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1、关于函数与复变函数关于函数与复变函数1第1页，讲稿共46张，创作于星期日一、复数列的极限二、级数的概念第一节第一节 复数项级数复数项级数三、典型例题四、小结与思考2第2页，讲稿共46张，创作于星期日一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义记作记作3第3页，讲稿共46张，创作于星期日2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件那末对于任意给定的那末对于任意给定的就能找到一个正数就能找到一个正数N,证证4第4页，讲稿共46张，创作于星期日从而有从而有所以所以同理同理反之反之,如果如果5第5页，讲稿共46张，创作于星期日从而有从而有定理一说明定理一说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散
2、性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.证毕证毕6第6页，讲稿共46张，创作于星期日课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.7第7页，讲稿共46张，创作于星期日二、级数的概念二、级数的概念1.1.定义定义表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和8第8页，讲稿共46张，创作于星期日收敛与发散收敛与发散说明说明:与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性判别复数项级数敛散性的基本方法是的基本方法是:9第9页，讲稿共46张，创作于星期日10
3、第10页，讲稿共46张，创作于星期日2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为定理二定理二11第11页，讲稿共46张，创作于星期日说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二定理二)12第12页，讲稿共46张，创作于星期日解解所以原级数发散所以原级数发散.课堂练习课堂练习13第13页，讲稿共46张，创作于星期日必要条件必要条件重要结论重要结论:14第14页，讲稿共46张，创作于星期日不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察?级数发散级数发散;应
4、进一步判断应进一步判断.15第15页，讲稿共46张，创作于星期日3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛注意注意 应用正项级数的审敛法则判定应用正项级数的审敛法则判定.定理三定理三16第16页，讲稿共46张，创作于星期日证证由于由于而而根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则,知知17第17页，讲稿共46张，创作于星期日由定理二可得由定理二可得证毕证毕18第18页，讲稿共46张，创作于星期日非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定义定义19第19页，讲稿共46张，创作于星期日所以
5、所以综上综上:20第20页，讲稿共46张，创作于星期日下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.而而解解 三、典型例题三、典型例题例例1 121第21页，讲稿共46张，创作于星期日解解 所以数列发散所以数列发散.22第22页，讲稿共46张，创作于星期日例例3 3故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解23第23页，讲稿共46张，创作于星期日故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.例例4 4解解24第24页，讲稿共46张，创作于星期日25第25页，讲稿共4
6、6张，创作于星期日四、小结与思考四、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应了解复数列的极限概念应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质收敛与条件收敛的概念与性质.26第26页，讲稿共46张，创作于星期日思考题思考题27第27页，讲稿共46张，创作于星期日思考题答案思考题答案否否.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.28第28页，讲稿共46张，创作于星期日&1.幂级数的概念幂级数的概念&2.收敛定理收敛定理&3
7、.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径&4.收敛半径的求法收敛半径的求法&5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数29第29页，讲稿共46张，创作于星期日1.幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和30第30页，讲稿共46张，创作于星期日若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数31第31页，讲稿共46张，创作于星期日2.收敛定理收敛定理同
8、实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1(阿贝尔阿贝尔(Able)定理）定理）32第32页，讲稿共46张，创作于星期日证明证明33第33页，讲稿共46张，创作于星期日(2)用反证法，用反证法，3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处在复平面上处处收敛。处收敛。(ii)除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数级数(3)在复平面
9、上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。34第34页，讲稿共46张，创作于星期日显然，显然，否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，部分染成蓝色，逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色,逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故播放播放35第35页，讲稿共46张，创作于星期日36第36页，讲稿共46张，创作于星期日A (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，
10、在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.37第37页，讲稿共46张，创作于星期日4.收敛半径的求法收敛半径的求法 定理定理3(根值法根值法)定理定理2(比值法比值法)38第38页，讲稿共46张，创作于星期日例例4.1解解
11、综上综上39第39页，讲稿共46张，创作于星期日40第40页，讲稿共46张，创作于星期日例例4.34.3 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径解解41第41页，讲稿共46张，创作于星期日5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算42第42页，讲稿共46张，创作于星期日-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级幂级数的代换运数的代换运算在函数展算在函数展成幂级数中成幂级数中很有用很有用.例例4.4解解代换代换43第43页，讲稿共46张，创作于星期日解解代换代换展开展开还原还原44第44页，讲稿共46张，创作于星期日q分析运算分析运算定理定理4-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算45第45页，讲稿共46张，创作于星期日感谢大家观看10/12/2022第46页，讲稿共46张，创作于星期日