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1、数学归纳法数学归纳法( (一一) )丹阳市第五中学丹阳市第五中学孔帮新孔帮新江宁高中 徐明满费尔马(1601.81665.1)，法国数学家。 的数都是质数的数都是质数任何形如任何形如猜想猜想于是他用归纳推理提出于是他用归纳推理提出都是质数，都是质数，)( 126553712257121712512*222243212Nnn (费马猜想)670041764142949672971225522 是一个合数：是一个合数：时，时，nn结论是错误的结论是错误的。江宁高中 徐明满问题一引例引例 在数列在数列na中中, 1a1, nnnaaa11(n ),*N先计算先计算,2a,3a4a的值，的值，na如何
2、证明你如何证明你的结论的结论?再猜想通项再猜想通项的公式。的公式。江宁高中 徐明满问题二 从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样一个保证:“当你这一次摸出是白球,则下一次摸出的一定也是白球.” 能判断这个袋子里装的全是白球吗?能判断。能判断。介绍多米诺骨牌效应思考思考多米诺成功的条件是什么？江宁高中 徐明满多米诺成功的关键有两点：多米诺成功的关键有两点：(1) (1) 第一张牌被推倒；第一张牌被推倒； 举几则生活事例：推倒自行车举几则生活事例：推倒自行车, , 早操早操排队对齐等排队对齐等(2) (2) 假如某一张牌倒下假如某一张牌倒下, , 则它的则它的后一张牌必定倒下后一
3、张牌必定倒下我们可以下结论我们可以下结论: :多米诺骨牌会全部倒下多米诺骨牌会全部倒下 江宁高中 徐明满骨牌倒下 命题成立第一块骨牌倒下 n=1时猜想成立假设第k块骨牌倒下保证第k+1块骨牌倒下 假设n=k猜想成立能证出n=k+1时猜想成立第n块骨牌倒下 猜想原命题成立实验步骤与证明步骤类比实验步骤与证明步骤类比江宁高中 徐明满什么是数学归纳法？对于某些与正整数与正整数n有关的命题有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：1.先证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0时命题成立；时命题成立；2.然后假设当然后假设当n=k(k N*，kn0)时时命题成立，证明当命题成立，证明当n=k+1时命
4、题也时命题也成立。成立。这种证明方法就叫做。数学归纳法数学归纳法江宁高中 徐明满验证n=n0时命题成立若n=k(kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳推理命题对从n0开始所有的正整数n都成立江宁高中 徐明满(1) 第一步，是否可省略？ 不可以省略不可以省略。(2)第二步，从第二步，从n=k(kn0)时命题成立的假设出发，时命题成立的假设出发， 推证推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，为什么还时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？要把它当成条件呢？这一步是在第一步的正确性的基础上，证明这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性传递性。反例想一想江宁高
5、中 徐明满2) 12(.531nn证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是1122k) 1k2(.531那么那么例1.用数学归纳法证明:当 Nn江宁高中 徐明满222) 1k (1k2k 1) 1k ( 2 k 1) 1k ( 2 ) 1k2 (.531这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。江宁高中 徐明满1）第一步应做什么？此时第一步应做什么？此时n0= ，左，左=，2）假设）假设n=k时命题成立，即时命题成立，即6) 12)(1(3212222k
6、kkk 当当n=k时，等式左边共有时，等式左边共有项，项， 第第k项是项是 。k k2思考？思考？112例例2用数学归纳法证明用数学归纳法证明6)12)(1(3212222nnnn Nn江宁高中 徐明满3）当）当n=k+1时，命题的形式是时，命题的形式是61) 1(21) 1() 1() 1(32122222kkkkk4）此时，左边增加的项是）此时，左边增加的项是2)1(k5)从左到右如何变形？从左到右如何变形？江宁高中 徐明满证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是163216) 12)
7、(1(3212222kkkk那么那么用数学归纳法证明用数学归纳法证明6) 12)(1(3212222nnnn Nn江宁高中 徐明满61) 1(21) 1() 1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6) 1(6) 12)(1() 1(6) 12)(1() 1(32122222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkk这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。江宁高中 徐明满如下证明对吗？如下证明对吗？证明：证明：当当n=1时，左边时，左边1右边右边1等式成立。等式成立。设设n=k时，有时，有2k) 1k2(.5312) 1k(2) 1k(1) 1k( 21 1) 1k( 2) 1k2(.531即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据问可知，对问可知，对nN，等式成立，等式成立。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。江宁高中 徐明满证明：证明：首项是首项是a1 , 公比是公比是 q 的等比的等比 数列的通项公式是数列的通项公式是 an=a1qn1. 江宁高中 徐明满小结小结重点：重点：两个步骤、一个结论；两个步骤、一个结论；注意：注意：递推基础不可少，递推基础不可少， 归纳假设要用到，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉。