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1、石台中学石台中学 卢磊卢磊问题情境一问题情境一问题问题1:1:如何说明粉笔盒里有什么颜色的粉笔？如何说明粉笔盒里有什么颜色的粉笔？问题问题2 2：某人看到树上有一只乌鸦，深有感触地说：某人看到树上有一只乌鸦，深有感触地说：“天下乌鸦一般黑天下乌鸦一般黑”。问题问题3 3：费马费马(Fermat)曾经提出一个猜想：曾经提出一个猜想：形如形如Fn22n+1(n=0,1,2)的数都是质数的数都是质数不不完全归完全归纳法纳法 完全归纳法完全归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法论的推理方法 考察考察全体全体对象对象,得到一般结论得到一般结论的推理方法的推
2、理方法考察考察部分部分对象对象,得得到一般结论的推到一般结论的推理方法理方法归纳法分为归纳法分为完全归纳法完全归纳法 和和 不不完全归纳法完全归纳法结论结论一定一定可靠可靠结论结论不一定不一定可靠可靠归纳法归纳法问题情境二问题情境二猜想：猜想：如何证明这个猜如何证明这个猜想的正确性呢想的正确性呢？验证验证:同理得同理得正整数正整数无数个无数个!啊啊,有完有完没完啊没完啊?播放视频播放视频你你认认为为证证明明数数列列的的通通项项公公式式是是 这这个个猜猜想想与与上上述述多多米米诺诺骨骨牌牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？（
3、1）当）当n=1时，猜想成立时，猜想成立根根据据（1）和和（2），可可知知对对任任意意的的正正整整数数n，猜猜想想都成立。都成立。（1）第一块骨牌倒下。）第一块骨牌倒下。（2）若若第第k块块倒倒下下时时，则则相相邻邻的的第第k+1块块也也倒下。倒下。根根据据（1）和和（2），可可知知不不论论有有多多少少块块骨骨牌牌，都能全部倒下。都能全部倒下。多米诺骨牌游戏原理多米诺骨牌游戏原理通项公式为通项公式为 的证的证明方法明方法（2）若若当当n=k时时猜猜想想成成立，即立，即 ，则当，则当n=k+1时猜想也成立，时猜想也成立，即即 一般地，一般地，证明一个证明一个与正整数与正整数n有关的数学命题，有关
4、的数学命题，可按下列步骤进行：可按下列步骤进行：（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题时命题成立成立;（2 2）假设当）假设当n=k(kNn=k(kN*,k n,k n0 0)时命题成立时命题成立 证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立 。由由(1)(2)(1)(2)可知命题对从可知命题对从 开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立。都成立。这种证明方法这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法数学归纳法【归纳递推归纳递推】【归纳奠基归纳奠基】1）第一步应做什么？此时第一步应做什么？此时n0=，左，左=，2）假设
5、）假设n=k时命题成立，即时命题成立，即 当当n=k时，等式左边共有时，等式左边共有项，项，第第k项是项是 。k k2思思考考？112例例1用数学归纳法证明用数学归纳法证明3）当）当n=k+1时，命题的形式是时，命题的形式是4）此时，左边增加的项是）此时，左边增加的项是5)从左到右如何变形？从左到右如何变形？例例1用数学归纳法证明用数学归纳法证明证明证明：那么当那么当n=k+1时，时，（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时左边时左边121，右边，右边1，等式成立。等式成立。这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立时等式也成立根据（根据（1）和（）和
6、（2），可知等式对任何），可知等式对任何n N都成立都成立如上证明是否存在问题，为什么？如上证明是否存在问题，为什么？第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。课堂练习：用数学归纳法证明用数学归纳法证明:当当证证明：明：当当n=1时时，左，左边边1,右右边边=1设设n=k时时，有，有即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据可知，对可知，对n N，等式成立，等式成立。等式成立。等式成立。那么，当那么，当n=k+1时，时，证明证明:(1)当当n=1时时左左1，右，右121n=1时，等式成立时，等式成立(2)假设假设n=k时，等式成立，
7、即时，等式成立，即1+3+5+(2k 1)=k2 那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时命题成立时命题成立由由(1)、(2)可知等式对任何可知等式对任何n N*都成立都成立递推基础递推基础递推依据递推依据正解：正解：一，一，数学归纳法数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有两个步骤、一个结论主要有两个步骤、一个结论:（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0（如（如 n n0 0=1=1或或2 2等）时命题成立等）时命题成立
8、（2 2）假设）假设n=kn=k时命题正确，证明时命题正确，证明n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立（3 3）由（）由（1 1）、（）、（2 2）得出结论）得出结论归纳小结归纳小结二，二，数学归纳法也是一种完全归纳法，它是在可靠的基数学归纳法也是一种完全归纳法，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限有限”的手段，的手段，来解决来解决“无限无限”的问题，它克服了完全归纳法的繁杂，不的问题，它克服了完全归纳法的繁杂，不可行的特点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，可行的特点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁，由特殊到一般，由有限到使我们认识到事情由简到繁，由特殊到一般，由有限到无限的过程。无限的过程。作业作业:P P96 96 A A组组1 1，2 2课堂练习2：P95 练习练习1、2；