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1、 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数.这就要利用解析延拓的概念.留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分.3 留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b(线段 )，此区间应是回路 的一部分.实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：1.形如 的积分,其中R(cosq,sinq)为 cosq与sinq 的有理函数.令 z=eiq,则 dz=ieiq dq,而其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母
2、不为零,根据留数定理有 其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的 f(z)的孤立奇点.例1 计算 的值.解 由于0p1,被积函数的分母在0q 2p内不为零,因 而积分是有意义的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此 在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.例2 计算 的值.解：令例 3解：取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.z1z2z3yCR-RROx不失一般性,设为一已约分式.此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.例 4例 5 解：第十三次课12月17日也可写为例6 计算 的值.解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,例4 计算积分 的值.解 因为 是偶函数,所以因此,要算出所求积分的值,只需求出极限下面将证明由于所以j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,而由于在r充分小时,