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1、 平面向量的数量积平面向量的数量积复习复习:1.:1.数乘的定义数乘的定义2.2.数乘的运算律数乘的运算律 引入引入:我们学过功的概念，即一个物体在我们学过功的概念，即一个物体在力力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量数量积数量积的概念。的概念。 两个非零向量两个非零向量a 和和b ，作作 ， ,则则 叫做向量叫做向量a 和和b 的的夹角夹角aOA bOB AOB)1800 ( OABab OABba若若 ，
2、a 与与b 同向同向0 OABba若若 a 与与b 反向反向180 OABab 若若 ，a 与与b 垂直垂直，90 ba 记作记作1.向量的夹角练习练习1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！12060C2.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 cos|baba 规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 0a cos|ba 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b ，它们的夹角为它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫
3、做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即即注意：注意： (1)两向量的数量积是一个数量，而不是两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定向量，符号由夹角决定(2)a b不能写成不能写成ab (3)向量的数量积与实数积的区别向量的数量积与实数积的区别: 2）对于实数）对于实数a、b、c（b0），若），若a b=b c，则则a=c , 对于向量对于向量a，b，c , 此式是否仍成立呢？此式是否仍成立呢？ 1) 对实数对实数a0,若若a b=0，则，则b=0，但对向量，但对向量a0时，若时，若a b=0 , 能不能推出能不能推出b是零向量？是零向量？
4、3）对于实数）对于实数a、b、c，有，有（a b） c=a （b c） 但对于向量但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？来说，此式是否一定成立？ 例例1：1：已已知知 a =1,b =2a =1,b =23 3(1)a/b,求(1)a/b,求a b;(2)a b;(2)= = ,求,求a ba b4 4两况解解：（1）1）由由a/b，a/b，分分种种情情： 当a,b同a,b同向向， a b =2;a b =2; 当a,b反a,b反向向， a b = - 2。a b = - 2。 3 3（2）2） a b =1a b =1 22cos cos = -1= -14 4解：解：ab=|a| |
5、b|cos=54cos120 =54（-1/2）= 10。1. 已知已知|a|=5，|b|=4，a与与b的夹的夹角角=120，求，求ab。2 . 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2练习练习2:2: 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功只有在位移方向上的力做功sFbOBaOA ，作作过点过点B作作1BB1B垂直于直线垂直于直线OA，垂足为垂足为 ，则则 1OB| b | cosOABab 1BOABab )(1B| b
6、 | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0BOAab 1B我们得到我们得到ab的的几何意义几何意义：数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方的方向上的投影向上的投影|b|cos的乘积。的乘积。3.3.平面向量的数量积的平面向量的数量积的重要性质重要性质: :ab|a|b|（4）cos=（5）|ab|a|b|（3）当）当a与与b同向时，同向时，ab=|a|b|当当a与与b反向时，反向时，ab=|a| |b|特别地，特别地，aa =|a|2
7、或或|a|=aa 。（2）ab ab=0 设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同方向相同的单位向量，的单位向量，是是a与与e的夹角，则的夹角，则 （1）ea=ae = |a| cos1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03.若若a0，a b=0,则则b=04.若若a b=0,则则a b中至少有一个为中至少有一个为05.若若a0，a b= b c,则则a=c6.若若a b= a c ,则则bc,当且仅当当且仅当a=0时成立时成立7.对任意向量对任意向量a , b ,c,有有(a b)ca (
8、b c)8.对任一向量对任一向量a,有有a2=|a|2 练习练习3：判断正误：判断正误( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）4、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的运算律 已知向量已知向量 和实数和实数 ,则向量的数量积满足：则向量的数量积满足：, ,a b c （1）a bb a （交换律）（交换律）（2）()()()aba bab （数乘结合律）（数乘结合律）（3）()abca cb c （分配律）（分配律）注意：注意：数量积运算不满足结合律消去律数量积运算不满足结合律消去律ab ba （1）交换律：）交换律：证明：证明： 设设 夹角为夹角为 ， ,ab则则| | cosa
9、bab | | cosb aba 所以所以a bb a （2）()()()aba bab 若若0()| | |cosa ba b 证明：证明：()| |cosa ba b ()| | |cosaba b 若若0()| |cos()| |( cos )| |cosa ba ba ba b () | |cos()| | |( cos )| | |cosababa ba b 5、平面向量数量积的常用公式、平面向量数量积的常用公式2222)(1 (bbaaba 22)()(2 (bababa 求证：（求证：（1） （2）2222bbaaba 22bababa证明：（证明：（1）2bababaaabaa
10、bbb222bbaa（2） bababaabbb22ba baababbaababaa例例2、已知、已知,4,6baab与与 的夹角为的夹角为60，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （3） bbaa baba32|cosb=2cosa=3解：（解：（3） baba32bbbaaa6226bbaa226cosbbaa224660cos4667223120oaba b已知， 与 的夹角为，求练练习习4 4：）（）（）（；（；（）；（；（）（babababa3232122 ；）；（）（baba 54解：解：3)21(32120cos1
11、obaba）（22352323bbaababa ）（）（）（59422222 baba）（223120cos52bbaao 3427158 79642)(4222 bbaababa）（199642)(5222 bbaababa）（ 例例3 3、已已知知a a = =1 1， b b = = 2 2，且且a a- -b b与与a a垂垂直直，求求a a与与b b的的夹夹角角。解：解：垂直垂直与与aba 0 aba）（02 aba即即122 aaba 的夹角为的夹角为与与设设bababa cos2221 1800oo， 4 4 的夹角为的夹角为与与ba变形：o o已已知知a a = =5 5， b
12、 b = =4 4， a a与与b b的的夹夹角角为为6 60 0 ，问问当当k k为为何何值值时时，向向量量k ka a- -b b与与a a+ +2 2b b垂垂直直？解：解：）（）（babak2 02 ）（）（babak021222 bbakak）（即即0260cos1222 bbakako）（042214512252 ）（ kk1514 k垂垂直直。与与时时，向向量量当当babakk21514 的的形形状状是是，则则中中，）在在（ABCBCABABC 02（ ）A 锐角三角形锐角三角形C 钝角三角形钝角三角形D 不能确定不能确定B 直角三角形直角三角形D的的形形状状是是，则则中中，）在
13、在（ABCBCABABC 03（ ）C01,120ababtatb(1).与 夹角为，问 取何值时，最小？A A 锐角三角形锐角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 钝角三角形钝角三角形D D 不能确定不能确定 本节课我们主要学习了平面向量数量积的性质本节课我们主要学习了平面向量数量积的性质及其应用，常见的题型主要有：及其应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状、判断三角形的形状