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1、一、指数式一、指数式1.1.整数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质(1)aman=am+n (m,nZ);(2)aman=am-n (a 0,m,nZ);(3)(am)n=amn (m,nZ);(4)(ab)n=anbn (nZ).2.2.根式的概念根式的概念 如如果果一一个个数数的的 n 次次方方等等于于 a(n1 且且 nN*),那那么么这这个个数数叫叫做做 a 的的 n 次次方方根根.即即:若若 xn=a,则则 x 叫叫做做 a 的的 n 次次方方根根,其中其中 n1且且 nN*.式子式子 a 叫做根式叫做根式,这里这里 n 叫做叫做根指数根指数,a 叫做叫做被开被开方数方数.n3.3
2、.根式的根式的性质性质 1.当当 n 为为奇奇数数时时,正正数数的的 n 次次方方根根是是一一个个正正数数,负负数数的的 n 次方根是一个负数次方根是一个负数,a 的的 n 次方根用符号次方根用符号 a 表示表示.n 2.当当 n 为偶数时为偶数时,正数的正数的 n 次方根有两个次方根有两个,它们互为相反它们互为相反数数,这时这时,正数的正的正数的正的 n 次方根用符号次方根用符号 a 表示表示,负的负的 n 次方次方根用符号根用符号-a 表示表示.正负两个正负两个 n 次方根可以合写为次方根可以合写为 a(a0).nnn3.(a)n=a.n当当 n 为偶数时为偶数时,an=|a|=na (a
3、0),-a(a00，m m、n nN N*，且，且n n11）；）；负分数指数幂：负分数指数幂：=(a a0,0,m m、n nN N*,且且n n1).1).00的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_，0 0的负分数指数幂的负分数指数幂_._.（2 2）有理数指数幂的性质）有理数指数幂的性质 a ar ra as s=_(_(a a0,0,r r、s sQ Q););(a ar r)s s=_(_(a a0,0,r r、s sQ Q););(abab)r r=_(_(a a0,0,b b0,0,r rQ Q).).0 0没有意义没有意义a ar r+s sa arsrsa ar rb br
4、r二、指数函数 函数函数 y=ax(a0,且且a 1)叫做叫做指数函数指数函数,其中其中 x 是自是自变变量量,函数的定函数的定义义域是域是 R.1.1.指数函数的定义指数函数的定义说明说明：指数函数有以下特点：指数函数有以下特点：（1）自变量在指数上，且系数为）自变量在指数上，且系数为1；（2）底数是常数，且大于）底数是常数，且大于0不等于不等于1；（3）幂式前面的系数为）幂式前面的系数为1。2.2.指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质y y=a ax xa a1100a a100时时,_;,_;x x000时时,_;,_;x x01100y y1100y y111增函数增函数减函数减函
5、数【例例1 1】计算下列各式：计算下列各式：题型一题型一 指数幂的化简与求值指数幂的化简与求值解解 根式运算或根式与指数式混合运算时根式运算或根式与指数式混合运算时,将将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数数，也不能既有分母又含有负指数.探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 解解【例例2 2】(12(12分分)设函数设函数f f
6、(x x)=)=为奇函数为奇函数.求：求：（1 1）实数）实数a a的值；的值；（2 2）用定义法判断）用定义法判断f f（x x）在其定义域上的单调性）在其定义域上的单调性.题型二题型二 指数函数的性质指数函数的性质解解 (1)(1)方法一方法一 依题意，函数依题意，函数f f（x x）的定义域为）的定义域为R R，f f（x x）是奇函数，）是奇函数，f f（-x x）=-=-f f（x x），），2(2(a a-1)(2-1)(2x x+1)=0+1)=0，a a=1.=1.方法二方法二 f f(x x)是是R R上的奇函数，上的奇函数，f f(0)=0(0)=0，即，即 a a=1.=
7、1.（2 2）由）由(1)(1)知，知，设设x x1 1)f f(x x1 1),),f f(x x)在在R R上是增函数上是增函数.(1)(1)若若f f(x x)在在x x=0=0处有定义处有定义,且且f f(x x)是奇函是奇函数数,则有则有f f(0)=0,(0)=0,即可求得即可求得a a=1.=1.（2 2）由）由x x1 1 x x2 2推得推得 实质上应用了函数实质上应用了函数 f f（x x）=2=2x x在在R R上是单调递增这一性质上是单调递增这一性质.探究提高探究提高知能迁移知能迁移2 2 设设 是定义在是定义在R R上的函数上的函数.（1 1）f f（x x）可能是奇
8、函数吗？）可能是奇函数吗？（2 2）若）若f f（x x）是偶函数，试研究其单调性）是偶函数，试研究其单调性.解解 (1)(1)方法一方法一 假设假设f f(x x)是奇函数是奇函数,由于定义域为由于定义域为R R,f f（-x x）=-=-f f（x x）,即即 整理得整理得 即即 即即a a2 2+1=0,+1=0,显然无解显然无解.f f（x x）不可能是奇函数）不可能是奇函数.方法二方法二 若若f f(x x)是是R R上的奇函数，上的奇函数，则则f f(0)=0,(0)=0,即即f f(x x)不可能是奇函数不可能是奇函数.(2)(2)因为因为f f(x x)是偶函数，所以是偶函数，
9、所以f f(-(-x x)=)=f f(x x),),即即 整理得整理得 又又对任意对任意x xR R都成立，都成立，有有 得得a a=1.1.当当a a=1=1时，时，f f(x x)=e)=e-x x+e+ex x,以下讨论其单调性，任取以下讨论其单调性，任取x x1 1,x x2 2R R且且x x1 1 x x2 2,当当 f f(x x1 1)00，即增区间为，即增区间为0,+),0,+),反之反之(-,0(-,0为减区间为减区间.当当a a=-1=-1时，同理可得时，同理可得f f(x x)在（在（-，0 0上是增函数，上是增函数，在在0 0，+）上是减函数）上是减函数.【例例3
10、3】已知函数已知函数 (1)(1)作出图象；作出图象；(2)(2)由图象指出其单调区间；由图象指出其单调区间；(3)(3)由图象指出当由图象指出当x x取什么值时函数有最值取什么值时函数有最值.题型三题型三 指数函数的图象及应用指数函数的图象及应用解解 （1 1）由已知可得）由已知可得其图象由两部分组成：其图象由两部分组成：一部分是：一部分是：另一部分是：另一部分是：y y=3=3x x(x x0)0)y y=3=3x x+1+1(x x-1).0,0,且且a a 1)1)的图象有两个公共点的图象有两个公共点,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 数形结合数形结合.当当a a11
11、时，如图时，如图,只有一个公共点，不符合题意只有一个公共点，不符合题意.当当00a a11时，如图时，如图,由图象知由图象知0202a a1,1,1.1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，无限伸展性，x x轴是函数图象的渐近线轴是函数图象的渐近线.当当00a a111，x x-时时,y y0;0;当当a a11时，时，a a的值越大，图象越靠近的值越大，图象越靠近y y轴，递增的速度越快；轴，递增的速度越快；当当00a a10,0,a a1)1)的图象和性质与的图象和性质与a a的取值的取值 有关，要特别注意区分有关，要特别注意区分a a11与与00a a11来研究来研究.2.2.对可化为对可化为a a2 2x x+b ba ax x+c c=0=0或或a a2 2x x+b ba ax x+c c0(0)0(0)的的 指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意 换元后换元后“新元新元”的范围的范围.失误与防范失误与防范