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1、24.2.2直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 -切线的判定切线的判定 经过经过半径的外端半径的外端且且垂直垂直于这条半于这条半径的直线是圆的切线。径的直线是圆的切线。条件：条件：(1)经过半径的外端；经过半径的外端；圆的切线判定定理：圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；垂直于过该点半径；OAllOA，OA为半径为半径直线直线l是是O的切线的切线数数学学语语言言表表达达1.过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（)3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）4.圆
2、心与直线上一点的距离等于半径长圆心与直线上一点的距离等于半径长,则此直线为圆则此直线为圆 的切线的切线 ()5.过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线()OOr rl lA AOOr rl lA AOOr rl lA A OAl如何判定一条直线是已知圆的切线？如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)(1)与圆与圆只有一个公共点只有一个公共点的直线是圆的直线是圆 的切线；的切线；(2)(2)到圆心的到圆心的距离等于半径距离等于半径的直线的直线 是圆的切线；是圆的切线；(3)(3)过半径外端点且和半径垂直过半径外端点且和半径垂直 的的直线是圆的切
3、线；直线是圆的切线；(d=r(d=r)1、矩形的两边长分别为、矩形的两边长分别为2.5和和5，若以较，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（圆相切的线段最多有（）A、0条条 B、1条条 C、2条条 D、3条条D基础练习基础练习2 2、已知如图、已知如图ABCABC内接于内接于 O，过点，过点A A作直线作直线EFEF，ABAB为直径为直径,还需添加的还需添加的条件是条件是.使得使得EFEF是是 O的切的切线。线。FECOBAOOB BA AC C分析：由于分析：由于ABAB过过O O上的点上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只要
4、证明，只要证明 即可。即可。证明证明：连结连结OC(OC(如图如图)。OAOAOB,CAOB,CACB,CB,ABOC ABOC。又又 OCOC为半径为半径 AB AB是是O O的切线。的切线。已知：直线已知：直线ABAB经过经过O O上的点上的点C C，且，且OA=OB,CA=CBOA=OB,CA=CB求证：直线求证：直线ABAB是是O O的切线。的切线。例题讲解（例题讲解（1）AB OC已知：已知：O O为为BACBAC平分线上一点，平分线上一点，ODABODAB于于D,D,以以O O为圆心，为圆心，ODOD为半径作为半径作O O。求证：求证：O O与与ACAC相切。相切。OOA AB B
5、C CE ED D证明：过证明：过O O作作OEACOEAC，垂足为，垂足为E E。AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD OD OD是是O O的半径的半径 OEOE是是O O的半径的半径 ACAC是是O O的切线。的切线。例题讲解（例题讲解（2）练习练习1 1与练习与练习2 2的证法有何不同的证法有何不同?(1)(1)如果已知直线经过如果已知直线经过圆上一点圆上一点,则连结这点和则连结这点和圆心圆心,得到辅助得到辅助半径半径,再证所作半径与这直线再证所作半径与这直线垂直垂直。简记为：简记为：连半径连半径,证垂直。证垂直。(2)(2)如果已知条件中如果已知条件中不知
6、不知直线与圆是否有公共直线与圆是否有公共点点,则过圆心则过圆心作作直线的直线的垂线段垂线段为辅助线为辅助线,再证垂线段再证垂线段长等于半径长。简记为：长等于半径长。简记为：作垂直作垂直,证半径。证半径。OOB BA AC COOA AB BC CE ED DO P1、已知：、已知：P为为 O外外一点，以一点，以OP为直径为直径作圆交作圆交 O于于A、B两两点，连接点，连接PA、PB那么那么PA、PB是是 O的的切线吗？切线吗？AB练习练习2.2.如图如图,ABC,ABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的O O交边交边BCBC于于P P，BP=PC,PEACBP=PC,PEAC于于E E。求证
7、求证:PE:PE是是O O的切线。的切线。OOA AB BC CE EP P证明：连结证明：连结OPOP。OB=OAOB=OA，BP=PCBP=PC，OPACOPAC。又又 PEACPEAC，PEOPPEOP。PEPE为为0 0的切线。的切线。2.2.如图如图,ABC,ABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的O O交边交边BCBC于于P P，BP=PC,PEACBP=PC,PEAC于于E E。求证求证:PE:PE是是O O的切线。的切线。OOA AB BC CE EP P6.如图，如图，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O为为 底边底边BC的中点，的中点，OD AB，以，以O为为 圆心圆心O
8、D为半径作为半径作 O，求证：求证：AC与与 O相切相切.OACDB小结小结1.1.判定切线的方法有哪些？判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线2.2.证明圆的切线常用辅助线作法：证明圆的切线常用辅助线作法：连半径，证垂直连半径，证垂直 作垂直，证半径作垂直，证半径l是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线判定定理判定定理(半径半径+垂直垂直)1.如图如图,线段线段AB经过圆心经过圆心O,交交 O于点于点A,C,BADB30,边边BD交圆于点交
9、圆于点D。求证：求证：BD是是 O的切线的切线OABCD2.如图，在如图，在ABC中中 ABC=90，以，以AB为直径的为直径的O交交AC于于D，E是是BC的的中点，连接中点，连接ED 求证：求证：DE是是O的切线的切线OACBED3.如图，已知，如图，已知，AB是是O直径，直径，BC AB于于B，O的弦的弦AD OC，求证：求证：DC是是O的切线的切线DOBCA4.如图如图,ABC中中,AC=BC,以以BC为直径的为直径的 O交交AB于于D，过点，过点D作作DE AC 于点于点E，交交BC的延长线于点的延长线于点FCBODFEA求证：（求证：（1）AD=BD；（2）DF是是 O的切线的切线 5.已知已知:如图如图,梯形梯形ABCD中，中，ADBC，C=90，AD+BC=AB，以，以AB为为 直径作直径作 O.求证：求证：CD为为 O的切线的切线.AODCB