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1、11.1 11.1 与三角形有关线段与三角形有关线段11.1.2 11.1.2 三角形高、中线与三角形高、中线与 角平分线角平分线人教版人教版 数學数學 八年级八年级 上册上册 定义图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线垂线把一条线段分成两条相等线段点一条射线把一个角分成两个相等角,这条射线叫做这个角平分线复复习习回回顾顾导入新知导入新知 你还记得你还记得“过一点画已知直过一点画已知直线垂线线垂线”吗吗?0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2
2、3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5放、靠、过、0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5画.过三角形一个顶点过三角形一个顶点,你能画你能画出它对边垂线吗出它对边垂线吗?想一想想一想导入新知导入新知3.提高學生动手操作及解决问题能力提高學生动手操作及解决问题能力.1.了解三角形了解三角形高高、
3、中线中线、角平分线角平分线等有关概念等有关概念.2.掌握任意三角形高、中线、角平分线画法掌握任意三角形高、中线、角平分线画法,通过观察通过观察认识到三角形三条高、三条中线、三条角平分线分别认识到三角形三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点交于一点.素养目标素养目标 过三角形一个顶点过三角形一个顶点,你能画出它对边垂线你能画出它对边垂线吗吗?BAC知识点 1三角形高概念三角形高概念探究新知探究新知三角形高定义三角形高定义A从三角形一个顶点从三角形一个顶点,BC向它对边向它对边所在直线作垂线所在直线作垂线,顶点顶点和垂足和垂足D之间线段之间线段叫做叫做三角形高线三角形高线,简称三角形简称三角形
4、高高.如右图如右图,线段线段AD是是BC边上高边上高.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5几何语言几何语言:ADBC于点于点D,读作读作AD垂直垂直BC于点于点D或或ADC=ADB=90.探究新知探究新知你还能画出一条高来吗你还能画出一条高来吗?一个三角形有三个顶点一个三角形有三个顶点,应该有应该有三三条高条高.画一画探究新知探究新知(1)你能画出这你能画出这个三角形三条高吗个三角形三条高吗?(2)这三条高之间有怎样位置关系这三条高之间有怎样位置关系?O(3)锐角三角形三条高是在三角形内部还是外部锐角三角形三条高是在三角形内部还是外部?锐角三
5、角形三条高交于同一点锐角三角形三条高交于同一点;锐角三角形三条高都在三角形内部锐角三角形三条高都在三角形内部.如图所示如图所示;锐角三角形三条高锐角三角形三条高探究新知探究新知直角边直角边BC边上高是边上高是 ;直角边直角边AB边上高是边上高是 ;(2)AC边上高是边上高是 ;ABC(1)画出画出直角三角形三条高直角三角形三条高,ABBC它们有怎样位置关系它们有怎样位置关系?D直角三角形三条高交于直角顶点.BD直角三角形三条高直角三角形三条高探究新知探究新知(1)你能画出钝角三角形三条高吗你能画出钝角三角形三条高吗?ABCDEF(2)AC边上高呢边上高呢?AB边上呢边上呢?BC边上呢边上呢?B
6、FCEAD钝角三角形三条高钝角三角形三条高探究新知探究新知A AB BC CD DF F(3)钝角三角形三条高交于一点吗钝角三角形三条高交于一点吗?(4)它们所在直线交于它们所在直线交于 一点吗一点吗?O OE E钝角三角形三条高不相交于一点钝角三角形三条高不相交于一点;钝角三角形三条高所在直线交于一钝角三角形三条高所在直线交于一点点.探究新知探究新知311 1相交相交相交相交相交相交不相交不相交相交相交相交相交相交相交三角形三条高三角形三条高所在直线所在直线交于一点交于一点.三条高所在直线三条高所在直线交点位置交点位置三角形三条高特性三角形三条高特性:高所在直线是否相交高所在直线是否相交高之
7、间是否相交高之间是否相交高在三角形内部数量高在三角形内部数量钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形三角形三角形内部内部直角顶点直角顶点三角形三角形外部外部探究新知探究新知例例1 作作ABC边边AB上高上高,下列作法中下列作法中,正确是正确是()方法总结方法总结:三角形任意一边上高必须满足三角形任意一边上高必须满足:(1)过三角形过三角形一个顶点一个顶点;(2)为顶点到其为顶点到其对边对边所在直线垂线段所在直线垂线段.D素素养养考考点点 1识别三角形高识别三角形高探究新知探究新知在下图中在下图中,正确画出正确画出ABC 中边中边BC 上高是上高是()AB C DADCBAD
8、CBADCBADCBC巩固练习巩固练习例例2 如图所示如图所示,在在ABC中中,ABAC5,BC6,ADBC于于点点D,且且AD4,若点若点P在边在边AC上移动上移动,则则BP最小值为最小值为_方法总结方法总结:可利用可利用面积相等面积相等作桥梁作桥梁(但不求面积但不求面积)求三角形高求三角形高,此此解题方法通常称为解题方法通常称为“面积法面积法”素素养养考考点点 2利用三角形高求值利用三角形高求值解析解析:当当BPAC时时,BP值最小值最小.SABC=BCAD,SABC=ACBP,BCAD=ACBP BCAD=ACBP64=5BP,BP=所以所以BP最小值为最小值为探究新知探究新知如图如图,
9、(1)写出以写出以AE为高三角形为高三角形;(2)当当BC=8,AE=3,AB=6时时,求求AB边上高长度边上高长度.解解:(1)ABE,ABD,ABC,AED,AEC,ADC.(2)设设AB边上高为边上高为x,SABC=BCAE=ABxBCAE=ABx,83=6x解得解得x=4.巩固练习巩固练习 我们學习了三角形高我们學习了三角形高,我们已经知道了三角形我们已经知道了三角形面积公式面积公式,你能经过三角形一个顶点画一条线段你能经过三角形一个顶点画一条线段,将这个三角形分为将这个三角形分为面积相等两个三角形面积相等两个三角形吗吗?三角形中线概念三角形中线概念知识点 2探究新知探究新知如图如图,
10、点点D 是是BC 中点中点,则线段则线段AD 是是ABC 中线中线,几何语言几何语言:BD=DC=BC 在三角形中在三角形中,连接一个连接一个顶点顶点与它与它对边中点对边中点线段叫做线段叫做三角形三角形中线中线三角形中线定义三角形中线定义探究新知探究新知 如上页图如上页图,画出画出ABC 另两条中线另两条中线,观察三条观察三条中线中线,你有什么发现你有什么发现?探究新知探究新知画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形形,再分别画出这三个三角形三条中线再分别画出这三个三角形三条中线.三角形三条中线三角形三条中线相交于一点相交于一点,三角形三条中线交点叫做三角
11、形三条中线交点叫做三角形重心三角形重心 三角形中线把三角形分成两个面积相等三角形三角形中线把三角形分成两个面积相等三角形.探究新知探究新知1.定义定义:在三角形中在三角形中,连接一个顶点和所对边中点线段叫做三角形连接一个顶点和所对边中点线段叫做三角形中线中线.2.三角形三角形重心重心:三角形三条三角形三条中线交点中线交点.3.三角形重心在各三角形中位置三角形重心在各三角形中位置:在三角形在三角形内部内部.4.三角形任何一条中线把三角形分成三角形任何一条中线把三角形分成面积相等面积相等两个三角形两个三角形.如上图如上图:AD为中线为中线,则则SABD=SACD.5.三角形任何一边上中线把三角形分
12、成两个小三角形周长之差等于原三角形任何一边上中线把三角形分成两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差三角形长边与短边之差.ABD周长周长ACD周长周长=ABAC.归纳总结归纳总结探究新知探究新知例例 如图所示如图所示,AD是是ABC中线中线,已知已知ABD周长为周长为25 cm,AB比比AC长长6 cm,则则ACD周长为周长为()A.19 cm B.22 cm C.25 cm D.31 cm解解:AD是是BC边上中线边上中线,BD=CD,ABD和和ACD周长差周长差=(AB+BD+AD)(AC+CD+AD)=AB AC.ABD周长为周长为25 cm,AB比比AC长长6 cm,ACD周长为
13、周长为256=19(cm).利用三角形中线求线段值利用三角形中线求线段值素素养养考考点点 3A探究新知探究新知如图如图,AD,BE,CF 是是ABC 三条中线三条中线 (1)AC=AE,AE=_;CD=;AF=AB;(2)若若SABC=12 cm2,则则SABD=(3)若若AB=4,AC=3,则则ABD周长与周长与ACD周长之差是周长之差是_.2BD6 cmABCDEFGEC1巩固练习巩固练习 在一张薄纸上任意画一个三角形在一张薄纸上任意画一个三角形,你能设法你能设法画出它一个内角平分线吗画出它一个内角平分线吗?你能通过折纸方法得你能通过折纸方法得到它吗到它吗?知识点知识点 3三角形角平分线三
14、角形角平分线探究新知探究新知BAC用量角器画最简便用量角器画最简便,用圆规也能用圆规也能.在一张纸上画出一个三在一张纸上画出一个三角形并剪下角形并剪下,将它一个角对折将它一个角对折,使其两边重合使其两边重合.折痕折痕AD即为三角形即为三角形A平分线平分线.A AB BC CD D探究新知探究新知 在三角形中在三角形中,一个一个内角平分内角平分线线与它与它对边相交对边相交,这个角顶点与这个角顶点与交点之间线段叫交点之间线段叫三角形角平分线三角形角平分线.12ABCD“三角形角平分线”是一条线段.几何语言几何语言:1=2=BAC 三角形角平分线定义三角形角平分线定义探究新知探究新知 每人准备锐角三
15、角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个个.(1)你能分别画出这三个三角形三条角平分线吗你能分别画出这三个三角形三条角平分线吗?(2)你能用折纸办法得到它们吗你能用折纸办法得到它们吗?(3)在每个三角形中在每个三角形中,这三条角平分线之间有怎样位置关系这三条角平分线之间有怎样位置关系?做一做做一做探究新知探究新知三角形共有三条内角平分线三角形共有三条内角平分线,它们交于三角形内一点它们交于三角形内一点.三角形角平分线性质三角形角平分线性质探究新知探究新知解解:AD是是ABC角平分线角平分线,BAC68,DACBAD34.在在ABD中中,B+ADB
16、+BAD180,ADB180BBAD 1803634 110.例例 如图如图,在在ABC中中,BAC=68,B=36,AD是是ABC一条角一条角平分线平分线,求求ADB度数度数.ABDC素素养养考考点点 4利用三角形角平分线求角度数利用三角形角平分线求角度数探究新知探究新知 如图如图,AD,BE,CF 是是ABC 三条角平分线三条角平分线,则则:1=;3=;ACB=2 .ABCDEF123412342ABC4巩固练习巩固练习三角形重要线段概念概念图形图形表示法表示法数量及交点位置数量及交点位置三角形高线从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间线段AD是ABC高线.ADBC,ADB
17、=ADC=90.3条高,锐角三角形:形内;钝角三角形:形外;直角三角形:直角顶点三角形中线三角形中,连结一个顶点和它对边中线段3条,交点叫作三角形重心.形内三角形角平分线三角形一个内角平分线与它对边相交,这个角顶点与交点之间线段3条,形内.探究新知探究新知B1.如图如图,在在ABC中有四条线段中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一其中有一条线段是条线段是ABC中线中线,则该线段是则该线段是()A线段线段DE B线段线段BEC线段线段EF D线段线段FG连接中考连接中考2.如图如图,ABC中中,AD是是BC边上高边上高,AE、BF分别是分别是BAC、ABC平分线平分线,BAC=50,ABC
18、=60,则则EAD+ACD=()A75 B80 C85 D90解析解析:AD是是BC边上高边上高,ABC=60,BAD=30,BAC=50,AE平分平分BAC,BAE=25,DAE=3025=5,ABC中中,C=180ABCBAC=70,EAD+ACD=5+70=75.A连接中考连接中考1下列说法正确是下列说法正确是()A三角形三条高都在三角形内三角形三条高都在三角形内 B三角形三条中线相交于一点三角形三条中线相交于一点C三角形三条角平分线可能在三角形内三角形三条角平分线可能在三角形内,也可也可 能在三角形外能在三角形外D三角形角平分线是射线三角形角平分线是射线B課堂检测課堂检测基基 础础 巩
19、巩 固固 题题2在在ABC中中,AD为中线为中线,BE为角平分线为角平分线,则在以下等式中则在以下等式中:BAD=CAD;ABE=CBE;BD=DC;AE=EC其中正确是其中正确是()A B C DD課堂检测課堂检测ABDCE3.如图如图,ABC中中C=90,CDAB,图中线段中可以作为图中线段中可以作为ABC高高有有()A2条条 B3条条 C4条条 D5条条B課堂检测課堂检测4.下列各组图形中下列各组图形中,哪一组图形中哪一组图形中AD是是ABC BC边上高边上高()ADCBABCDABCDABCDABCDD課堂检测課堂检测5.填空填空:(1)如图如图,AD,BE,CF是是ABC三条中线三条
20、中线,则则 AB=2,BD=,AE=.(2)如图如图,AD,BE,CF是是ABC三条角平分线三条角平分线,则则1=,3=_,ACB=2_.图图图图AFDC24ACABC課堂检测課堂检测 在在ABC中中,CD是中线是中线,已知已知BCAC=5cm,DBC周长为周长为25cm,求求ADC周长周长.ADBC解解:CD是是ABC中线中线,BDAD,DBC周长周长BCBDCD25cm,则则BD+CD25BC.ADC周长周长ADCDAC BDCDAC 25BCAC 25(BCAC)25520cm.能能 力力 提提 升升 题题課堂检测課堂检测如图如图,在在ABC中中,AD是是ABC高高,AE是是 ABC角平
21、分线角平分线,已知已知BAC=82,C=40,求求DAE大小大小.解解:AD是是ABC高高,ADC90.ADC+C+DAC=180,DAC=180(ADC+C)=1809040=50.AE是是ABC角平分线角平分线,且且BAC=82,CAE=41,DAE=DACCAE=5041=9.BACD E拓拓 广广 探探 索索 题题課堂检测課堂检测三三 角角 形形 重重要要线线段段高高钝角三角形两短边上钝角三角形两短边上高画法高画法中线中线会把原三角形面积会把原三角形面积平分平分一边上中线把原三角形分成两个三一边上中线把原三角形分成两个三角形角形,这两个三角形周长差等于原三这两个三角形周长差等于原三角形其余两边差角形其余两边差角平分线角平分线課堂小结課堂小结課后作业課后作业作业内容教材作业从課后习题中选取从課后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习七彩課堂七彩課堂 伴你成长伴你成长