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1、空域增强复习v1.直方图增强v2.图像平滑:a.均值滤波；b.中值滤波。v2.图像锐化:微分锐化。第4章图像变换 问题的提出：我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。4.1积分变换v变换的目的：是将某一类问题转换为另一类更易解决问题。v其解题步骤如下：1.将原问题变换为较易解决的新问题。2.在原问题的象域（频域）内解次问题。3.施行逆变换，使在象域（频域）的问题转换为原问题。积分变化的定义：一般地说积分变换就是通过积分，把一个原函数f(t)变换为象函数F(s):如果a,b是有限的，称F(s)是f（t）的有限积分变换。K(s,t)
2、是积分变换的核（transpositional core）.4.2连续傅立叶变换17681830预备知识v泰勒级数：如果函数f(x)在它含点x0的某一区间（a,b）内具有的任何导数都存在，因此对任何正整数n,有下面的n阶泰勒公式成立：欧拉公式：三角级数三角函数系的正交性 A0,an归并后表示：傅立叶级数的复数表示形式：傅立叶积分的表示形式观察教材式4-3傅立叶积分变换式4-5、4-4称为傅立叶变换对。F与f是傅立叶变换对：则：F与f是傅立叶变换对：傅立叶变换的相关概念简单回顾：泰勒展式j21欧拉公式-pi,pi傅立叶级数-l,l傅立叶级数傅立叶级数复数形式l趋向无穷大傅立叶积分分解傅立叶正变换
3、傅立叶逆变换傅立叶变换的条件（狄利克勒条件）：v有限个间歇点；v具有有限个极限点；v绝对可积。狄利克勒条件在工程应用中总能得到满足。二维傅立叶变换傅立叶变换的性质能量保持定理证明二维卷积定理 4.3离散傅立叶变换v一维离散傅立叶变换：一维傅立叶逆变换4.4 快速Fourier变换（FFT）FFT的设计思想是:首先，将原函数分为奇数项和偶数项，通过不断的一个奇数项与一个偶数项的傅立叶变化相加（减），最终得到需要的结果。也就是说FFT是将复杂的运算变成两个数相加（减）的简单运算的重复。傅立叶变换的周期性分析一维傅立叶变换：记则有：单位园表示：WNux的性质：(1)对称性：(2)周期性：(3)可分性
4、：设N=2m，f(x)的定义域分为偶数部分和奇数部分，即f(2x)和f(2x+1)记为：u=0,1,2,N/2-1对于N=N/2,N/2,N-1由Fe(u)和Fo(u)的原式，它们以N/2为周期：而由W的性质：所以：例：设对一个函数进行快速Fourier变换，函数为：分成偶数、奇数为：例：FFT变换蝶形图：奇偶分组和比特倒序9.2 快速Fourier变换（FFT）偶数区寄数区4.5二维离散傅立叶变换二维Fourier变换的应用1.Fourier变换在图像滤波中的应用 首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需
5、要的高频或是低频滤波。二维Fourier变换的应用2.Fourier变换在图像压缩中的应用 变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。二维Fourier变换的应用3.Fourier变换在卷积中的应用:从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等）。如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。二维Fourier变换的应用 4.6正交变化的一般表示形式一维：二维：t(.)称为变换核；h(.)称
6、为逆变换核。傅立叶变换核的可分离性和对称性正交变换的矩阵表示v 如果二维方阵的正变换是可分离的和对称的,则其变换过程可表示为矩阵的形式:G=TFT 其中F是代表图像的NN矩阵，T是以tijt1(i，j)为元素的NN对称变换矩阵，G是变换结果。为了得到逆变，用逆变换矩阵H前乘和后乘有：HGHHTFTH，如果HT1,那么，FT-1GT-1.说数字图像F能完全从它的变换中分离出来。4.7其他离散正交变换v沃尔什变换 v哈达玛(Hadamard)变换v离散余弦变化离散余弦变换（DCT）1.问题的提出：Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望
7、有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在此期望下，产生了DCT变换。余弦变换v当f(x)或f(x,y)为偶函数时，变换的计算公式只有余弦项。v一个任意函数采样从0,1,2,N-1，若向负方向折叠形成2N采样的偶函数，就可以进行2N的偶函数傅立叶变换。v余弦变换是简化傅立叶变换的一种方法一维余弦变换 离散序列离散序列f(x),x=0,1,2,N-1，以，以-1/2为折点，形成为折点，形成-N至至-1的序列，的序列，与原序列合并形成与原序列合并形成2N偶函数序列，（即序列偶函数序列，（即序列1/2,在以在以0点对称变化）此点对称变化）此时的变换核为时的变换核为：离散傅立叶变换的虚部为零，上式
8、剩下余弦项离散傅立叶变换的虚部为零，上式剩下余弦项 余弦变换为：余弦变换为：归一化后：归一化后：一维余弦变换的反变换为：一维余弦变换的反变换为：二维余弦变换 偶对称偶函数：偶对称偶函数：为关于为关于(-1/2,-1/2)对称的偶函数。对称的偶函数。根据对称点的傅立叶变换，可得余弦变换为：根据对称点的傅立叶变换，可得余弦变换为：表为矩阵形式：表为矩阵形式：反变换为：反变换为：反变换矩阵形式：反变换矩阵形式：归一化归一化(使得基向量的模为使得基向量的模为1)：偶对称偶函数的变换核的基函数正交偶对称偶函数的变换核的基函数正交 核可分离核可分离 余弦变换的能量向低频集中余弦变换的能量向低频集中 上式归一化后即为奇对称函数的余弦变换：上式归一化后即为奇对称函数的余弦变换：反变换：反变换：这个变换同样也是正交的和可分离的，可以用两次一维变换来执行这个变换同样也是正交的和可分离的，可以用两次一维变换来执行 正变换矩阵为：正变换矩阵为：N=4时时