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1、学案学案7 正弦定理、余弦正弦定理、余弦 定理及应用定理及应用名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 正弦定理、正弦定理、余弦定理余弦定理及应用及应用（1）理解正弦定理、余弦定理，）理解正弦定理、余弦定理，能用正弦定理、余弦定理解三角能用正弦定理、余弦定理解三角形形.（2）能够运用正弦定理、余弦定）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测
2、量理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题和几何计算有关的实际问题.名师伴你行考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用，三角形的内容不仅能考查正、余弦定理的应用，而且能很好地考查三角变换的技巧，还可与立体几何、而且能很好地考查三角变换的技巧，还可与立体几何、解析几何、向量、实际应用等知识相结合解析几何、向量、实际应用等知识相结合.因此是高考因此是高考中常常出现的题型，各种题型都有可能出现中常常出现的题型，各种题型都有可能出现.返回目录返回目录(2)a=2RsinA,b=2RsinB,;(3)sinA=sinB=,sinC=等形式等形式,以解决
3、不同的三角形问题以解决不同的三角形问题.1.正弦定理正弦定理:其中其中R是三角形外接圆的半径是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为由正弦定理可以变形为:a:b:c=sinA:sinB:sinC;(1)2R c=2RsinC名师伴你行返回目录返回目录 2.余弦定理余弦定理:a2=,b2=,c2=.余弦定余弦定理可以变形为理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.3.SABC=absinC=acsinB=(a+b+c)r（r是三角形内切圆的半径），并可由是三角形内切圆的半径），并可由此计算此计算R,r.b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosCbcs
4、inA 名师伴你行返回目录返回目录 4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其他边或角；（已知两角及任一边，求其他边或角；（2）已知两边及一）已知两边及一边的对角，求其他边或角边的对角，求其他边或角.情况情况(2)中结果可能有一解、中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三边已知三边问题问题.5.解三角形的类型 ABC中中,已知已知a,b和和A时时,解的情况如下解的情况如下:名师伴你行返回目录返回目录 A A
5、为锐角为锐角A A为钝角为钝角或直角或直角图图 形形关系式关系式a=a=bsinAbsinAbsinAbsinAaabbab解的个数解的个数一解一解两角两角一解一解一解一解名师伴你行返回目录返回目录 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线夹角，目标视线在水平视线 叫仰叫仰角，目标视线在水平视线角，目标视线在水平视线 叫叫俯角（如图俯角（如图3-7-1中中).6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面测量距离问题、测量高度
6、问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等积问题、航海问题、物理问题等.上方上方 下方下方 名师伴你行返回目录返回目录 (2)方位角方位角 指从指从 方向顺时针转到目标方方向顺时针转到目标方向线的水平角，如向线的水平角，如B点的方位角为点的方位角为（如图（如图).(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.正北正北 名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点1 1 正弦定理的应用正弦定理的应用正弦定理的应用正弦定理的应用 【分析分析分析分析】利用正弦定理利用正弦定理 ,求出求出sinB，再利用，再利用sin2B+cos2B=1求出求出cosB.
7、名师伴你行 2010年高考湖北卷在年高考湖北卷在ABC中，中，a=15,b=10,A=60则则cosB=.返回目录返回目录 【解析】【解析】由正弦定理得由正弦定理得sinB=ab,BAB,AC,C=30.当当BC=,sinC=,ABsin45BC1无解无解.名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考湖南卷年高考湖南卷改编改编在在ABC中中,角角A,B,C所对的边长分别为所对的边长分别为a,b,c.若若C=120,c=a,则则a,b 的大小关系的大小关系 .【分析】【分析】由余弦定理得出由余弦定理得出a,b的关系的关系,把边长把边长c用用a表表示示,再找出再找出a2与与b2的大小关系的大小关系.
8、名师伴你行考点考点考点考点2 2 余弦定理的应用余弦定理的应用余弦定理的应用余弦定理的应用 返回目录返回目录 【解析解析】由余弦定理得由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,又又C=120,2a2=a2+b2+ab,a2=b2+abb2,ab.名师伴你行本题考查了余弦定理的应用本题考查了余弦定理的应用,关键是去掉关键是去掉c,找出找出a与与b的关系的关系.返回目录返回目录 在在ABC中中,a,b,c分别是角分别是角A,B,C的对边的对边,且且 .(1)求求B的大小的大小;(2)若若b=,a+c=4,求求ABC的面积的面积.名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】(1)由余弦定理知
9、由余弦定理知,cosB=,cosC=.将上式代入得将上式代入得 整理得整理得a2+c2-b2=-ac,cosB=B为三角形的内角，为三角形的内角，B=.名师伴你行返回目录返回目录 (2)将将b=,a+c=4,B=代入代入b2=a2+c2-2accosB,得得b2=(a+c)2-2ac-2accosB，b2=16-2ac(1-),ac=3.SABC=acsinB=.名师伴你行返回目录返回目录 在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角求角A的大小的大小;(2)若若a=,求求bc的最大值的最大值;(3)求求 的值的值.考点考点考点
10、考点3 3 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用 名师伴你行返回目录返回目录 【分析分析分析分析】(1)b2+c2-a2+bc=0的结构形式的结构形式,可联想可联想到余弦定理到余弦定理,求出求出cosA,从而求出从而求出A的值的值.(2)由由a=及及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于可求出关于b,c的关的关系式系式,利用不等式利用不等式,即可求出即可求出bc的最大值的最大值.(3)由正弦定理可实现将边化为角的功能由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到从而达到化简求值的目的化简求值的目的.名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】
11、(1)cosA=又又A(0,180),A=120.(2)由由a=,得得b2+c2=3-bc,又又b2+c22bc（当且仅当（当且仅当c=b时取等号），时取等号），3-bc2bc(当且仅当当且仅当c=b时取等号）时取等号）.即当且仅当即当且仅当c=b=1时时,bc取得最大值为取得最大值为1.名师伴你行返回目录返回目录(3)由正弦定理得由正弦定理得 名师伴你行返回目录返回目录 (1)在三角形中求角在三角形中求角,往往选择先求该角的往往选择先求该角的余弦值余弦值,然后利用余弦函数在然后利用余弦函数在(0,)上的单调性求角上的单调性求角.(2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定正、余弦定理能实现
12、边角转化，在解题时一定要重视要重视.名师伴你行返回目录返回目录 已知已知ABC是半径为是半径为R的圆内接三角形的圆内接三角形,且且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.(1)求角求角C;(2)试求试求ABC面积面积S的最大值的最大值(1)由由2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,两边同乘以两边同乘以2R,得得(2RsinA)2-(2RsinC)2=(a-b)2RsinB,根据正弦定理根据正弦定理,得得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,a2-c2=(a-b)b,即即a2+b2-c2=ab.名师伴你行返回目录返回目录 再由余弦定理再由余弦定理,得得c
13、osC=,又又0C,C=.(2)C=,A+B=.S=absinC=(2RsinA)(2RsinB)=R2sinAsinB=-R2sinAsin()=R2 cosA+sinA.=R2(sin2A+sinAcosA)=名师伴你行返回目录返回目录 0A ,2A-,当且仅当当且仅当2A-=,即即A=时时,sin(2A-)=1,S取取到最大值到最大值 R2.名师伴你行返回目录返回目录 已知方程已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根之的两根之积等于两根之和，且和，且a,b为为ABC的两边，的两边，A,B为两内角，试判定这为两内角，试判定这个三角形的形状个三角形的形状.考点考点考点
14、考点4 4 判断三角形的形状判断三角形的形状判断三角形的形状判断三角形的形状 【分析分析分析分析】先由已知条件得出三角形的边角关系先由已知条件得出三角形的边角关系.要要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定角之间的关系即可判定.名师伴你行返回目录返回目录【解析解析解析解析】解解解解法一法一:设方程的两根为设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知，由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由题意有由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得根据余弦定理得b =a ,b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得
15、化简得a=b,ABC为等腰三角形为等腰三角形.名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二:同解法一得同解法一得bcosA=acosB,由正弦定理得由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,sinAcosB-cosAsinB=0,即即sin(A-B)=0.0A,0B，-A-B.A-B=0，即，即A=B.故故ABC为等腰三角形为等腰三角形.名师伴你行返回目录返回目录 由三角形的边角关系判定三角形的形状，其基本由三角形的边角关系判定三角形的形状，其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，全化思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系（一般化为角较方便）
16、，为边的关系或全化为角的关系（一般化为角较方便），然后利用简单的平面几何知识即可判定然后利用简单的平面几何知识即可判定.应注意式子的应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解.名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考上海卷某人要作一个三角形，要求它年高考上海卷某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是的三条高的长度分别是 ,，则此人，则此人将将 .(填序号填序号)不能作出满足要求的三角形不能作出满足要求的三角形；作出一个锐角三角形作出一个锐角三角形；作出一个直角三角形作出一个直角三角形；作出一个钝角三角形作出一个钝角三角形。名师伴你行返回
17、目录返回目录 【解析解析】设三角形三边长为设三角形三边长为a,b,c.根据三角形面积根据三角形面积相等得相等得S=a =c =b ,a=26S,c=10S,b=22S.由大角对大边得由大角对大边得26S对应的角最大，对应的角最大，.又又A(0,),A为钝角为钝角.名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点5 5 正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用正、余弦定理的实际应用名师伴你行2010年高考陕西卷如图年高考陕西卷如图,A,B是是海面上位于东西方向相距海面上位于东西方向相距5(3+)海海里的两个观测点里的两个观测点,现位于现位于A点北偏东点北偏东45B点北偏西点
18、北偏西60的的D点有一艘轮船发点有一艘轮船发出求救信号出求救信号,位于位于B点南偏西点南偏西60且与且与B点相距点相距20 海里海里的的C点的救援船立即前往营救点的救援船立即前往营救,其航行速度为其航行速度为30 海里海里/时时,该救援船到达该救援船到达D点需要多长时间点需要多长时间?返回目录返回目录【分析】【分析】利用正弦定理求出利用正弦定理求出BD长度，在长度，在BCD中利用余弦中利用余弦定理可求出定理可求出CD的长度的长度.由速度可求时间由速度可求时间.名师伴你行【解解析】析】由题意知由题意知AB=5(3+)海里海里,DBA=90-60=30,DAB=90-45=45,ADB=180-(
19、45+30)=105.在在DAB中中,由正弦定理得由正弦定理得返回目录返回目录 =103(海里海里).又又DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60BC=20 (海里海里),在在DBC中中,由余弦定理得由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBC cosDBC=300+1 200-210 20 12=900,名师伴你行返回目录返回目录 本题主要考查运用正弦定理和余弦定理解三角形本题主要考查运用正弦定理和余弦定理解三角形,把把实际问题转化为解三角形的问题实际问题转化为解三角形的问题,同时考查运用数学知同时考查运用数学知识解决实际问题的能力和运算求解能力识解决实际问题的能力和运算求解能力
20、.名师伴你行CD=30(海里海里),需要的时间需要的时间t=1（小时）（小时）.答答:救援船到达救援船到达D点需要点需要1小时小时.返回目录返回目录 在在ABC中，已知中，已知a=,b=2,B=45,求角求角A，C和边和边c的值的值.名师伴你行 【解析解析】B=4590,且且ba,ABC有两解有两解.由正弦定理由正弦定理,得得 ,即即sinA=,A=60或或120.返回目录返回目录(1)当当A=60时时,C=180-(A+B)=75,此时此时 ;(2)当当A=120时时,C=180-(A+B)=15,此时此时 .A=60,C=75,c=+1或或A=120,C=15,c=-1.名师伴你行返回目录
21、返回目录 1.1.正、余弦定理和三角形面积公式是本学案的重点，正、余弦定理和三角形面积公式是本学案的重点，正、余弦定理和三角形面积公式是本学案的重点，正、余弦定理和三角形面积公式是本学案的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题用它们解决一些实
22、际问题用它们解决一些实际问题用它们解决一些实际问题.2.2.应熟练掌握和运用内角和定理应熟练掌握和运用内角和定理应熟练掌握和运用内角和定理应熟练掌握和运用内角和定理 :A+B+C=,:A+B+C=,中互补和互余的情况，结合诱导公式可中互补和互余的情况，结合诱导公式可中互补和互余的情况，结合诱导公式可中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数以减少角的种数以减少角的种数以减少角的种数.名师伴你行返回目录返回目录 3.3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦
23、定理结合得余弦定理结合得余弦定理结合得余弦定理结合得sinsin2 2A=sinA=sin2 2B+sinB+sin2 2C-C-2sinBsinCcosA,2sinBsinCcosA,可以进行化简或证明可以进行化简或证明可以进行化简或证明可以进行化简或证明.4.4.根据所给条件确定三角形的形状根据所给条件确定三角形的形状根据所给条件确定三角形的形状根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途主要有两种途主要有两种途主要有两种途径径径径:(1)(1)化边为角化边为角化边为角化边为角;(2);(2)化角为边化角为边化角为边化角为边,并常用正弦并常用正弦并常用正弦并常用正弦(余弦余弦余弦余弦)定理定理定理定理实施边、角转换实施边、角转换实施边、角转换实施边、角转换.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行