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1、关于对坐标的曲线积分第一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月一、一、对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义第四张，PPT共三十七页，创
2、作于2022年6月一、一、对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义第五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月变力沿曲线作功变力沿曲线作功分割分割:求和求和:取极限取极限:取近似取近似:力力 设一质点在设一质点在xoy面内从点面内从点A沿曲线沿曲线L移移动到点动到点B变力所作的功变力所作的功?第六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月一、一、对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线积分的定义第七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月一、一、对坐标的曲线积分的概念对坐标的曲线积分的概念（一）引例（二）对坐标的曲线
3、积分的定义第八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月定义定义类似地类似地,如果如果总存在总存在,则称此极限为函数则称此极限为函数在有向曲线弧在有向曲线弧L上上 对坐标对坐标y的曲线积分的曲线积分,记作记作设设L为为xOy面内从点面内从点A到点到点B的一条有向曲线弧的一条有向曲线弧,函数函数在在L上有界上有界.在在L上沿上沿L的方向任意一点列的方向任意一点列把把L分成分成n个有向小个有向小弧段弧段设设点点为为上任意取定上任意取定小弧段长度的最大值小弧段长度的最大值时时,则称此极限为函数则称此极限为函数在有向曲线弧在有向曲线弧L上上积分积分,记作记作的点的点,如果当各如果当各的极限总存在的极限
4、总存在,对坐标对坐标x的曲线的曲线第九张，PPT共三十七页，创作于2022年6月l注注应用中经常出现组合形式的第二类曲线积分应用中经常出现组合形式的第二类曲线积分(1)(1)(2)(2)函数函数P(x,y)在有向光滑曲线弧在有向光滑曲线弧L上连续时上连续时,存在存在.通常记为通常记为或或其中其中即即其中其中叫做被积函数叫做被积函数,叫做积分弧段叫做积分弧段.以上两个积分也称为第二类曲线积分以上两个积分也称为第二类曲线积分.第十张，PPT共三十七页，创作于2022年6月函数在空间有向曲线弧函数在空间有向曲线弧上对坐标的曲线积分上对坐标的曲线积分通常将通常将记作记作第十一张，PPT共三十七页，创作
5、于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第十三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月线性性质线性性质可加性可加性与方向有关与方向有关第十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标
6、的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第十五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第十六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月设设P(x,y)、Q(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上有定义且连续上有定义且连续,定理定理则曲线积分则曲线积分且且存在存在,L的参数方程为的参数方程为（t=对应对应L的起点，的起点，t=对应对应L的终点）的终点）其中其中在以在以及及为端点的闭区
7、间上具有连续导数为端点的闭区间上具有连续导数,且且第十七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月l注注(1)(1)对坐标的曲线积分的计算归结为计算一个对坐标的曲线积分的计算归结为计算一个定积分定积分!(2)(2)化为定积分中的三个变化化为定积分中的三个变化在上述公式中在上述公式中,起点对应下限起点对应下限,终点对应上限终点对应上限.L,或或,P(x,y)Q(x,y)(3)(3)口诀口诀:变量参数化、一小二起下变量参数化、一小二起下.(4)(4)dxdy第十八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月特例特例(1)(1)L：(2)(2)L：推广推广空间曲线弧空间曲线弧：（x=a 对应对应L的起
8、点，的起点，x=b 对应对应L的终点）的终点）（y=c 对应对应L的起点，的起点，y=d 对应对应L的终点）的终点）（t=对应对应的起点，的起点，t=对应对应的终点）的终点）第十九张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分计算思路对坐标的曲线积分计算思路明确明确L的方程的方程化为定积分化为定积分三变、一注意积分弧段积分弧段L被积函数被积函数积分元素积分元素一点注意一点注意起点对应下限起点对应下限计算定积分计算定积分,或或,明确明确选择选择参数方程参数方程确定确定起点和终点对应的参起点和终点对应的参数值数值第二十张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分解题思路对
9、坐标的曲线积分解题思路对坐标的曲线积分解题模板对坐标的曲线积分解题模板L:明确明确选择选择确定确定t由由变变到到起点终点对应的起点终点对应的参数值参数值必写必写!明确明确L的方程的方程化为定积分化为定积分计算定积分计算定积分由由 得得L的方程为的方程为:L的方程为的方程为:第二十一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月计算计算其中其中L是抛物线是抛物线上点上点到点到点的一段弧的一段弧.u例例1 1u例例2 2其中其中L 为为计算计算(1)(1)按逆时针方向绕行的上半圆周按逆时针方向绕行的上半圆周.(2)(2)从点从点沿沿x轴到点轴到点的直线段的直线段.l注注正确选择正确选择L的方程对计算的
10、繁的方程对计算的繁简非常重要简非常重要!l注注被积函数相同、起点和终点也相同，但积分被积函数相同、起点和终点也相同，但积分路径不同，积分值可能不相等路径不同，积分值可能不相等!第二十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月u例例3 3计算计算其中其中L为为(1)(1)抛物线抛物线上从上从到到的一段弧的一段弧.(2)(2)抛物线抛物线上从上从到到的一段弧的一段弧.(3)(3)有向折线有向折线坐标依次为坐标依次为(0,0),(1,0),(1,1).注注积分路径不同，积分值可能相等积分路径不同，积分值可能相等!u例例4 4到点到点的直线段的直线段AB.计算计算其中其中为为从点从点第二十三张，PP
11、T共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第二十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第二十五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月变力沿曲线作功变力沿曲线作功u例例5 5xoy设一个质点在设一个质点在M(x,y)处受到力处受到力的作用的作用,沿椭圆沿椭圆的大小与的大小与M
12、到原点的距离成正比到原点的距离成正比,的方向恒指向原点的方向恒指向原点.此质点由点此质点由点A(a,0)按逆时针方向移动到按逆时针方向移动到点点B(0,b),求力求力所作的功所作的功W.第二十六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分之间的联系第二十七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、对坐标的曲线积分的应用五、两类曲线积分
13、之间的联系第二十八张，PPT共三十七页，创作于2022年6月L的参数方程的参数方程t=对应对应起点起点AL上任一点上任一点M(x,y)处的切向量为处的切向量为(的指向与的指向与L方向一致方向一致)t=对应终点对应终点B第二十九张，PPT共三十七页，创作于2022年6月L的参数方程的参数方程t=对应对应起点起点AL上任一点上任一点M(x,y)处的切向量为处的切向量为(的指向与的指向与L方向一致方向一致)t=对应终点对应终点B第三十张，PPT共三十七页，创作于2022年6月L的参数方程的参数方程t=对应对应起点起点AL上任一点上任一点M(x,y)处的切向量为处的切向量为(的指向与的指向与L方向一致
14、方向一致)t=对应终点对应终点B的方向余弦的方向余弦第三十一张，PPT共三十七页，创作于2022年6月L的参数方程的参数方程t=对应对应起点起点AL上任一点上任一点M(x,y)处的切向量为处的切向量为(的指向与的指向与L方向一致方向一致)t=对应终点对应终点B第三十二张，PPT共三十七页，创作于2022年6月L的参数方程的参数方程t=对应对应起点起点AL上任一点上任一点M(x,y)处的切向量为处的切向量为(的指向与的指向与L方向一致方向一致)t=对应终点对应终点B的方向余弦的方向余弦第三十三张，PPT共三十七页，创作于2022年6月L的参数方程的参数方程t=对应对应起点起点AL上任一点上任一点
15、M(x,y)处的切向量为处的切向量为(的指向与的指向与L方向一致方向一致)t=对应终点对应终点B第三十四张，PPT共三十七页，创作于2022年6月L的参数方程的参数方程t=对应对应起点起点AL上任一点上任一点M(x,y)处的切向量为处的切向量为(的指向与的指向与L方向一致方向一致)t=对应终点对应终点B第三十五张，PPT共三十七页，创作于2022年6月L的参数方程的参数方程t=对应对应起点起点AL上任一点上任一点M(x,y)处的切向量为处的切向量为(的指向与的指向与L方向一致方向一致)t=对应终点对应终点B、：L在点在点(x,y)处的切向量的方向角处的切向量的方向角类似可得类似可得第三十六张，PPT共三十七页，创作于2022年6月感感谢谢大大家家观观看看第三十七张，PPT共三十七页，创作于2022年6月