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1、FsWF s cos 思考：是力在位移方向上的分力，功等于它和位移的乘积而力和位移是向量，功却是数量。这启发我们向量间存在一种新的运算。我们今天来研究它。我们学过功的计算：平面向量的数量积及运算律太原十九中 卢建振1.两个向量的夹角 则AOB叫做向量a与b的夹角 (其中0180).abOAB当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab 已知两个非零向量a和b，作OAa，OBb，注意：两向量起点相同 2.数量积定义 已知两个非零向量a和b,夹角为，把|a|b|cos 叫做a与b的数量积数量积（或内积,俗称点乘），记作ab，即ab|a|b|c
2、os.规定：零向量与任一向量的数量积为0.abab ab请你指出向量和的夹角是：abba（）（）（）ab已知：注意：“向量的数乘”与“向量的数量积”的区别.实数与向量的积两个向量的内积如 ma是个向量；如 ab是个数量.3.一个向量在另一个向量方向上的投影OABabBOABabBOABab(B)b cos 叫做向量b在a方向上的投影.ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.向量数量积满足的运算律（1）abba；（2）(ab)(a)ba(b)；（3）(ab)cacbc.(ab)ca(bc)？则 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c
3、|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,我们来验证分配律：我们来说明结合律是不成立的：设（）（）则；（）它与方向相同或相反（）它与方向相同或相反因为与的方向可以不相同，所以结合律不成立4.向量数量积的性质设a、b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则（1）eaae a cos.（2）ab ab0.（向量垂直的充要条件）aa可写成a2.（3）当a与b同向时，ab a b；当a与b反向时，ab a b.特别地，aa a 2或 a aa.（该式可以解决 模的计算问题）aba b（4）cos .（用来解决角度问题）
4、（5）ab a b .（由于|cos|1，所以结论成立。用来比较大小和证明不等关系式。）例 1（1）已知 a=2，b 3，a与b夹角 60求ab；（2）已知 a 3，b 5，ab-7.5，求a与b的夹角.解：（1）ab a b cos 23 3.12（2）cos -aba b-7.53512 120.例 2：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例 2：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b a
5、abaabbb a2b2.解：(1)(ab)2a22abb2 a a 2 a b cos60 b b 39.(2)(ab)2 ab ab 39 ab39.例 3 已知：a 2，b 5，且a、b夹角为60试求（1）(ab)2；（2）ab；（3）ab与b夹角的余弦值.abab60例 3 已知：a 2，b 5，且a、b夹角为60试求（1）(ab)2；（2）ab；（3）ab与b夹角的余弦值.abab60解：(3)(ab)babbb a b cos60 b 2 52530.cos=(ab)bab b53930 .23913 已知|a|=3,|b|=4,且a、b 夹角为60o,则 ab=_,|a+b|=_,|a b|=_.63713练习小结：（2）掌握向量数量积的重要性质，并利用这 些性质处理有关长度、角度和垂直问题:aa a 2;cos ;aba bab ab0.（1）通过本节的学习要掌握向量的数量积 及几何意义,ab|a|b|cos；（3）通过学习，熟悉立足数学公式分析性质 的 学习技巧，掌握类比和转化化归的数学思想。作业：课本P121 习题5.6 1，2，3，4，5。思考题：已知直线 l 上两点A、B的坐标，又知直线 l 外一点C的坐标，怎样利用向量计算C点到直线 l 的距离？.C.A.B.H同学们辛苦了，谢谢大家！同学们辛苦了，谢谢大家！