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1、11.111.1内容回顾内容回顾1.定义定义2.性质性质(略略)3.计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 空间曲线弧的参数方程为空间曲线弧的参数方程为则则一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三三*、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系 11.2 对坐标的曲线积分 第十一章第十一章 一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xo
2、y 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点 B,求移求移“分割分割”“近似近似”“求求(近似近似)和和”“(取取)极限极限”变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.1)“分割分割”.2)“近似近似”把把L分成分成 n 个小弧段个小弧段,有向小弧段有向小弧段近似代替近似代替,则有则有所做的功为所做的功为F 沿沿则则用有向线段用有向线段 上任取一点上任取一点在在3)“求求(近似近似)和和”4)“(取取)极限极限”(其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)另一方面另一方面,从积分应用的微元
3、法得从积分应用的微元法得所以所以L这就是下面要讲的这就是下面要讲的2.定义定义.设设 L 为为xoy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对若对 L 的的任意任意分割；分割；在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中其中,L 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线.称为称为被积函数被积函数,在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数若极限若极限都都存在，存在，记作记作在L上有界在局部弧段上在局部弧段上任意任意取点取点作积；作积；求和；求和；并取并取极限极
4、限若若 为空间曲线弧为空间曲线弧,记记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记,对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作类似地类似地,3.性质性质(2)若有向弧若有向弧 L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧Li(i=1,2,k)(3)用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧,则则则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.但不是第一类的特例但不是第一类的特例说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!(1)设设、为常数为常数,则则(线性运算性质线性运算性质)(
5、可加性可加性)(积分弧段的有向性积分弧段的有向性)物理意义物理意义是变力沿曲线作是变力沿曲线作功功.二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数方程为的参数方程为则曲线积分则曲线积分连续连续,证明过程同样要用到函数的一致连续性证明过程同样要用到函数的一致连续性(从略从略).存在存在,且有且有注意注意:下下(上上)限分别对应起限分别对应起(终终)点的参数点的参数(),不一定有不一定有 0)的公共部分的公共部分.提示提示:由于被积函数缺由于被积函数缺 x,y,原式原式=利用利用“先二后一先二后一”计算方便计算方便.P1838(1).计算积分计算积分其中其中 是是两个球两个球(R 0)的公共部分的公共部分.提示提示:先一后二先一后二,原式原式=P183002=8(3).计算三重积分计算三重积分其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线x=5所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:如图如图:原式原式绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面P183