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1、第五章第五章 平面向量平面向量第 讲1考点搜索平面向量的数量积平面向量数量积的重要性质两个向量垂直的充要条件常用的模的等式和不等式高考猜想字符运算是向量的核心内容，是高考的一个重要命题点.2一、平面向量数量积的有关概念 1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，=_，当且仅当a、b反方向时，=_，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.018032.如果a，b的夹角为 _，则称a与b垂直，记作 _.3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则 _叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即 _.规
2、定0a=_.当ab时，=_，这时ab=_.二、ab的几何意义 1.一个向量在另一个向量方向上的投影.90ab|a|b|cosab=|a|b|cos09004 设是a与b的夹角，则 _称作a在b方向上的投影._称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当 _时，它是正数；当 _时,它是负数；当=90时,它是零.2.ab的几何意义.ab等 _与b在a方向上的投影的乘积.3.ab的性质.设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：|a|cos|b|cos09090180|a|5(1)ea=ae=|a|cos;(2)ab _;(3)当a与b同向时，ab=_；当a与b反向时，ab
3、=_；特别地，aa=a2=|a|2，或|a|=_;(4)cos=_;(5)|ab|a|b|.ab=0|a|b|-|a|b|61.已知向量a和b的夹角为120,|a|=1,|b|=3，则|5a-b|=_.解：所以|5a-b|=7.772.若a,b,c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)c=ac+bc C.m(a+b)=m a+mb D.(ab)c=a(bc)解：A、B、C是运算律，而ab=R,bc=R,所以(ab)c=a(bc)不一定成立.故选D.D83.在ABC中，已知向量 与 满足 且 则ABC为()A.三边均不相等的三角形 B.直角
4、三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 解：在ABC中，(M在BAC的平分线上)，D9由 知所以 ，则ABC是等腰三角形；因为 所以则BAC=60，所以ABC是等边三角形.故选D.101.如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 与 的夹角取何值时 的值最大？并求出这个最大值.解法1：因为 ，所以因为题型题型1 向量的数量积运算向量的数量积运算11所以故当cos=1,即=0(与 方向相同)时，的值最大，其最大值为0.解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.12设|AB|=c,|AC|=b，则A(0，0)，B(c，
5、0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y).所以所以13因为所以cx-by=a2cos，所以故当cos=1，即=0(与 方向相同)时，的值最大，其最大值为0.点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.14已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为 ，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，cd？解：要使cd，即cd=0，即(5a+3b)(3a+kb)=0，所以15a2+(9+5k)ab+3kb2=0，所以154+(9+5k)23cos
6、 +3k9=0，解得k=.所以当k=时，c与d垂直.152.已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4，|b|=2.求：(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)(a+b).解：依题意得 ab=|a|b|cos=42cos120=-4.(1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2 =|a|2+2ab+|b|2=42+2(-4)+22=12，所以|a+b|=题型题型2 向量的模向量的模16(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2=1619，所以|3a-4b|=.(3)(a-2b)(a+b)=a2-2ab+ab-2b2 =42-(-4)-
7、222=12.点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可.17已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1)求证：(a-b)c；(2)若|ka+b+c|1(kR)，求k的取值范围.解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间的夹角均为120，所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,所以(a-b)c=0，所以(a-b)c.18(2)解法1：因为|ka+b+c|1，即|ka+b+c|21，即k2a2+b2+c2+2
8、kab+2kac+2bc1,因为ab=bc=ac=-，所以k2-2k0，所以k2.解法2：由已知a+b+c=0,故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|,|ka+b+c|1(kR)|k-1|1 k2.19题型题型3 向量的夹角向量的夹角20212223点评：(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数而(2)中即为数量积定义的应用24已知三个单位向量a，b，c，两两之间的夹角为120，求a-2b与c的夹角.解：(a-2b)c=ac-2bc=11cos120-211cos120=，又a-2b，c0，所以a-2b，c=arccos .25n1.向量的字符运算是向量运算的一种基本形式，它类似于实数的字母运算，在没有几何背景和向量坐标的向量问题中，一般通过这种运算解答相关问题.n2.向量的字符运算以向量的数量积为核心，由此解决有关向量的模和夹角问题.在字符运算中求向量的模，一般先求模的平方，再转化为向量的平方，然后转化为数量积进行运算.26在字符运算中求向量的夹角，一般先利用数量积的定义求夹角的余弦，再根据夹角的范围求向量的夹角.3.通过向量的字符运算求值时，要注意利用方程思想求解，即把所求的量看作一个未知数，通过解方程求这个未知数的值.它在求数量积、参数值、夹角、模等问题中有着广泛的应用.27