续上连续,即即在在E上一致收敛于上一致收敛于f(z)在在E上连续上连续（在一致收敛的条件下，（在一致收敛的条件下，定义定义DKKKK3 3、解析函数项级数、解析函数项级数解析函数项级数收敛的解析函数项级数收敛的魏尔斯特拉斯定理魏尔斯特拉斯定理.（可逐项求导任意次）（可逐项求导任意次）内闭一致收敛于内闭一致收敛于P=1，2，。注：与实函数项级数注：与实函数项级数 相应定理比较相应定理比较 满足如下条件：满足如下条件：1、收敛于和函数收敛于和函数S(x),2、连续，连续，3、一致收敛。一致收敛。则
6、其和函数则其和函数 S(x)在在a,b上有连续导数，且可逐项求导，上有连续导数，且可逐项求导，1、移植：复级数、收敛及、移植：复级数、收敛及一致收敛、绝一致收敛、绝对收敛和条件收敛定义、柯西收敛准则、对收敛和条件收敛定义、柯西收敛准则、优级数准则及和函数的分析性质都是实级数优级数准则及和函数的分析性质都是实级数相应内容的平行移植。相应内容的平行移植。本节采用的数学思想是本节采用的数学思想是2、转化：如复级数、转化：如复级数的收敛性可转化为其实虚部的两个实级数收敛性。的收敛性可转化为其实虚部的两个实级数收敛性。绝对收敛可转化实正项级数绝对收敛可转化实正项级数的收敛性。的收敛性。用大用大M法证一致收敛时，也转化为法证一致收敛时，也转化为实正项实正项级数级数收敛性。收敛性。