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1、引言定义：控制系统的输入和输出之间动态定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。关系的数学表达式即为数学模型。用途：用途：1）分析实际系统）分析实际系统2）预测物理量）预测物理量3）设计控制系统）设计控制系统第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型表达形式表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性频域：频率特性线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换本章主要内容：本章主要内容：2.1 2.1 建立数学模型的一
2、般方法建立数学模型的一般方法2.2 2.2 传递函数传递函数2.3 2.3 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换2.4 2.4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式2.5 2.5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数基本要求基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。返回子目录返回子目录6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递
3、函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型的方法分为解析法和实验法u解析法：解析法：依据系统及元件各变量之间所遵依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。达式，并实验验证。u实验法实验法：对系统或元件输入一定形式的信对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等）号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经
4、过数据处，根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型理而辨识出系统的数学模型。总结：总结：解析方法适用于简单、典型、常见解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。起来建立数学模型更为有效。2.1 建立数学模型的一般方法例例1：如图所示的：如图所示的RLC电路，试建立以电容电路，试建立以电容上电压上电压uc(t)为为输出变量，输入电压输出变量，输入电压ur(t)为为输入变量的运动方程。输入变量的运动方程。RLCur(t)u
5、c(t)i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律 由（由（2）代入（）代入（1）得：消去中间变量）得：消去中间变量i(t)（两边求导）（两边求导）例例2.机械位移系统机械位移系统 物体在外力物体在外力F(t)作用下产生位移作用下产生位移y(t)，写写出运动方程出运动方程。mkF(t)位移y(t)弹簧阻尼系数f阻尼器输入输入F(t)F(t)，输出输出y(t)y(t)理论依据理论依据牛顿第二定律牛顿第二定律物体所受物体所受的合外力等于物体质量与加的合外力等于物体质量与加速度的乘积速度的乘积mF1(弹簧弹簧的拉力的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力根据上述的例子，可以得到列写系统微分方根据
6、上述的例子，可以得到列写系统微分方程的一般步骤：程的一般步骤：1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量；2）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方程；微分方程；3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；程；4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一系统
7、，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，称它们为结构相似系统。个运动方程来表示，称它们为结构相似系统。上例的机械平移系统和上例的机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。学表达式分析，具有相同的数学模型。2.2.3 用拉氏变换求解线性常系数微分方程用拉氏变换求解线性常系数微分方程 线性常系数微分方程的求解可以采用线性常系数微分方程的求解可以采用拉氏变换法拉氏变换法。求解过程如下：。求解过程如下：1对微分方程进行对微分方程进行拉氏变换拉氏变换，得到以，得到以s为变量的代数为变量的代数方程，又称变换方程。方程，又称变换方程。2将输入量
8、和初始条件代入变换方程进行求解，得到将输入量和初始条件代入变换方程进行求解，得到输出量的拉氏变换函数表达式。输出量的拉氏变换函数表达式。3将输出量的拉氏变换函数表达式化为部分分式。将输出量的拉氏变换函数表达式化为部分分式。4对部分分式进行拉氏反变换，得到输出量的时域表对部分分式进行拉氏反变换，得到输出量的时域表达式，即为微分方程的全解。达式，即为微分方程的全解。自动控制原理数学基础拉普拉斯变换附 拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换的定义2、一些特殊函数的拉普拉斯变换3、拉普拉斯变换定理4、拉普拉斯变换反变换1.拉普拉斯变换的定义1.1 复变量和复变函数 一个复数包括实部和虚部，如果实部和虚部都是变量
9、，则称其为复变量。在拉氏变换中，复变量用符号s表示，表示一个复变函数F(s)是s的函数，它具有实部和虚部F(s)的幅值为如果在某一域内，复变函数F(s)及其所有阶导数都存在，则称该复变函数F(s)在该域内是解析的。一个复变函数F(s)是解析的，当且仅当满足如下的柯西黎曼条件相角为角度从实轴开始，沿逆时针计算在s平面上，使函数F(s)解析的点称为正常点，使F(s)为非解析的点称为奇点使F(s)及其导数趋于无穷大的奇点称为极点使F(s)=0的点叫做零点且p1为2阶极点极点为例如零点为1.2拉普拉斯变换的定义由拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为拉普拉斯反变换，定义为其中常数c选择的比
10、F(s)的所有奇点的实部都大。若f(t)是时间t的函数，且tn,mn,我们就我们就说这是物理不可实现的系统。说这是物理不可实现的系统。二、传递函数的性质二、传递函数的性质 (1)(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；下进行拉氏变换得到的；(2)(2)传递函数与微分方程一一对应；传递函数与微分方程一一对应；(3)(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；理结构的有关信息；(4)(4)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初传递
11、函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；始条件等外部因素无关；(5)(5)传递函数与系统的输入输出的位置有关；传递函数与系统的输入输出的位置有关；(6)(6)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。性就确定了。三、典型环节的传递函数三、典型环节的传递函数 1）比例比例环节环节：其其输输出量和出量和输输入量的关系，由下入量的关系，由下 面的代数方程式来表示面的代数方程式来表示式中式中 环节环节的放大系数，的放大系数，为为一常数。一常数。传递传递函数函数为为：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。特点
12、：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。比例比例环节环节实例：电子放大器，齿轮，电阻实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器电位器)，感应，感应式变送器等式变送器等2）惯性惯性环节环节：其其输输出量和出量和输输入量的关系，由下入量的关系，由下 面的面的常系数非齐次微分常系数非齐次微分方程式来表示方程式来表示传递传递函数函数为为：式中式中 T 环节环节的的时间时间常数。常数。特点：含一个储能元件，对突变的输入特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出其输出不能立即发现，输出无振荡。不能立即发现，输出无振荡。实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数也包网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环
13、节含这一环节3）积分积分环节环节：其其输输出量和出量和输输入量的关系，由下入量的关系，由下 面的面的微分微分方程式来表示方程式来表示传递传递函数函数为为：特点：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。入消失，输出具有记忆功能。实例：实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。拟计算机中的积分器等。4）微分微分环节环节：是积分的逆运算，是积分的逆运算，其其输输出量和出量和输输入量入量的关系，由的关系，由下下式来表示式来表示传递传递函数函数为为：式中式中 环节环节的的时间时间常数。常数。
14、特点：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。入信号的变化趋势。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节函数即为微分环节5）振荡振荡环节环节：其其输输出量和出量和输输入量的关系，由入量的关系，由下面的下面的二阶微分方程二阶微分方程式来表示式来表示。传递传递函数函数为为：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。其输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间的传递函数。电路的输出与输入电压
15、间的传递函数。6）延迟延迟环节环节：其其输输出量和出量和输输入量的关系，由入量的关系，由下下式来式来表示表示传递传递函数函数为为：式中式中 延迟时间延迟时间特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节模型就包含有延迟环节。以上以上6种是常见的基本典型环节的数学模型种是常见的基本典型环节的数学模型1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；不是一一对应的；2）同一元件，取不同的
16、输入输出量，有不同）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数；的传递函数；3）环节是相对的，一定）环节是相对的，一定 条件下可以转化；条件下可以转化；4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。2.3 2.3 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换一、动态结构图的组成一、动态结构图的组成1、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。2、引出点：信号引出或测量的位置。、引出点：信号引出或测量的位置。从同一信号线上引从同一信号线上引出的信号，数值和出的信号，数值和性质完全相同性质完全相同3、综合点：对两个
17、或两个以上的信号进行代数、综合点：对两个或两个以上的信号进行代数运算，运算，“”表示相加，常省略，表示相加，常省略，“”表示相表示相减。减。4、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数的传递函数，两侧为输入、输出信号线。，两侧为输入、输出信号线。二、动态结构图的建立二、动态结构图的建立例：建立如图所示的双例：建立如图所示的双T网络的动态结构图。网络的动态结构图。1）建立各元件的微分方程）建立各元件的微分方程2）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并改写成以下相乘形式改写成以下相乘形式3）绘出系统的动态结构图）绘出系
18、统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来作用：作用：1）直观形象的分析变量之间的关系）直观形象的分析变量之间的关系 2）方便求解传递函数）方便求解传递函数三、典型连接方式及等效变换三、典型连接方式及等效变换X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)Y(s)1、串联及等效、串联及等效2、并联及等效、并联及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)G(s)X(s)Y(s)3、反馈及等效、反馈及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)四、等效移动规则四、等效移动规则1、引出
19、点的移动、引出点的移动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X11）前移）前移2）后移）后移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框2、综合点的移动、综合点的移动1）后移）后移2）前移）前移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-x2x3x1G(s)
20、G(s)G(s)x1x2x32、综合点的移动、综合点的移动3）相邻综合点移动）相邻综合点移动相邻综合点之间可以随意调换位置相邻综合点之间可以随意调换位置 x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相邻引出点和综合点之注意：相邻引出点和综合点之间不能互换间不能互换!例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。方法1:引出点后移例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。方法2:引出点前移 支路：支路：表示变量之间的传输关系。表示变量之间的传输关系。2.4 2.4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式一、信流图的基本概念一、信流图的基本概念 节点：节点：表示系统中的变量。表
21、示系统中的变量。信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成。系的图示方法。信号流图由节点和支路组成。x1x4x3x2abc1信流图的基本术语信流图的基本术语1 1、源节点：、源节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。2 2、汇节点：、汇节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。点，它对应于系统的输出信号，
22、或称为输出节点。3、混合节点：、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。合节点。输入节点输入节点（源点）（源点）输出节点输出节点（汇点）（汇点）输入节点输入节点（源点）（源点）4 4、通道：、通道：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通道。一节点（或同一节点）构成的路径称为通道。5 5、开通道：、开通道：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。6 6、闭通道、闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他：
23、如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。7 7、回环增益：、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。回环中各支路传输的乘积称为回环增益。8 8、前向通道：、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其他是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节点相节点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前向通道增益。称为前向通道增益。9 9、不接触回环：、不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环
24、，反之称为接触回环任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环 。信流图的基本术语信流图的基本术语二、信流图的绘制二、信流图的绘制1、由结构图绘制信流图、由结构图绘制信流图结构图结构图信流图信流图变量变量传递传递综合点综合点变成变成混合节混合节点点12、由方程组绘制信流图、由方程组绘制信流图首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图，如图完毕后，即得系统的信号流图，如图三、梅逊（三、梅逊（Mason）增益公式增益公式例例.设某系统的方框图如
25、图所示，试求其传递函数设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数R(S)11G1G3G2Y(S)G4-1-H1-H2YG1G2G3G4-H1H2R2.5 2.5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数G1(S)G2(S)H(S)R(S)X1(S)X2(S)B(S)-Y(S)E(S)N(S)一、系统的开环传递函数一、系统的开环传递函数 定义为把主反馈通道断开，得到的传递函数定义为把主反馈通道断开，得到的传递函数二、输入作用下系统的闭环传递函数二、输入作用下系统的闭环传递函数三、扰动作用下系统的闭环传递函数三、扰动作用下系统的闭环传递函数四、系统的总输出四、系统的总输出五、误差传递函数五、误差传递函数输入作用下的误差传递函数输入作用下的误差传递函数扰动作用下的误差传递函数扰动作用下的误差传递函数六、系统的总误差六、系统的总误差小结小结了解建立微分方程的方法了解建立微分方程的方法掌握拉氏变换求解微分方程的方法掌握拉氏变换求解微分方程的方法牢固掌握系统传递函数的定义牢固掌握系统传递函数的定义能熟练地进行动态结构图等效变换能熟练地进行动态结构图等效变换能熟练运用梅逊公式求取系统传递函数能熟练运用梅逊公式求取系统传递函数了解控制系统中各种传递函数的定义了解控制系统中各种传递函数的定义