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1、 第二章 随机变量 第二节 随机变量的分布 设设X是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量，它它可可能能取取的的值是值是 x1,x2,xn,为了描述随机变量为了描述随机变量 X，我们不仅需要知，我们不仅需要知道随机变量道随机变量X取哪些值，而且还应知道取哪些值，而且还应知道X取每个值的概率取每个值的概率.一、离散型随机变量的分布一、离散型随机变量的分布 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这个这个随机变量取值的概率规律随机变量取值的概率规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为例
2、例1 且且 定定义义1：设设 xk(k=1,2,n,)是是离离散型随机变量散型随机变量X的所有可能取值，称的所有可能取值，称 k=1,2,n,为为离离散散型型随随机机变变量量X的的概概率率分分布布或或概概率率函数函数.或可写为或可写为1、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的概率分布 称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的分布列的分布列 k=1,2,（1）（2）用这两条性质判断用这两条性质判断 一个二元序列是否是一个二元序列是否是 概率分布概率分布2、概率分布的基本性质、概率分布的基本性质 3、举例、举例 例例1.一批产品的废品率为一批产品的废品率为5 5，从中任意抽，从中任意抽取一个进
3、行检验，用随机变量取一个进行检验，用随机变量 来描述废来描述废品出现的情况，即写出品出现的情况，即写出 的分布。的分布。常常见的离散型随机的离散型随机变量的概率分布量的概率分布之一之一 (I)(I)两点分布两点分布 设设E E是一个只有两种可能结果的随机试验是一个只有两种可能结果的随机试验,用用=1 1,2 2 表示其表示其样本空本空间.P(P(1 1)=p,P()=p,P(2 2)=1-p)=1-pX()=1,=1 0,=2两点分布或两点分布或01分布分布例例2.产品有一、二、三等品及废品产品有一、二、三等品及废品4 4种，种，其一、二、三等品率和废品率分别为其一、二、三等品率和废品率分别为
4、6060、1010、2020、1010，任取一个产品检验其，任取一个产品检验其质量，用随机变量质量，用随机变量 描述检验结果并画出描述检验结果并画出其概率函数图。其概率函数图。例例3.用随机变量用随机变量 去描述掷一颗骰子的试去描述掷一颗骰子的试验情况。验情况。例例4.社会上定期发行一种奖券，每券社会上定期发行一种奖券，每券1 1元，元，中奖率为中奖率为 。某人每次购买。某人每次购买1 1张奖券，如张奖券，如果没有中奖，下次再继续购买果没有中奖，下次再继续购买1 1张，直到张，直到中奖为止。求该人购买次数中奖为止。求该人购买次数 的分布。的分布。例例5.盒内装有外形与功率均相同的盒内装有外形与
5、功率均相同的1515个灯个灯泡，其中泡，其中1010个螺口，个螺口，5 5个卡口，灯口向下个卡口，灯口向下放着。现在需用放着。现在需用1 1个螺口灯泡，从盒中任个螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就不再放回去。取一个，如果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数数 的分布。的分布。小结：求分布列问题小结：求分布列问题（1）先求随机变量的所有可能取值；）先求随机变量的所有可能取值；（2）再求取每个值的概率。）再求取每个值的概率。思考思考.将一颗骰子抛掷两次，以将一颗骰子抛掷两次，以 表示两表示两次所得点数之和，以次所得点数之和，
6、以 表示两次抛掷得到表示两次抛掷得到的小的点数。试求的小的点数。试求 ，的分布列。的分布列。二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 概率函数可以完全地描述一个离散型随概率函数可以完全地描述一个离散型随机变量，但连续型随机变量是无法用分布机变量，但连续型随机变量是无法用分布列来描述的。因为：列来描述的。因为：（1）连续型随机变量）连续型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值充满一个区间充满一个区间,不可列；不可列；（2）X取某一个具体的值的概率为零，取某一个具体的值的概率为零，意义不大。意义不大。例如：某公共汽车站每隔例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽分钟有一辆汽车通过，一位乘客对该汽车
7、的通车时间一车通过，一位乘客对该汽车的通车时间一无所知，则该乘客的候车时间是一个连续无所知，则该乘客的候车时间是一个连续型随机变量型随机变量X。（1）X的取值充满区间的取值充满区间0,5.（2）PX=2.859=0，无太大意义，无太大意义.（3）考虑）考虑PaXb =PXb PXa 对于连续型随机变量对于连续型随机变量X：Px1Xx2 对于离散型随机变量对于离散型随机变量X：PX=xk =PXxk PXxk-1。=Pxk-1Xxk =PXx2 PXx1。无论离散型无论离散型r.v.还是连续型还是连续型r.v.，都可以用，都可以用形如形如PXx的概率来统一描述，这就是随的概率来统一描述，这就是随
8、机变量的分布函数机变量的分布函数1、分布函数定义、分布函数定义 2、分布函数的性质、分布函数的性质 设设X()是一个随机是一个随机变量量（离散型或连续型），称函数（离散型或连续型），称函数 F(x):=PXx,-x 为随机随机变量量X的分布函数的分布函数.（1）有界性：）有界性：0F(x)1,-x；（2）单调性：）单调性：F(x)是是x的单调不减函数，即的单调不减函数，即若若x1x2，则，则F(x1)F(x2)；（3）（4）右连续性：）右连续性：F(x0)F(x)，x为任意实数；为任意实数；（5）利用分布函数计算概率：）利用分布函数计算概率：Px1x0=1F(x0)=1F(x00)3 3、离散
9、型随机变量的分布函数、离散型随机变量的分布函数例例1、求求01分布的分布函数，并画出图形。分布的分布函数，并画出图形。已知已知概率概率函数函数例例2、求掷一枚骰子所得的点数求掷一枚骰子所得的点数 的分布函的分布函数，并画出图形。数，并画出图形。例例3、求已知离散型随机变量求已知离散型随机变量 的分布函数的分布函数如下，求如下，求 的概率函数。的概率函数。离散型离散型r.v.r.v.的分布函数与概率函数的关系的分布函数与概率函数的关系（1）从概率函数求分布函数）从概率函数求分布函数离散型随机变量离散型随机变量X的分布函的分布函数图是阶梯曲线，在一切有数图是阶梯曲线，在一切有正概率的点正概率的点x
10、k 都有一个跳跃，都有一个跳跃，跃度为跃度为PX=xk 对对F(x)任何连续点任何连续点x，PXx 0。这一点对连续型。这一点对连续型随机变量也是成立的。随机变量也是成立的。（2）从分布函数求概率函数）从分布函数求概率函数=PX=xk pk=F(xk)F(xk-0)k=0，1，2，离散型在其分布函数离散型在其分布函数F(x)的所有跳跃间断点处取值，而的所有跳跃间断点处取值，而其概率则是跳跃的幅度。其概率则是跳跃的幅度。三、连续型随机变量的分布三、连续型随机变量的分布 虽然分布函数可以统一地描述离散型和连续虽然分布函数可以统一地描述离散型和连续型两类随机变量的概率规律，但是就离散型型两类随机变量
11、的概率规律，但是就离散型随机变量而言，用概率函数描述更为直观和随机变量而言，用概率函数描述更为直观和方便。方便。那么，对连续型随机变量，能不能也找到一那么，对连续型随机变量，能不能也找到一种更加方便和直观的描述方式呢？这就是连种更加方便和直观的描述方式呢？这就是连续型随机变量的概率密度。续型随机变量的概率密度。高高 尔尔 顿顿 钉钉 板板 试试 验验下面是我们用某大学大学生的身高的下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。数据画出的频率直方图。红线是拟红线是拟合的密度合的密度曲线曲线 可见，概率可见，概率PaXb 就是区间就是区间a,b上，红色曲线上，红色曲线f(x)之下的之下的曲
12、边梯形的面积。曲边梯形的面积。1、定义、定义 如果存在一非负实函数如果存在一非负实函数 f(x)，使随，使随机变量机变量X的分布函数的分布函数F(x)可以表示成可以表示成则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)称为称为X的概的概率分布密度函数，简称概率密度。记作率分布密度函数，简称概率密度。记作Xf(x)2、概率密度函数的性质、概率密度函数的性质（1）f(x)0；（2）；（3）区间概率）区间概率 PaXb 这两条性质是判断这两条性质是判断一个函数一个函数f(x)是否某是否某的概率密度的的概率密度的充要条件。充要条件。（4）在）在 f(x)的连续点的连续点 x 处，有处，有（5）连
13、续型取单点值的概率为）连续型取单点值的概率为0，即，即 （6）PaXb=PaXb=PaXb 对对 ，PX=a=0。=PaXb 要注意的是，密度函数要注意的是，密度函数 f(x)在某点在某点a处的处的高度，并不反映高度，并不反映X取值取值a的概率。但是，这的概率。但是，这个高度越大，则个高度越大，则X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大。也可以说，在某点密度曲线的高度反大。也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度。这就很映了概率集中在该点附近的程度。这就很直观的描述了连续型随机变量的概率规律。直观的描述了连续型随机变量的概率规律。f(x)x o例例1、在区间在区间4,
14、10上任意抛掷一个质点，上任意抛掷一个质点，用表示这个质点与原点的距离，则用表示这个质点与原点的距离，则 是一个是一个随机变量。如果这个质点落在随机变量。如果这个质点落在4,10上任一上任一子区间内的概率与这个区间的长度成正比，子区间内的概率与这个区间的长度成正比，求求 的分布函数和概率密度。的分布函数和概率密度。3、举例、举例常常见的的连续型连续型随机随机变量的概率分布量的概率分布之一之一 均匀分布均匀分布如果随机变量如果随机变量 的概率密度为的概率密度为则称则称 服从区间服从区间a,b上的均匀分布，记作上的均匀分布，记作 Ua,b。例例2、设连续型随机变量设连续型随机变量 的分布函数为的分
15、布函数为 F(x)=A+B arctanx，（1）确定常数）确定常数A，B；（2）求）求 的概率密度函数的概率密度函数 f(x)；（3）求）求 。例例3、设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 ，求：（求：（1）常数）常数A；（2）的分布函数的分布函数 F(x)；（3）落入区间落入区间 的概率。的概率。例例4、设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 且且 ，求常数，求常数a，b。复习与总结复习与总结(1)F(x)=PXx 求概率求概率:PaXb=F(b)-F(a)；(2)离散型，常用分布列描述离散型，常用分布列描述 F(x)与分布列的关系（略）与分布列的关系（略）求概率求概率:PaXb(3)连续型，常用概率密度连续型，常用概率密度 f(x)描述描述 F(x)和和f(x)的关系：的关系：求概率求概率:PaXb