数值积分和数值微分yj.ppt-淘文阁

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1、数值分析数值分析计算定积分有微积分基本公式但很多函数找不到原函数，如等。而实际上，有很多函数只知一些离散点的函数值，并无表达式，这就需要利用已知条件求出近似值。第第5章章数值积分与数值微分数值积分与数值微分 x x1 12 23 34 45 5f f(x x)4 44.54.56 68 88.58.5科大研究生学位课程数值分析数值分析数值积分数值积分/Numerical Integration/Numerical Integration/定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合是离散点上的函数值的线性组合称为求积系数,与f(x)无关,与积分区间和求积节点求积节点有关称为数值积分公式称

2、为数值积分公式数值积分问题可分解为下述三个问题：1、求积公式的具体构造问题；、求积公式的具体构造问题；(包括包括xi的选取和的选取和Ai的构造的构造)3、精确性程度的衡量标准问题。、精确性程度的衡量标准问题。2、余项估计问题、余项估计问题(亦即误差估计问题亦即误差估计问题)；求积公式的误差求积公式的误差 RfI*fIf科大研究生学位课程数值分析数值分析1、解决第一个问题；节点、解决第一个问题；节点xi 和和系数系数Ai如何选取，即选取原则如何选取，即选取原则两个目标：两个目标：1、余项估计问题；求积公式的误差、余项估计问题；求积公式的误差 RfI*fIf尽可能小。尽可能小。2、求积公式的代数精

3、度尽可能高。、求积公式的代数精度尽可能高。2、解决第二个问题；依赖插值多项式的余项估计公式。、解决第二个问题；依赖插值多项式的余项估计公式。3、对于第三个问题；引进代数精度的概念、对于第三个问题；引进代数精度的概念科大研究生学位课程数值分析数值分析定义定义5.1 若求积公式对(x)=xj(j=0,1,2,m)都精确成立,但对(x)=xm+1不精确成立,即则称此公式具有具有m次代数精度次代数精度.可见,若公式具有m次代数精度,则公式对所有次数不超过m的多项式都精确成立.注意：注意：、求积公式的误差是计算精度的度量标志，而代数精度、求积公式的误差是计算精度的度量标志，而代数精度是求积公式优良性能

4、的标志。是求积公式优良性能的标志。2、求积公式的误差小，不代表代数精度高。代数精度高，、求积公式的误差小，不代表代数精度高。代数精度高，也不代表求积公式的误差小。它们没有必然联系。也不代表求积公式的误差小。它们没有必然联系。科大研究生学位课程数值分析数值分析例例 1 1 确定形如确定形如确定形如确定形如的求积公式，使其代数精度尽可能高。数值求积公式为解解令公式对(x)=1,x,x2都精确成立,则 A0+A1+A2=3 A1+3A2=4.5 A1+9A2=9解之得:A0=0,A1=9/4,A2=3/4.例例2 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?

5、科大研究生学位课程数值分析数值分析解得:A0=A2=1/3,A1=4/3.求积公式为当(x)=x3时,左=0,右=0,公式也精确成立.解解令公式对(x)=1,x,x2 都精确成立,则 A0+A1+A2=2 -A0+A2=0 A0+A2=2/3当(x)=x4时,左=2/5,右=2/3,公式不精确成立.所以,此公式的代数精度为3.科大研究生学位课程数值分析数值分析例例3 试确定参数A0,A1和x0,x1,使求积公式具有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?解解令公式对(x)=1,x,x2,x3都精确成立,则 A0+A1=2 A0 x0+A1x1=0 A0 x02+A1x12=2/3 A0

6、 x03+A1x13=0解得:求积公式为求积公式的代数精度为3。科大研究生学位课程数值分析数值分析5.1 插值型求积公式插值型求积公式思思路路利用利用插值多项式插值多项式，则积分易算。，则积分易算。在在a,b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多项式多项式，即得到，即得到Ak由由决定，决定，与与无关。无关。节点节点 f(x)插值型积分公式插值型积分公式误差误差科大研究生学位课程数值分析数值分析例：例：对于对于a,b上上1次插值，有次插值，有考察其代数精度。考察其代数精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯形公式/*trapezoidal rule*

7、/解解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 P0=1：=代入代入 P1=x：=代入代入 P2=x2：代数精度代数精度=1定理定理：形如形如的求积公式至少有的求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度该该公式公式为为插值型插值型（即：（即：）科大研究生学位课程数值分析数值分析为了简化计算,取等距节点xk=a+kh,(k=0,1,2,n,则有令则有称为Newton-Cotes公式公式.Ck(n)称为Cotes系数.(5.6)它不仅与它不仅与函数函数f(x)无关，而且与无关，而且与积分区间积分区间a,b无关。无关。科大研究生学位课程数值分析数值分析设(x)C2a,b,取

8、n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差.计算Cotes系数于是有5.2 几个常用的求积公式几个常用的求积公式从几何上看从几何上看:用梯形的面用梯形的面积近似曲边梯形的面积。积近似曲边梯形的面积。所以公式=T也称为梯形公式梯形公式,记为T.5.2.1 梯形公式及其误差梯形公式及其误差科大研究生学位课程数值分析数值分析称之为Simpson公式公式或抛物线公式抛物线公式，记为S.构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a),H3(b)=(b),于是有证明Simpson公式对不高于三次三次的多项式精确成立精确成立,即这时插值误差为=S.设(x)C4a,b,取n=2时的Newton-C

9、otes公式并估计误差.解解计算Cotes系数 5.2.2 辛普森公式及其误差辛普森公式及其误差科大研究生学位课程数值分析数值分析于是有科大研究生学位课程数值分析数值分析由于构造Newton-Cotes公式需要Cotes系数,将其列表如下:科大研究生学位课程数值分析数值分析牛顿求积公式：代数精度代数精度=3牛顿公式及其误差牛顿公式及其误差科大研究生学位课程数值分析数值分析取取n n=4=4的的Newton-CotesNewton-Cotes公式及误差公式及误差.查表可得于是有称之为Cotes公式，公式，记为C。其误差为其中,xk=a+kh,k=0,1,2,3,4,h=(b-a)/4.代数精

10、度代数精度=55.2.3 科茨公式及其误差科茨公式及其误差科大研究生学位课程数值分析数值分析一般地,Newton-Cotes公式的截断误差为例例1 用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式求积分.的近似值。解解 IT=1/2*(4+2)=3IS=1/6*(4+12.8+2)=3.13333IC=1/90*(28+14)=3.14212科大研究生学位课程数值分析数值分析5.3 复化求积公式复化求积公式高次插值有高次插值有Runge 现象现象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复化复化求积公式。求积公式。复化梯形公式：复化梯形

11、公式：在每个在每个上用梯形公式：上用梯形公式：=Tn科大研究生学位课程数值分析数值分析可见,复化梯形公式是收敛的。而且,要使|RTn|,只要如果记M2=复化梯形公式的误差为，则有若在每个小区间上的积分采用Simpson公式,则可得到复化复化Simpson公式公式:科大研究生学位课程数值分析数值分析复化复化 Simpson 公式：公式：44444=Sn误差为如果记M4=，则有复化Simpson公式也是收敛的,而且,要使|RSn|,只要科大研究生学位课程数值分析数值分析例例已知函数分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算积分解解的数据表x xk k(x xk k)x xk k(x

12、 xk k)x xk k(x xk k)0 01 13/83/80.97672670.97672673/43/40.90885170.90885171/81/80.99739780.99739781/21/20.95885110.95885117/87/80.87719260.87719261/41/40.98961580.98961585/85/80.93615560.93615561 10.84147100.8414710的近似值。I精确到精确到数点后数点后7位的位的值是值是0.9460831。科大研究生学位课程数值分析数值分析例例利用复化梯形公式和复化Simpson公式分别计算上例中

13、定积分,若使精度=10-6,问各需取n为多少?解解因为(x)=,所以有于是有对复化梯形公式,若使|RTn|10-6,只要故应取n=167.对复化Simpson公式,若使|RSn|10-6,只要故只需取n=3.实际上,S3=0.9460838.科大研究生学位课程数值分析数值分析变步长求积方法变步长求积方法实际的积分计算问题，很难根据误差实际的积分计算问题，很难根据误差|Rf|0时时,总有总有Rf-0.这说明这说明,只需只需 h 充分小充分小,必可满足误差要必可满足误差要求求.因此为计算积分，通常采取因此为计算积分，通常采取逐步缩小步长逐步缩小步长的办法。的办法。例如应用复化梯形求积公式时，

14、注意当前步长为h时,有科大研究生学位课程数值分析数值分析可见步长减半时这表明算出T(h)后，为算T(h/2)，只需计算新增节点xi-1/2=a+(i-1/2)h(i=1,n)处的函数值f(xi-1/2)，将它们的和乘新步长h/2，再加上T(h)的一半。利用T(h)和T(h*)还可近似误差估计,称之事后误差估计事后误差估计.科大研究生学位课程数值分析数值分析对于复化梯形公式n等分区间h=(b-a)/n2n等分区间近似有：由此引入龙贝格求积方法。3事后误差估计公式事后误差估计公式科大研究生学位课程数值分析数值分析由此得记T(h)=Tn,T(h/2)=T2n 一方面，若|T2n-Tn|3,则有近似

15、误差|I*-T2n|.5.4 Romberg5.4 Romberg求积公式求积公式求积公式求积公式所以有另一方面，(4T2n-Tn)/3应比Tn和T2n的近似程度更好.事实上,有其中,xk=a+kh,k=0,1,2,n,h=(b-a)/n,科大研究生学位课程数值分析数值分析而且有于是有因此有逐次分半的复化梯形公式的递推公式：而且，要使=Sn只要科大研究生学位课程数值分析数值分析复化Simpson公式能加工成更高精度的公式吗?由复化Simpson公式的误差估计式有：科大研究生学位课程数值分析数值分析所以有由此得一方面，若|S2n-Sn|15,则有近似误差|I*-S2n|.另一方面,(16S2

17、-1)(m=1,2,3,4).则有若对Romberg求积公式作组合也有科大研究生学位课程数值分析数值分析 Romberg算法：算法：?T1=)0(1T T8=)3(1T T4=)2(1T T2=)1(1T S1=)0(2T R1=)0(4T S2=)1(2T C1=)0(3T C2=)1(3T S4=)2(2T科大研究生学位课程数值分析数值分析实际计算可按下表顺序进行 k k区间等分数区间等分数n n=2=2k k梯形公式梯形公式T T1 1(k)(k)SimpsonSimpson公式公式T T2 2(k)(k)CotesCotes公式公式T T3 3(k)(k)RombergRomber

18、g公式公式T T4 4(k)(k)0 01 12 23 34 4 1 12 24 48 81616 T T1 1(0)(0)T T1 1(1)(1)T T1 1(2)(2)T T1 1(3)(3)T T1 1(4)(4)T T2 2(0)(0)T T2 2(1)(1)T T2 2(2)(2)T T2 2(3)(3)T T3 3(0)(0)T T3 3(1)(1)T T3 3(2)(2)T T4 4(0)(0)T T4 4(1)(1)例例利用Romberg积分公式计算积分科大研究生学位课程数值分析数值分析解解按递推公式计算,结果如下可见,由于|T1(4)-T1(3)|=0.0019531

19、,应有|I*-T1(4)|0.000651033.k kn n=2=2k kT T1 1(k k)T T2 2(k k)T T3 3(k k)T T4 4(k k)0 01 12 23 34 41 12 24 48 816163.00000003.00000003.10000003.10000003.13117653.13117653.13898853.13898853.14094163.14094163.13333333.13333333.14156873.14156873.14159253.14159253.14159263.14159263.14211773.14211773.14159

20、413.14159413.14159263.14159263.14158583.14158583.14159263.1415926由于|T2(3)-T2(2)|=0.0000001,应有|I*-T2(3)|0.00000000667.由于|T3(2)-T3(1)|=0.0000015,应有|I*-T3(2)|0.00000002381.由于|T4(1)-T4(0)|=0.0000068,应有|I*-T4(1)|=2时就很难求解时就很难求解.故一般不通过解非线性方程求故一般不通过解非线性方程求，而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.此方法称为用此方法称为

21、用此方法称为用此方法称为用待定系数法待定系数法待定系数法待定系数法构造高斯求积公式构造高斯求积公式构造高斯求积公式构造高斯求积公式.利用利用利用利用正交多项式正交多项式正交多项式正交多项式构造高斯求积公式构造高斯求积公式构造高斯求积公式构造高斯求积公式.科大研究生学位课程数值分析数值分析定理定理是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过与任何次数不超过的多项式的多项式带权带权正交，正交，即即求积公式求积公式(*)的节点的节点为了构造高斯求积公式的节点为了构造高斯求积公式的节点,有下述结论有下述结论.Gsuss点应是n

22、+1次正交多项式的零点。科大研究生学位课程数值分析数值分析(2)求出pn+1(x)的n个零点x0,x1,xn 即为Gsuss点.(1)求出区间a,b上权函数为(x)的正交多项式pn+1(x).(3)再计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法型求积公式的构造方法一是采用施密特正交化方法.如何求正交多项式pn+1(x).另是借用现成的正交多项式函数组.科大研究生学位课程数值分析数值分析解解按 Schemite 正交化过程作出正交多项式:的2点Gauss公式.求积分例：=x科大研究生学位课程数值分析数值分析故两点Gauss公式为积分系数为P2(x)的两个零点为一些现成的正交多项式组有 1.

23、Legendre多项式科大研究生学位课程数值分析数值分析 2.Chebyshev多项式 Tn(x)=cos(narccosx)x-1,1,n=0,1,2,是区间-1,1上权函数(x)=正交多项式。3.Laguere多项式是区间0,+)上权函数(x)=e-x 的正交多项式。科大研究生学位课程数值分析数值分析区间-1,1上权函数(x)=1的Gauss型求积公式,称为Gauss-Legendre求积公式求积公式,其Gauss点为Legendre多项式的零点.几种几种GaussGauss型求积公式型求积公式 (1)Gauss-Legendre求积公式求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表

24、中查到.n nx xk kA Ak kn nx xk kA Ak k1 10 02 26 60.93246951420.93246951420.66120938650.66120938650.23861918610.23861918610.17132449240.17132449240.36076157300.36076157300.46791393460.46791393462 20.57735026920.57735026921 13 30.77459666920.77459666920 00.55555555560.55555555560.88888888890.88888888897

25、70.94910791230.94910791230.74153118560.74153118560.40584515140.40584515140 00.12948496620.12948496620.27970539150.27970539150.38183005050.38183005050.41795918370.41795918374 40.86113631160.86113631160.33998104360.33998104360.34785484510.34785484510.65214515490.65214515498 80.96028985650.96028985650.

26、79666647740.79666647740.52553240990.52553240990.18343464250.18343464250.10122853630.10122853630.22238103450.22238103450.31370664590.31370664590.36268378340.36268378345 50.90617984590.90617984590.53846931010.53846931010 00.23692688510.23692688510.47862867050.47862867050.56888888890.5688888889科大研究生学位课

27、程数值分析数值分析例用3点Gauss公式计算积分解解查表得x0=-0.7745966692,x1=0,x2=0.7745966692,A0=A2=0.5555555556,A1=0.8888888889,所以有 Gauss-Legendre求积公式的余项为误差为实际上,I*=2sin1=1.68294197,误差为|R|=6.15810-5.用Simpson公式,则有I*1.69353487,误差为|R|=1.0610-2.科大研究生学位课程数值分析数值分析由于因此,a,b上权函数(x)=1的Gauss型求积公式为例用3点Gauss公式计算积分结果远比Simpson公式的结果精确

28、.解解这里Gauss点和积分系数与上例相同,所以求积误差可表示为科大研究生学位课程数值分析数值分析区间0,)上权函数(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点.(2)Gauss-Laguerre求积公式公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到.n nx xk kA Ak kn nx xk kA Ak k2 20.58588643760.58588643763.41421356233.41421356230.85355339050.85355339050.14644660940.1464466

29、0945 50.26356031970.26356031971.41340305911.41340305913.59642577103.59642577107.08581000587.085810005812.640800844212.64080084420.52175561050.52175561050.39866681100.39866681100.07594244970.07594244970.00361175870.00361175870.00002337000.00002337003 30.41577455670.41577455672.29428036022.29428036026

30、028994508296028994508290.71109300990.71109300990.27851773350.27851773350.01038925650.01038925656 60.22284660410.22284660411.18893210161.18893210162.99273632602.99273632605.77514356915.77514356919.83746741839.837467418315.982873980615.98287398060.45896467930.45896467930.41700083070.41700083070.113373

31、38200.11337338200.01039919750.01039919750.00026101720.00026101720.00000089850.00000089854 40.32254768960.32254768961.74576110111.74576110114.53662029694.53662029699.39507091239.39507091230.60315410430.60315410430.35741869240.35741869240.03888790850.03888790850.00053929470.0005392947科大研究生学位课程数值分析数值分析

32、Gauss-Laguerre求积公式为求积公式的误差为由于所以,对0,+)上权函数(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:科大研究生学位课程数值分析数值分析数值微分数值微分就是用离散方法近似地求出函数在某点的导数值就是用离散方法近似地求出函数在某点的导数值.5.6 数值微分数值微分后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均方法的算术平均.但它的误差阶却由但它的误差阶却由提高到提高到按照按照Taylor展开原理可得展开原理可得其中其中h步长。步长。5.6.1.差商法差商法科大研究生学位课程

33、数值分析数值分析设Ln(x)是(x)以a=x0 x1xn=b为节点的n次Lagrange插值多项式,则取当(x)Cn+1+ka,b时,有5.6.2 插值型求导公式插值型求导公式特别,当k=1时有如果仅限定在节点xi处求导,则有科大研究生学位课程数值分析数值分析如取n=1的线性插值L1(x)=(x-x0)(x1)-(x-x1)(x0)/h,(其中h=x1-x0)可得数值微分的二点公式:如取n=2的等距节点(x2-x1=x1-x0=h)抛物线插值:L2(x)=(x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2 则有 L2(x)=(2x

34、-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2 L2(x)=2(x0)-4(x1)+2(x2)/2h2 L2(x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2 科大研究生学位课程数值分析数值分析可得数值微分的三点公式:科大研究生学位课程数值分析数值分析由由向后差商公式向后差商公式有有由三点公式有由三点公式有精确值精确值。例例例例已知函数已知函数f(x)=ex的数据位：的数据位：f(2.6)=13.4637,f(2.7)=14.8797f(2.8)=16.4446.用二点、三点公式计算用二点、三点公式计算f(x)在在x=2.7处的一阶、二阶导处的一阶、二阶导数的近似值。数的近似值。解：由向前差商公式得解：由向前差商公式得由由中心差商公式中心差商公式有有科大研究生学位课程数值分析数值分析练练习习题题第第116页页习题习题55.1-5.4,5.13-5.14 科大研究生学位课程

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