数值积分和数值微分.ppt

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1、数值积分和数值微分现在学习的是第1页，共24页第五章第五章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分 本章主要介绍积分和微分问题本章主要介绍积分和微分问题的数值解法用来解决一些复杂函数的数值解法用来解决一些复杂函数的积分和微分。的积分和微分。现在学习的是第2页，共24页5.1 数值求积的基本思想badxxfI)(1)分割 先疏一些 2)近似小梯形 3)求和iniixf1)(4)求极限 图形加密两次图5.1xoybay=f(x)现在学习的是第3页，共24页5.1 数值求积的基本思想更一般地，可在b a,上适当选取某些节点ix，然后用)(xf加权平均构造求积公式的近似表达式 badxxf)(niiix

2、fA0)(式中 ix 称为求积节点，iA称为求积系数(或称为伴随节点ix的权)。其基本思想是将积分求值问题归结为函数值的计算，避开了寻求原函数的困难。现在学习的是第4页，共24页求积公式的代数精确度kx构造数值求积公式的关键是由这些条件来确定求积节点和求积系数kA零次精度abAnkk-0ab在满足零次精度的基础上若满足下列公式，则为一次精度)(21220abxAnkkk-ab如果某求积公式对于次数 m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1 次多项式不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。在满足m-1次精度的基础上,若满足下列公式，则为m次精度)(11110-mmnkmkkabmxA现在学

3、习的是第5页，共24页插值型求积公式插值型求积公式构造数值求积公式的关键是由这些条件来确定求积节点kx和求积系数kA用被积函数的插值多项式来代替被积函数,可得到插值型求积公式1n个求积节点bxxxxan210n次 Lagrange 插 值 多 项 式nkkknxlxfxL0)()()(nkkknbanxfAdxxLI0)()(.,1,0,)(nkdxxlAbakk其 中-nkjjjkjkxxxxxl0)(现在学习的是第6页，共24页N-C型求积公式型求积公式Newton-cotes 求 积 公 式 是 等 距 节 点 情 况 下 的 插 值 型 求 积 公 式。-nkknknxfcabI0)(

4、)()(其 中),1,0(nkkhaxk nabh-),1,0()()!(!)1(0)(nkdtjtknkncnonkjjknnk-现在学习的是第7页，共24页N-C型求积公式型求积公式1n时 21)1(1)1(0 cc得梯形公式 )()(21bfafabI-Y=L(x)xby0aBAY=f(x)图5.2现在学习的是第8页，共24页N-C型求积公式型求积公式 61,32,61)2(2)2(1)2(0ccc得 simpson 公式)()2(4)(62bfbafafabI-是否n越大越好呢?BCAY=L(x)x0ybaY=f(x)2n时现在学习的是第9页，共24页复化复化N-C型求积公式型求积公式

5、,2776.2,4902.542II,3288.36I5956.3,941.1108II经计算得。可见数列nI是发散的。-101)()(nkxxbakkdxxfdxxf.6516.24211442-tgxdxI复化求积的基本思想是：细分求积区间，在每个小区间上使用低阶的求积公式。现在学习的是第10页，共24页复化复化N-C型求积公式（续）型求积公式（续）复化梯形公式复化梯形公式)()(2)(211-nkknbfxfafhT复复 化化Simpson公公 式式)()(2)(4)(6101121 -nknkkknbfxfxfafhS例例0703463164.12)1(21cos0-exdxex现在学

6、习的是第11页，共24页复化复化N-C型求积公式（续）型求积公式（续）表表 5-2复复化化梯梯形形求求积积复复化化 Simpson 求求积积N数数值值求求积积结结果果nT真真实实误误差差渐渐近近误误差差数数值值求求积积结结果果nS真真实实误误差差渐渐近近误误差差2-17.3892595.324.96-11.984944-8.54E-2-1.02E-14-13.3360231.721.24-12.064209-6.14E-3-6.38E-38-12.3821623.12E-13.10E-1-12.069951-3.95E-4-3.99E-416-12.1480047.77E-27.76E-2-1

7、2.070321-2.49E-5-2.49E-532-12.0897421.94E-21.94E-2-12.070345-1.56E-6-1.56E-664-12.0751944.85E-34.85E-3-12.070346-9.73E-8-9.73E-8128-12.0715581.21E-31.21E-3-12.070346-6.08E-9-6.08E-9256-12.0706493.03E-43.03E-4512-12.0704227.57E-57.57E-5表表 5-2列出了等分列出了等分,0的等分数的等分数512,256,128,64,32,16,8,4,2n时用时用复化梯形公式和用

8、复化复化梯形公式和用复化 Simpson 公式求积的结果、真实误差值以及渐近误差公式求积的结果、真实误差值以及渐近误差估计值估计值.从表中也明显可见复化从表中也明显可见复化 Simpson求积优于复化梯形求积。求积优于复化梯形求积。现在学习的是第12页，共24页例例计算计算dxex10的近似值，使它具有的近似值，使它具有 5 位准确的有效数字。问至少应当位准确的有效数字。问至少应当把把,ba几等分几等分?.,),(122bafhabTIn-exfnh)(1得得212neTIn-110-edxex 具有一位整数故42102112-ne 解出3132.67n由由nT的的误误差差表表达达式式:现在学

9、习的是第13页，共24页Romberg算法算法,1 kkxx)()(211 kkxfxfhT),.,1,0(,nknabhkhaxk-,ba)()(2)(41212 kkkxfxfxfhT)(21121 kkkxxx)(2212112 kxfhTT一般性一般性-10212)(221nkknnxfhTT)2)12(22112 -ninnnabiafnabTT变步长积分法变步长积分法,1 kkxx(一一)复化梯形复化梯形求积求积步长的二分步长的二分,.)2,1(n21 kx现在学习的是第14页，共24页Romberg算法算法(续续)-10212)(221nkknnxfhTT表表 5-3k12345

10、nT0939793309445135094569090945985009460585k678910nT0946076909460815094608270946083009460831可可见见 方方法法 1 收收敛敛速速度度慢慢。下下面面来来讨讨论论方方法法 2,如如何何来来加加速速收收敛敛?其中其中 h 为为 n 等分时的小区间长度等分时的小区间长度例例:计算计算 10sindxxxI1.用变步长积分法用变步长积分法kn2 2.用用 Romberg 积分法积分法(k 二分区间的次数二分区间的次数)0 00.92073550.92073551 10.93979330.93979330.94614

11、590.94614592 20.94451350.94451350.94608690.94608690.946082970.946082973 30.94569090.94569090.946083370.94608337 0.946083130.946083130.94608310.9460831k)(0kT)(1kT)(2kT)(3kT现在学习的是第15页，共24页nT0 00.92073550.92073551 10.93979330.93979330.94614590.94614592 20.94451350.94451350.94608690.94608690.946082970.9

12、46082973 30.94569090.94569090.946083370.94608337 0.946083130.946083130.94608310.9460831)(0kT)(1kT)(2kT)(3kTknSnCnR记记)2()(kmkmhTT 其中其中,上标上标(k)表示二分次数，表示二分次数，下标下标 m 表示加速的次数。表示加速的次数。)()1(1)(1kmkmkmTTT-144)(1)1(1)(-mkmkmmkmTTT复复化化梯梯形形求求积积 的的递递推推化化)0(3)1(2)2(1)3(0)0(2)1(1)2(0)0(1)1(0)0(0TTTTTTTTTT12481241

13、21RCSTCSTSTTkm现在学习的是第16页，共24页加速过程由 41)()(12)()(12)(2222-afbfhafbfTITIhnn 得nnTTI41432-nnTTI31342-可以证明nnTT31342-就是nSnnTT2,的线性组合 1442-nnTT上升到了nS类似地 nnnCSS-144222这就是加速过程现在学习的是第17页，共24页表 5.4 中各数的计算次序为:)3(0)2(1)1(2)0(3)2(0)1(1)0(2)1(0)0(1)0(0,IIIIIIIIII表 5-4nn2)0(mI)1(mI)2(mI)3(mI)4(mI01)0(0I)1(0I)2(0I)3(

14、0I)4(0I12)0(1I)1(1I)2(1I)3(1I24)0(2I)1(2I)2(2I38)0(3I)1(3I416)0(4I其中下标m表示分半次数，上标(n)表示加速的次数。现在学习的是第18页，共24页Gauss型求积公式型求积公式1n的节点的求积公式nkkkbaxfAdxxf0)()(能否具有12n次代数精度呢?能,只 要 适 当 选 取),1,0(,nkxk插值型求积公式nkkkbaxfAdxxf0)()(，具有12 n次代数精度的充分必要条件是以这些节点(Gauss点),1,0(,nkxk为零点的多项式-niixxx0)()(与任意一个次数不超过n的多项式)(xp都正交，即.0

15、)()(dxxxpba现在学习的是第19页，共24页Gauss型求积公式型求积公式n阶插值求积公式的 Gauss 点可以取为相应的1n次正交多项式的零点1kA=dxxlkba)(2通过求解线性方程组abAnkk-0)(21220abxAknkk-)(2212222120-nnnknkkabnxAGauss 点确定后,求积系数kA的确定有两种方法现在学习的是第20页，共24页具体的Gauss型求积公式的例0n取 1 次 Legendre 多项式为xxp)(1-)0()(011fAdxf令它对1)(xf精确成立解得20A因此，0n的 Gauss-Legendre 求积公式为-)0(2)(11fdx

16、xf现在学习的是第21页，共24页具体的Gauss型求积公式的例1n取两次 Legendre 多项式)13(21)(22-xxp的两个零点，31为 Gauss点使求积公式对xxf,1)(精确成立。-0313121010AAAA可得：解得110 AA得1n的 Gauss-Legendre 求积公式-)31()31()(11ffdxxf现在学习的是第22页，共24页具体的Gauss型求积公式的例同理2n时，)35(21)(33xxxp-可构造三点 Gauss-Legendre 求积公式)515(95)0(98)515(95)(11fffdxxf-现在学习的是第23页，共24页数值微分差商近似法：用差商近似代替微商hafhafaf)()()(-；hhafafaf)()()(-；hhafhafaf2)()()(-01010)()(1)(xxhxfxfhxf-其中用hxhxx2,000上的函数)(xf的二次插值)(2xp的导数)(02xp来近似)(0 xf 得三点求导公式：)()(4)(321)(2100 xfxfxfhxf-插值型求导公式用10,xx上函数)(xf的线型插值)()()(101001011xfxxxxxfxxxxxp-的导数)(01xp来近似)(0 xf 得微分公式现在学习的是第24页，共24页