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1、第第7章章气体分子动理论气体分子动理论玻耳兹曼玻耳兹曼LudwigBoltzmann(18441906)奥地利物理学家，统计物理学的奠基人之一奥地利物理学家，统计物理学的奠基人之一1）提出）提出麦克斯韦麦克斯韦-玻耳兹曼分布定律玻耳兹曼分布定律；2）提出）提出玻耳兹曼熵玻耳兹曼熵S Sk k loglogWWS Sk k lnlnWW著名的玻耳兹曼关系式，把宏观量著名的玻耳兹曼关系式，把宏观量熵熵熵熵S S与微观量与微观量热力学概率热力学概率热力学概率热力学概率WW 联系起联系起来，并来，并给予熵给予熵S以统计解释。以统计解释。7.1气体分子动理论的基本概念气体分子动理论的基本概念一、分子动理
2、论的三个基本概念一、分子动理论的三个基本概念1.宏观物体是由宏观物体是由大量微观粒子大量微观粒子分子或原子所组成。分子或原子所组成。2.物质内的分物质内的分子在不停地做无子在不停地做无规则热运动，其规则热运动，其剧烈程度与温度剧烈程度与温度有关。有关。图图7.1 7.1 布朗运动布朗运动 Ofrr0斥力斥力引力引力合力合力分子力表现为斥力分子力表现为斥力 分子力表现为引力分子力表现为引力 (平衡位置平衡位置 )3.分子间有相互作用力分子间有相互作用力r0分子有效直径分子有效直径势能势能二、气体分子热运动服从统计规律二、气体分子热运动服从统计规律1）每个微小体）每个微小体积积元元dV 内气体分子
3、数量巨大；内气体分子数量巨大；3）气体分子间的相互碰撞非常频繁；）气体分子间的相互碰撞非常频繁；一秒内一个分子一秒内一个分子大约大约要要发发生几十生几十亿亿次次(109)碰撞碰撞2）气体分子）气体分子间间距很大，除碰撞外，距很大，除碰撞外，分子分子间间相互作用可忽略；相互作用可忽略；4）气体分子的微观力学量取值无法预测，气体的宏观量稳定；）气体分子的微观力学量取值无法预测，气体的宏观量稳定；1.何谓统计规律？何谓统计规律？大量偶然事件在整体上表现出来的规律性大量偶然事件在整体上表现出来的规律性大量偶然事件在整体上表现出来的规律性大量偶然事件在整体上表现出来的规律性单个小球落入位置单个小球落入位
4、置偶然事件偶然事件少量小球按位置的分布少量小球按位置的分布规律不明显规律不明显大量小球按位置的分布大量小球按位置的分布确定的规律确定的规律伽尔顿板实验伽尔顿板实验2.何谓随机试验？何谓随机试验？l伽耳顿板实验中粒子落入的位置伽耳顿板实验中粒子落入的位置l气体分子的速率、动量、动能等气体分子的速率、动量、动能等l掷色子出现的点数掷色子出现的点数1）在相同条件下可重复进行；）在相同条件下可重复进行；2）每次试验有多种可能结果；）每次试验有多种可能结果；3）试验结果事先不可预测；）试验结果事先不可预测；4）不同试验之间无关联。）不同试验之间无关联。（随机试验的每一个可能结果称为一个（随机试验的每一个
5、可能结果称为一个随机事件随机事件。）。）对随即变量对随即变量对随即变量对随即变量 MM 进行抽样试验：进行抽样试验：进行抽样试验：进行抽样试验：MM 取取取取 MM i i 的的的的概率概率概率概率3.何谓概率？何谓概率？(N=N1+N2+N3+)随机事件的概率举例随机事件的概率举例掷色子出现的概率掷色子出现的概率小球出现在第个小槽小球出现在第个小槽4.概率的归一化条件概率的归一化条件(N=N1+N2+N3+)5.随机量随机量M 的统计平均值的统计平均值统计平均值举例统计平均值举例掷色子出现的点数的平均值掷色子出现的点数的平均值气体分子速率的平均值气体分子速率的平均值建立三维直角坐标系建立三维
6、直角坐标系OxyzxyzOvxvxvxvxvyvyvyvyvzvzvzvz气体分子速率的平均值气体分子速率的平均值xyzO气体处于平衡态时，气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等气体分子沿各个方向运动的机会均等气体分子速率平方的平均值气体分子速率平方的平均值xyzOxyzO即即气体处于平衡态时，气体处于平衡态时，气体分子沿各个方向运动的机会均等气体分子沿各个方向运动的机会均等。6.气体分子平动动能的平均值气体分子平动动能的平均值xzO7.理想气体的压强理想气体的压强一、理想气体的微观模型一、理想气体的微观模型分子的性质相同，质量相等，分子大小忽略不计；分子的性质相同，质量相等，分子
7、大小忽略不计；除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在除碰撞外分子间相互作用可忽略不计，气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动；相邻两次碰撞间作匀速直线运动；所有的碰撞为完全弹性碰撞；所有的碰撞为完全弹性碰撞；二、压强形成的微观解释二、压强形成的微观解释1.单个分子与器壁碰撞单个分子与器壁碰撞冲击力微乎其微，且大小、位置具有偶然性；冲击力微乎其微，且大小、位置具有偶然性；2.大量分子与器壁碰撞大量分子与器壁碰撞冲击作用的积累效应，给器壁持续的作用力；冲击作用的积累效应，给器壁持续的作用力；各个方向或位置受力均匀各个方向或位置受力均匀3.压强为压强为单位面积容器壁单位面积容器壁上气体分子所受
8、冲上气体分子所受冲力的统计平均量力的统计平均量三、理想气体的压强公式三、理想气体的压强公式xyzOcba建立三维直角坐标系建立三维直角坐标系Oxyzx,y,z方向规律相同，压强相同方向规律相同，压强相同以以x方向为例方向为例x方向速度分量为方向速度分量为vix的分子的分子i与气体分子与气体分子j碰撞，碰撞，互换互换由于气体分子是全同的，而由于气体分子是全同的，而且每次碰撞是弹性碰撞，因此气且每次碰撞是弹性碰撞，因此气体分子间的碰撞对结果的影响可体分子间的碰撞对结果的影响可忽略。忽略。可看作大量气体分子同时作来回运动却可看作大量气体分子同时作来回运动却“没有没有”碰碰撞撞xyzOcbaA1xyz
9、Ocba分子分子i 在在x方向与方向与A1碰撞，动量增量：碰撞，动量增量：A1对对A1的冲量：的冲量：t时间内时间内分子分子i 与与A1发生碰撞的次数：发生碰撞的次数：分子分子i 连续两次与连续两次与A1发生碰撞发生碰撞的时间间隔为：的时间间隔为：2a/vixxyzOcbaA1t时间内时间内分子分子i对对A1的冲量：的冲量：t时间内时间内所有分子所有分子对对A1的冲量：的冲量：其中其中为为气体分子数密度气体分子数密度理想气体压强公式：理想气体压强公式：压强的微观本质压强的微观本质分子平均动能分子平均动能7.3温度的微观本质温度的微观本质一、温度与理想气体分子平均平动动能的关系一、温度与理想气体
10、分子平均平动动能的关系设设m千克气体的分子数为千克气体的分子数为N，为一个分子的质量为一个分子的质量，1摩尔气体的分子数为摩尔气体的分子数为NA，1摩尔气体的质量为摩尔气体的质量为M，则有则有及及代入理想气体状态方程代入理想气体状态方程可得可得理想气体的能量方程理想气体的能量方程温度的微观本质温度的微观本质温度的微观本质温度的微观本质上式表现了宏观量温度与微观量分子平均动能的关系，揭示上式表现了宏观量温度与微观量分子平均动能的关系，揭示了温度的本质。了温度的本质。二、道尔顿分压定律二、道尔顿分压定律混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。证明：证明：混合
11、气体的分子数密度混合气体的分子数密度混合气体各组分温度相同混合气体各组分温度相同混合气体的压强混合气体的压强7.4能量按自由度均分原理能量按自由度均分原理一、自由度的概念一、自由度的概念确定一个物体的空间位置所需要的确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标独立坐标数目。数目。火车火车下列物体看作质点时，自由度为多少？看作刚体时又为多少？下列物体看作质点时，自由度为多少？看作刚体时又为多少？质点质点1刚体刚体1轮船轮船2?飞机飞机3?xyO海面海面(x,y)Oyx轮船轮船（看作（看作刚体刚体）：）：确定质心：确定质心：(x,y)确定方向：确定方向：3个自由度个自由度xyzOOyzx飞机飞机（看作（
12、看作刚体刚体）：）：确定质心：确定质心：(x,y,z)确定转轴：确定转轴：确定方向：确定方向：6个自由度个自由度(x,y,z)细棒：细棒：xyzOOyzx确定质心：确定质心：(x,y,z)确定方位：确定方位：个自由度个自由度(x,y,z)气体分子的自由度：气体分子的自由度：刚性单原子分子刚性单原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子分子模型分子模型自由度自由度i二、能量按自由度均分原理二、能量按自由度均分原理或或其中其中沿沿x方向运动的平均平动动能方向运动的平均平动动能沿沿y方向运动的平均平动动能方向运动的平均平动动能沿沿z方向运动的平均平动动能方向运动的平均平动动能处
13、于平衡态的理想气体处于平衡态的理想气体（温度为（温度为T），气体分子在），气体分子在每一个每一个平动自由度平动自由度上的平均能量为上的平均能量为kT/2原因原因：碰撞碰撞不同自由度上的能量相互转化不同自由度上的能量相互转化不同自由度上的能量平均化不同自由度上的能量平均化玻耳兹曼玻耳兹曼假设：假设：处于平衡态的理想气体处于平衡态的理想气体（温度为（温度为T），），气体分子在气体分子在任何一个自由度任何一个自由度上的平均能量都相等上的平均能量都相等均为均为 。这就是。这就是能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理，简称，简称能能量均分定理量均分定理。刚性双原子分子的动能刚性双原子分子的动能平动动能
14、平动动能转动动能转动动能温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子温度较高时，双原子气体分子不能看作刚性分子，分子平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分。平均能量更大，因为振动能量也参与能量均分。分子动能分子动能刚性单原子分子刚性单原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性多原子分子刚性多原子分子分子模型分子模型自由度自由度总平均能量总平均能量kT/2kT/23kT理想气体分子的平均能量理想气体分子的平均能量i气体分子的自由度气体分子的自由度三、理想气体的内能三、理想气体的内能E理想气体分子动能之和理想气体分子动能之和1mol理想气体的内能：理想气体的内能：质量为质量为m、摩尔质量为、摩
15、尔质量为M的理想气体的内能：的理想气体的内能：理想气体的摩尔热容量理想气体的摩尔热容量7.5麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦麦克斯克斯韦（韦（JamesClerkMaxwell）英国物）英国物理学，数学家。提出在热平衡态时，气理学，数学家。提出在热平衡态时，气体体分子的数目按速率分布分子的数目按速率分布的统计规律。的统计规律。后来的物理学发展都证明了这种统计规后来的物理学发展都证明了这种统计规律的普遍意义。律的普遍意义。麦克斯韦的麦克斯韦的最大贡献最大贡献是建立了电磁场的基本方程组，得出是建立了电磁场的基本方程组，得出了电磁振荡以光的速度传播，从而彻底地否定了超距作用的错了电磁振荡以光的
16、速度传播，从而彻底地否定了超距作用的错误概念，并得出了光的本质是电磁波的结论。误概念，并得出了光的本质是电磁波的结论。一、分布的概念一、分布的概念某小槽宽度为某小槽宽度为xi 小球落入该槽的概率：小球落入该槽的概率：若小槽宽度为若小槽宽度为dx 小球落入该槽的概率：小球落入该槽的概率：?某一时刻理想气体分子的速率某一时刻理想气体分子的速率v的分布：的分布：vvvv长时间长时间“观测观测”理想气体分子的速率理想气体分子的速率v：v0+连续分布连续分布速率为速率为vi的概率为：的概率为：速率为速率为vv+dv的概率为：的概率为：?速率分布函数速率分布函数速率在速率在v附近的单位速率区间的分子数占分
17、子总数的附近的单位速率区间的分子数占分子总数的比率比率速率分布函数的实质是速率分布函数的实质是概率密度概率密度；速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件意义意义：二、麦克斯韦速率分布律二、麦克斯韦速率分布律分子质量分子质量T热力学温度热力学温度k玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数 18591859年，英国物理学家麦克斯韦在大量实验的基础上，年，英国物理学家麦克斯韦在大量实验的基础上，首先从理论上导出气体在热平衡状态时，其分子速率的分布首先从理论上导出气体在热平衡状态时，其分子速率的分布函数具有的数学形式。函数具有的数学形式。速率在速率在vv+dv间的分子数占总分子数的比率：间的分子数占总分子数的
18、比率：dvv1v2速率在速率在v1v2间的分子间的分子数占总分子数的比率：数占总分子数的比率：归一化条件：归一化条件：三、气体分子速率的三种统计平均值三、气体分子速率的三种统计平均值平均速率平均速率气体分子的速率气体分子的速率v离散分布离散分布：vvvv气体分子的速率气体分子的速率v连续分布连续分布：对于理想气体对于理想气体:方均根速率方均根速率气体分子的速率气体分子的速率v离散分布离散分布：气体分子的速率气体分子的速率v连续分布连续分布：比较比较对于理想气体对于理想气体:最概然速率最概然速率vpf(v)的极大值对应的的极大值对应的v值值vpT增大，氢气分子速率分布曲线的峰值向右漂移；曲线变得
19、平坦增大，氢气分子速率分布曲线的峰值向右漂移；曲线变得平坦273.15K时氢气分子时氢气分子T相同，相同，vp 氧氧d不碰撞不碰撞dd碰撞碰撞分子中心在分子中心在“管道管道”外外分子中心在分子中心在“管道管道”内内“管道管道”中的分子总数等于碰撞次数中的分子总数等于碰撞次数d1d22d二、分子的平均自由程二、分子的平均自由程分子在分子在连续连续两次碰撞之两次碰撞之间间自由运自由运动动的平均路程，称的平均路程，称为为分子的分子的平均自由程平均自由程，常用，常用表示。表示。7.8范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程实际气体实际气体T较高较高p较小较小p较大较大T较低较低?范德瓦尔斯范德瓦尔斯有吸引力的刚性
20、小球模型有吸引力的刚性小球模型理想气体理想气体r0OrEp一般物质分子一般物质分子理想气体分子理想气体分子刚性小球模型刚性小球模型r0OrEpOrEp有吸引力的刚有吸引力的刚性小球模型性小球模型r0OrEp范德瓦尔斯气体分子范德瓦尔斯气体分子与与理想气体分子理想气体分子比较比较:分子的实际活动空间变小分子的实际活动空间变小内部气体分子对内部气体分子对“表面表面”气体分子的吸引力气体分子的吸引力对容器壁的压强变小对容器壁的压强变小pi：内压强内压强单位面积上与容器壁碰撞的分子数单位面积上与容器壁碰撞的分子数内部分子对每一个碰壁分子的吸引力内部分子对每一个碰壁分子的吸引力nnOVp实际物质的等温线
21、实际物质的等温线液体区液体区气体区气体区汽液共存区汽液共存区OVp范德瓦尔斯范德瓦尔斯“气体气体”的等温线的等温线微观粒子微观粒子观察和实验观察和实验出出 发发 点点热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热热力学验证统计物理学，统计物理学揭示热力学本质力学本质二者关系二者关系无法自我验证无法自我验证不深刻不深刻缺缺 点点揭露本质揭露本质普遍，可靠普遍，可靠优优 点点统计平均方法统计平均方法力学规律力学规律总结归纳总结归纳逻辑推理逻辑推理方方 法法微观量微观量宏观量宏观量物物 理理 量量热现象热现象热现象热现象研究对象研究对象微观理论微观理论（统计物理学统计物理学）宏观理论宏观理论（热力学热力学）热力学与统计物理学的异同热力学与统计物理学的异同