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1、控制工程基础控制工程基础第2章 控制系统的动态数学模型本章主要内容：（1）建立控制系统的数学模型：质量-弹簧-阻尼系统、电路、电机等。（2）控制系统的分析工具：拉普拉斯变换及其反变换。（3）经典控制理论的基本概念：传递函数。（4）控制系统的图形表示：传递函数方块图。2.1 基本环节数学模型系统的数学模型：数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型：在静态条件下（变量各阶导数为零）描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统
2、进行分析与综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。经典控制理论所采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论所采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态特性或过渡过程的模型。也可定义为描述实际系统各个物理量随时间变化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。动态数学模型一般可以用系统的微分方程或差分方
3、程来描述。对于给定的动态系统，数学模型的表达方法还有多种。工程上常用的数学模型有：微分方程、传递函数和频率特性。对于线性系统，它们之间是等价的。数学模型的形式：时间域：微分方程复数域：传递函数频率域：频率特性“三域”模型及其相互关系：建立数学模型的方法：（1）解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律，列写出相应的数学关系式，建立模型。（2）实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折中或综合考虑。建立数学模型的一般步骤：（1）分析系统工作原理和信号传递
4、变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。（2）从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程。（3）消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程。（4）标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列。线性定常系统可以用常系数线性微分方程来描述，其一般形式为其中各项的系数为常数，且 。机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，可以将前一类构件的弹性忽略而视为质量块，将后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可以抽象为质量-
5、弹簧-阻尼系统。2.1.1 机械系统工件动力滑台组合机床动力滑台及其等效的力学模型控制系统微分方程的列写：机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。质量：弹簧：阻尼：机械平移系统（质量-弹簧-阻尼）：式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。机械平移系统（弹簧-阻尼）：系统运动方程为一阶常系数微分方程。机械旋转系统（转动惯量-扭转弹簧-扭转阻尼）：电路的三个基本元件：电阻、电容和电感。2.1.2 电路电阻：电容：电感：R-L-C无源电路网
6、络：一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。若L=0，则系统简化为一阶常系数微分方程：有源电路网络：运算放大器的反向输入端为a点。电动机=机械+电气。电枢控制式直流电动机的原理图如图所示。2.1.3 电机根据基尔霍夫定律，得电路方程根据电磁感应定律，电机产生的反电动势磁场对载流线圈的作用力矩根据牛顿第二定律，得机械旋转系统的方程将上述方程合并整理，消去中间变量，得电枢控制式直流电动机控制系统的动态数学模型此系统微分方程为三阶微分方程。当电枢电感较小时，可以忽略不计，令La=0，则可以简化为二阶微分方程相似系统具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。它揭示了不同物理现象之间的相似关系。同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。kF(t)mDy(t)总结：物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究，这是控制理论的基本方法。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。