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1、高等代数高等代数 考研习题考研习题 张升祝张升祝第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)9.329.32在实线性空间在实线性空间 中中,记记定义二元向量函数定义二元向量函数证明证明:是一个内积是一个内积.证证 任给任给1)1)第1页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)并且并且2 2)3 3)4 4)第2页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)9.339.33 设设 均均为实为实n维列向量维列向量,证证 由于由于A为正定矩阵为正定矩阵,利用柯西不等式，那么利用柯西不等式，那么A为为 正定矩阵正定矩阵,证明证明:则存在
2、实可逆矩阵则存在实可逆矩阵C 使得使得 第3页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)问题问题设设证证由柯西（由柯西（CauchyCauchy）不等式，那么）不等式，那么证明证明:作向量作向量 9.349.34 设设 A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,特征值为特征值为并且相应的标准正交特征向量分别为并且相应的标准正交特征向量分别为第4页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)使得使得证明证明:则则Q 是正交矩阵是正交矩阵,证证 记记 第5页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)由于正交矩阵由于正交矩阵的乘积及
3、逆仍为正交矩阵的乘积及逆仍为正交矩阵,9.35 9.35 证明证明:不存在正交矩阵不存在正交矩阵 使得使得证证 (反证反证)设存在正交矩阵设存在正交矩阵 使得使得那么那么因此因此 都是都是第6页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)解解 令令正交矩阵正交矩阵.正交矩阵正交矩阵,那么那么所以所以矛盾矛盾.问题问题 构造两个正交矩阵构造两个正交矩阵 使得和使得和 仍为仍为第7页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)并且并且证明证明:仍为正交矩阵仍为正交矩阵.那么那么 均为正交矩阵，均为正交矩阵，并且并且9.36 9.36 设设 A 为为
4、正交矩阵正交矩阵,存在实数存在实数使得使得证证 设设A 的三个特征值分别为的三个特征值分别为 则则A 的的特征多项式为：特征多项式为：第8页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)不妨设不妨设值值 1（补充题（补充题 2）,并且并且 A 为正交矩阵，为正交矩阵，则它必有特征则它必有特征由于由于那么那么记记因因 彼此共轭，彼此共轭，故故且且由哈密尔顿由哈密尔顿-凯莱定理则凯莱定理则第9页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)距变换距变换,9.37 9.37 设设 是欧氏空间是欧氏空间V 的一个变换的一个变换,称称 为等为等定义定义对于对于
5、使得使得则称则称 为由为由 决定的平移变换决定的平移变换.证证 首先首先,是等距变换是等距变换,其实其实:证明证明:存在正交存在正交 变换变换 使得使得其次其次,若若 是等距变换是等距变换,且且则则 是是如果如果第10页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)正交变换正交变换,则则令令设设由补充题由补充题4 4，则，则 是正交变换是正交变换.对于等距变换对于等距变换其实其实:则则第11页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)并且并且所以所以因此因此 是等距变换是等距变换,从而是正交变换从而是正交变换,取取 为为V 中单位中单位证明证明:
6、且且 9.38 9.38 设设 是是V 中第一类正交变换中第一类正交变换.是两个镜面反射的乘积是两个镜面反射的乘积.向量向量,记记 为关于为关于 的镜面反射的镜面反射,证证 设设 是是V 中第一类正交变换中第一类正交变换.则则 是第二是第二第12页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)类正交变换类正交变换.所以存在所以存在V 的标准正交基的标准正交基 使得，使得，由于由于 的行列式的值等于的行列式的值等于令令且且当当 时时,则则 是是V 的一个正交基的一个正交基,第13页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)于是于是分别记分别记9.3
7、9 9.39 设设 是整元素正交矩阵集合是整元素正交矩阵集合.1)1)确定确定 中元素的个数中元素的个数;并且并且当当 时时,则则为其行列式等于为其行列式等于 的的正交矩阵构成的子集正交矩阵构成的子集.2)2)证明证明:与与 的元素个数相同的元素个数相同.提示提示 设设 则则并且并且第14页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代数选讲高等代数选讲)9.40 9.40 设设 A,B 均为均为 n 阶正定矩阵阶正定矩阵,并且并且证证 存在正交矩阵存在正交矩阵T,S 使得使得 证明证明:矩阵矩阵 A,B 相似相似.则则 中有且只有一个元素非零中有且只有一个元素非零,值为值为列也有此性质列也
8、有此性质,反之结论也成立反之结论也成立.或或第15页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)由条件由条件,则则因此可不妨假设因此可不妨假设其中其中由于相似矩阵具有相同的特征值由于相似矩阵具有相同的特征值,从而从而所以矩阵所以矩阵 A,B 相似相似.9.41 9.41 设设 A 为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵.证明证明:是是正定矩阵正定矩阵.第16页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)对于矩阵对于矩阵 A,证证 易知易知 仍是实对称阵仍是实对称阵.则存在正交矩阵则存在正交矩阵 Q,使得使得由于由于第17页/共29页第九章第九章 欧氏空间
9、欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)V 的对称变换的对称变换.那么那么问题问题 设设V 为为n维欧氏空间维欧氏空间,证明证明:可设可设所以所以 是正定矩阵是正定矩阵.是是有有证证 取取V 的一组标准正交基的一组标准正交基则则 A实对称实对称.记记则则第18页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)用上题方法同理可证用上题方法同理可证 是正定阵是正定阵,所以所以对线性无关向量组对线性无关向量组 作施密特正交化作施密特正交化,其中其中得单位正交向量组得单位正交向量组 使得使得使得使得证明证明:必存在实可逆矩阵必存在实可逆矩阵P9.429.42 设设 A为为n阶实方阵阶实
10、方阵,证证 存在可矩阵存在可矩阵 使使第19页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)则则则则取取 (实可逆阵实可逆阵),),其中其中 为为 可逆上三角阵可逆上三角阵,令令记记第20页/共29页第九章 欧氏空间(高等代数选讲)是是V 的两子空间的两子空间,9.43 9.43 设设 V 为为n维欧氏空间维欧氏空间,证明证明:必存在必存在 使使证证 设设则则由由则则利用维数公式则利用维数公式则因此因此所以存在所以存在 使得使得即即第21页/共29页第九章 欧氏空间(高等代数选讲)记记则存在则存在那么那么是是V 的正交变换的正交变换,9.44 9.44 设设 V 为为n维
11、欧氏空间维欧氏空间,证明证明:证证 先证明先证明 为直和为直和.子空间子空间使得使得所以所以则则第22页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)下面证明下面证明即即由于由于因此因此所以所以定义定义为为V 的内射影变换的内射影变换,9.45 9.45 设设 V 是是n维欧氏空间维欧氏空间,为为V 的子空间的子空间,其中其中则则证明证明:第23页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)1)1)为线性变换为线性变换;2)2)为对称变换为对称变换,且且3 3)则则其中其中那么那么证证1 1)第24页/共29页第九章 欧氏空间(高等代数选讲)则则2
12、 2)3 3)9.46 9.46 设设 V 为为n维欧氏空间维欧氏空间,令变换令变换 使得使得是线性变换是线性变换,第25页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)所以所以由定义则有由定义则有证证 1)1)证明证明:1):1)为线性变换为线性变换;2)2)由由 的任意性的任意性,则则同理同理第26页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)那么那么则存在则存在 使使2 2)因此因此从而从而则则则则总之总之由由 的任意性的任意性,即即因此因此第27页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)由于由于是对称变换是对称变换.9.47 9.47 设设 V 为为n维欧氏空间维欧氏空间,证明证明:存在存在 使使证证因此因此从而从而因此因此第28页/共29页第九章第九章 欧氏空间欧氏空间(高等代高等代数选讲数选讲)感谢您的观看。感谢您的观看。第29页/共29页