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1、5-2 典型环节与频率特性典型环节与频率特性5.2.1 典型环节典型环节幅频特性：幅频特性：；相频特性：；相频特性：比例环节：比例环节：;对数幅频特性：对数幅频特性：相频特性：相频特性：5.2.2 典型环节特性典型环节特性波德图实频特性实频特性：；虚频特性：；虚频特性：；ReImK幅频特性：幅频特性：；相频特性：；相频特性：比例环节的极坐标图为比例环节的极坐标图为实轴上的实轴上的K点。点。比例环节：比例环节：;极坐标图极坐标图 积分环节：积分环节：频率特性：频率特性：可见斜率为可见斜率为20/dec 当有两个积分环节时可见斜率为当有两个积分环节时可见斜率为40/dec 频率特性：频率特性：Re
2、Im积分环节的幅相图：积分环节的幅相图：积分环节的极坐标图为积分环节的极坐标图为负虚轴。频率负虚轴。频率w w从从0特性曲线由虚轴的特性曲线由虚轴的趋向原点。趋向原点。惯性环节惯性环节：对数幅频特性：对数幅频特性：，为，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当低频段：当 时，时，称为低频渐近线。，称为低频渐近线。高频段：当高频段：当 时，时，称为高频渐近线。，称为高频渐近线。这是一条斜率为这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示的直线（表示 每增加每增加10倍频程下降倍频程下降20分贝）。分贝）。当当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐
3、近线，当时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。时，趋近于高频渐近线。低频高频渐近线的交点为：低频高频渐近线的交点为：，得：，得：，称为转折频率或交换频率。，称为转折频率或交换频率。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。波德图误差分析波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当当 时，误差为：时，误差为：当当 时，误差为：时，误差为：最大误差发生在最大误差发生
4、在 处，为处，为w wT0.1 0.2 0.5 1 2 510L(w),(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04 渐近线渐近线,dB 0 000-6-14-20 误差误差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04 相频特性：相频特性：作图时先用计算器计算几个特殊点：作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w w0,-45)点点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅
5、仅是根化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。w wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45w wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4惯性环节的幅相图惯性环节的幅相图：
6、极坐标图极坐标图是是一个圆，对一个圆，对称于实轴。证明如下：称于实轴。证明如下：整理得：整理得：下半个圆对应于正频率部下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负分，而上半个圆对应于负频率部分。频率部分。振荡环节振荡环节：讨论讨论 时的情况。当时的情况。当K=1时，频率特性为：时，频率特性为：幅频特性为：幅频特性为：相频特性为：相频特性为：对数幅频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近线：低频段渐近线：高频段渐近线：高频段渐近线：两两渐进线的交点渐进线的交点 称为转折频率。斜率为称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。几个特征点：由图可见：由图可见：对数相频特性曲线对数相频特性曲线在半对数坐标系中
7、在半对数坐标系中对于对于(w w0,-90)点是点是斜对称的。斜对称的。对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线有峰值。有峰值。振荡环节的波德图振荡环节的波德图相频特性：对对 求导并令等于零，可解得求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率的极值对应的频率 。该频率称为谐振频率。可见，当该频率称为谐振频率。可见，当 时，时，。当当 时，无谐振峰值。当时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。时，有谐振峰值。谐振频率，谐振峰值谐振频率，谐振峰值当当 ，。因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。有很大的误差。振荡环节的波德图振荡环节
8、的波德图左图是不同阻尼系数情况下的左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。渐近线之间的误差曲线。实频、虚频、幅频和相频特性分别为：实频、虚频、幅频和相频特性分别为：振荡环节的幅相图振荡环节的幅相图：讨论讨论 时的情况。当时的情况。当K=1时，频率特性为：时，频率特性为：当当 时，时，曲线在曲线在3，4象限；当象限；当 时，与之对称时，与之对称于实轴。于实轴。振荡环节的奈氏图振荡环节的奈氏图实际曲线还与阻尼系数实际曲线还与阻尼系数有关
9、有关振荡环节的奈氏图振荡环节的奈氏图由图可见无论是欠由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本统，其图形的基本形状是相同的。形状是相同的。当过阻尼时，阻尼当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越系数越大其图形越接近圆。接近圆。纯微分环节的波德图纯微分环节的波德图5.纯微分：纯微分：纯微分的幅相图：纯微分的幅相图：纯微分环节的奈氏图纯微分环节的奈氏图ReIm微分环节的极坐标图为微分环节的极坐标图为正虚轴。频率正虚轴。频率w w从从0特性曲线由原点趋向虚特性曲线由原点趋向虚轴的轴的+。6.一阶微分：一阶微分：这是斜率为这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为的直线。
10、低、高频渐进线的交点为相频特性：几个特殊点如下相频特性：几个特殊点如下相角的变化范围从相角的变化范围从0到到 。低频段渐进线：低频段渐进线：高频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：对数幅频特性（用渐近线近似）：一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图一阶微分环节的奈氏图一阶微分环节的奈氏图一阶微分的幅相图：一阶微分的幅相图：ReIm一阶微分环节的极坐标一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。图为平行于虚轴直线。频率频率w w从从0特性曲线特性曲线相当于纯微分环节的特相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单性曲线向右平移一个单位。位。幅频
11、和相频特性为：幅频和相频特性为：7.二阶微分环节：二阶微分环节：低频渐进线：低频渐进线：高频渐进线：高频渐进线：转折频率为：转折频率为：，高频段的斜率，高频段的斜率+40dB/Dec。相相角：角：可见，相角的变化范围从可见，相角的变化范围从0180度。度。二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的波德图二阶微分环节的波德图二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性二阶微分环节幅相图：二阶微分环节幅相图：幅频和相频特性为：幅频和相频特性为：5.2.3 最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统定义：在右半定义
12、：在右半S S平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节平面上既无极点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是的系统是最小相位系统最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半数；反之，在右半S S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是的系统是非最小相位系统非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。递函数。比例环节：比例环节：惯性环节惯性环节：一阶微分：一阶微分：振荡环节：二阶微分：结论：结论：结论：结论：惯性、一阶微分、振荡、二阶微分惯性、一阶微分、振荡、二阶微分惯
13、性、一阶微分、振荡、二阶微分惯性、一阶微分、振荡、二阶微分及其对及其对及其对及其对应的非最小相位环节：幅频特性相同应的非最小相位环节：幅频特性相同应的非最小相位环节：幅频特性相同应的非最小相位环节：幅频特性相同,相频特性相反。相频特性相反。相频特性相反。相频特性相反。幅相曲线关于实轴对称，幅相曲线关于实轴对称，幅相曲线关于实轴对称，幅相曲线关于实轴对称，对数幅频特性相同；对数幅频特性相同；对数幅频特性相同；对数幅频特性相同；相频相频相频相频特性关于特性关于特性关于特性关于00线对称。（课本线对称。（课本线对称。（课本线对称。（课本P170P170图）图）图）图）非最小相位比例环节：非最小相位比
14、例环节：幅频特性：幅频特性：；相频特性：；相频特性：幅频特性：幅频特性：；相频特性：；相频特性：最小相位比例环节：最小相位比例环节：最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。延迟环节传递函数：频率特性：5.2.4 开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制q 将开环系统的频率特性写成将开环系统的频率特性写成 或或 的形的形式，根据不同的式，根据不同的 算出算出 或或 可在复平面上得到不可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。（手工画法）。同的点并连之为曲线。（手工画法）。绘制方法绘制方法：4要点：起点、终点、象限、与实轴交点要点：起点、终
15、点、象限、与实轴交点1 起点起点(低频段)当 时，2 终点终点(高频段)当 时，显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。n-m=3n-m=1n-m=23 渐近线计算：渐近线计算：=0时，时，P(0)，Q(0)4 与实轴的交点：与实轴的交点：令令Q()=0,得得,再求再求P（）例例5-2（P176）型系统开环传递函数为型系统开环传递函数为 绘制系统的开环幅相频率特性。绘制系统的开环幅相频率特性。解解：起点起点显然，当显然，当 时，时，的渐近线是一条通过实轴的渐近线是一条通过实轴 点，点，且平行于虚轴的直线。且平行于虚轴的直线。终点终点与实轴的交点：与实轴的交点：这时：
16、这时：解得：解得：5.2.5 开环对数频率特性曲线（开环对数频率特性曲线（bode图）图）开环系统频率特性：开环系统频率特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：且有：且有：由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。例例：开环系统传递函数为：开环系统传递函数为：，试，试画出该系统的波德图。画出该系统的波德图。解解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画
17、在一张图上。节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。然后，在图上相加。然后，在图上相加。实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。即第一条折线，其斜率为即第一条折线，其斜率为 ，过点（过点（1，20lgk）。）。实际上是实际上是k和积分和积分 的曲线。的曲线。q 确定低频渐进线：确定低频渐进线：q 确定确定 和各转折频率和各转折频率 ，并将这些，并将这些频率从小到大依次标注在频率轴上；频率从小到大依次标注在频率轴上；具体步骤如下：具体步骤如下：q 高频渐
18、进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。q 相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到 （一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;遇到 （二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec;q 画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：遇到 （一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;遇到 （二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;例例5-3系统开环特性为：系统开环特性为：试画出波德图幅频特性。试画出波德图幅频特性。解解：1、该系统是、该系统是0型系统，所以型系统，所以则则2、低频渐进线：斜率为、低频渐进线：斜率为 ，过点（，过点（1，20）3、波德图
19、如下：、波德图如下：例例5-4：设开环频率特性为：设开环频率特性为试绘制其近似的对数幅频特性曲线。试绘制其近似的对数幅频特性曲线。解：解：1、令令 L()=0 得：得：转折频率：转折频率：2、低频渐进线斜率为、低频渐进线斜率为 ，延长线过（，延长线过（1，-60）点。）点。3、高频渐进线斜率为、高频渐进线斜率为：截止频率：截止频率：L()和和0dB 的交点频率的交点频率c。截止频率的计算：截止频率的计算：非最小相位系统的频率特性在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具并且最
20、小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具有内在的关系。有内在的关系。对最小相位系统：对最小相位系统：=0时时()=)=9090积分环节个数积分环节个数 ；=时时()=)=9090(n-m)。不满足上述条件一定不是最小相位系统。不满足上述条件一定不是最小相位系统。满足上述条件却不一定是最小相位系统。满足上述条件却不一定是最小相位系统。对于最小相位系统，对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯一对应幅值特性和相位特性之间具有唯一对应关系关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然
21、；但是这频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这个结论对于非最小相位系统不成立。个结论对于非最小相位系统不成立。例例有两个系统，频率特性分别为：有两个系统，频率特性分别为：转折频率都是：转折频率都是：幅频特性相同，均为：幅频特性相同，均为：相频特性不同，分别为：相频特性不同，分别为：显然，显然，满足满足 的条件，是最小相位系统；的条件，是最小相位系统；而而 不满足不满足 的条件，是非最小相位系统。的条件，是非最小相位系统。可以发现：在右半平面有一个零点。可以发现：在右半平面有一个零点。最小相位系统最小相位系统非最小相位系统非最小相位系统 该两个系统的波德图如下所示：该两个系统的波
22、德图如下所示：5.2.6 传递函数的频域实验确定传递函数的频域实验确定正弦信号源正弦信号源记录仪表记录仪表被测对象被测对象由频率响应实验确定数学模型由频率响应实验确定数学模型通过实验方法测得对数幅频曲线和对数相频曲线。通过实验方法测得对数幅频曲线和对数相频曲线。用斜率为用斜率为 0dB/dec、20dB/dec、-20dB/dec、40dB/dec、-40dB/dec 等直线近似，得近似对数幅频曲线。等直线近似，得近似对数幅频曲线。根据近似对数幅频曲线和对数相频曲线，写出被测对象根据近似对数幅频曲线和对数相频曲线，写出被测对象的传递函数。的传递函数。*根据直线近似所得传递函数的对数相频曲线要与
23、实验曲线根据直线近似所得传递函数的对数相频曲线要与实验曲线基本一致，特别是在低频和高频段应当严格相符。基本一致，特别是在低频和高频段应当严格相符。例：已知最小相位例：已知最小相位系统的渐近幅频特系统的渐近幅频特性如图所示，性如图所示，试确定系统的传递函数，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。并写出系统的相频特性表达式。解：解：由于低频段斜率为由于低频段斜率为-20dB/dec所所以有一个积分环节；以有一个积分环节；在在w w=1处，处，L(w w)=15dB，可得可得 20lgK=15，K=5.6在在w w=2处，处，斜率由斜率由-20dB/dec变为变为-40dB/dec，故有
24、惯性环节故有惯性环节1/(s/2+1)在在w w=7处，处，斜率由斜率由-40dB/dec变为变为-20dB/dec，故有一阶微分环节故有一阶微分环节(s/7+1)例：已知最小相位例：已知最小相位系统的渐近幅频特系统的渐近幅频特性如图所示性如图所示,试确定系统的传递函数试确定系统的传递函数。解：解：由于低频段斜率为由于低频段斜率为-40dB/dec所所以有两个积分环节；以有两个积分环节；在在w w=0.8处，处，斜率由斜率由-40dB/dec变为变为-20dB/dec，故有一阶微分环节故有一阶微分环节(s/0.8+1)在在w w=30处，处，斜率由斜率由-20dB/dec变为变为-40dB/dec，故有惯性环节故有惯性环节1/(s/30+1)在在w w=50处，处，斜率由斜率由-40dB/dec变为变为-60dB/dec，故有故有惯性环节惯性环节(s/50+1)在在w w=4时，时，L(w w)=0，这时可以不考虑转折频率在这时可以不考虑转折频率在w w=4以上的环节的影响以上的环节的影响