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1、高等数学概率随机变量函数的分布第1页，此课件共23页哦一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣更感兴趣.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布的分布，求截面面积求截面面积A=的分布的分布第2页，此课件共23页哦又如：已知又如：已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等为电阻）的分布等.定义定义（课本（课本50页定义页定义2.10）：设）：设f(x)是定义在是定义在随机变量随机变量 的一切可能值的一切可能值 x 的集合上的函数。的集合上的函数。如果
2、对于如果对于 的每一可能取值的每一可能取值x，有另一个随机，有另一个随机变量变量 的相应取值的相应取值 y=f(x)则称则称 为为 的函数，的函数，记作记作 。第3页，此课件共23页哦 这个问题无论在实践中还是在理论上这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的都是重要的.由定义可知，随机变量由定义可知，随机变量 的函数的函数 也是也是一个随机变量，而且后者的分布由前者的一个随机变量，而且后者的分布由前者的分布完全确定。分布完全确定。那么如何从那么如何从 的分布求出它的函数的分布求出它的函数 的分布呢？的分布呢？第4页，此课件共23页哦二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布 解
3、：解：当当 取值取值1，0，1，2 时，时，取对应值取对应值2，1，0，1。而且而且 取某值与取某值与 取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生 的事件的事件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.例例1、设设r.v.的分布列如下，求的分布列如下，求 和和 的分布列。的分布列。第5页，此课件共23页哦故故 的分布列为的分布列为同理，当同理，当 以概率以概率 取值取值1，0，1，2 时，时，以相同概率取对应值以相同概率取对应值4，1，0，1。注意：注意：相当于相当于 或者或者 即即 第6页，此课件共23页哦故故 的分布列为的分布列为第7页，此课件共23页哦如果有一些如果有一些f(xk)
4、是相同的，把它们作适当的并是相同的，把它们作适当的并项即可，并项后的概率为它们的相应概率之和项即可，并项后的概率为它们的相应概率之和.一般，若一般，若 是离散型是离散型 r.v，其分布列为，其分布列为 则则 也是离散型也是离散型r.v，其分布列为，其分布列为第8页，此课件共23页哦例例2、设设r.v.的分布列如下，求的分布列如下，求 和和 的分布列。的分布列。第9页，此课件共23页哦例例3、一个仪器由两个主要部件组成，其总长度一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和。这两个部件的长度为此二部件长度之和。这两个部件的长度 、为两个相互独立的随机变量，其分布列如下。求为两个相互独立的
5、随机变量，其分布列如下。求此仪器长度的分布列。此仪器长度的分布列。解：设仪器的总长度为解：设仪器的总长度为 ，则，则第10页，此课件共23页哦而而 的所有可能取值为的所有可能取值为15，16，17，18。同理可求得同理可求得 ，独立独立第11页，此课件共23页哦故故 的分布列为的分布列为第12页，此课件共23页哦例例4、将两封信随机地往编号为将两封信随机地往编号为1，2，3，4的邮的邮筒内投，筒内投，表示第表示第 个邮筒内信的数目。求个邮筒内信的数目。求 的分布。的分布。解：解：的所有可能取值为的所有可能取值为0，1，2。第13页，此课件共23页哦故故 的分布列为的分布列为第14页，此课件共2
6、3页哦三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 例例5、设设r.v.的概率密度为的概率密度为 ，求，求 的概率密度的概率密度 。解：解：分布函数法分布函数法（1）求）求 的分布函数的分布函数 关键一步关键一步第15页，此课件共23页哦（2）两端对）两端对 y 求导求导 第16页，此课件共23页哦例例6、设设r.v.的概率密度为的概率密度为 ，求，求 的概率密度的概率密度 。解：解：分布函数法分布函数法（1）求）求 的分布函数的分布函数 注意：因注意：因 y 为为任意实数，而任意实数，而 ，所以，所以当当 时，时，。第17页，此课件共23页哦（2）两端对）两端对 y 求导求导 第
7、18页，此课件共23页哦在这几个例子中，我们使用了一种求在这几个例子中，我们使用了一种求连续型连续型r.v 的的函数函数 的分布的的分布的常用方法：常用方法：分分法法布布函函数数步骤一：求步骤一：求 的分布函数的分布函数 。步骤二：两端对步骤二：两端对 y 求导得求导得 。用用 的分布的分布函数函数 来表示来表示 第19页，此课件共23页哦例例7、设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 求求 的概率密度。的概率密度。第20页，此课件共23页哦例例8、设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度为的概率密度为 求求 的概率密度。的概率密度。第21页，此课件共23页哦例例9、设设r.v.的联合概率密度为的联合概率密度为 求求 的概率密度的概率密度 。第22页，此课件共23页哦第23页，此课件共23页哦