(完整版)初三圆知识点复习总结.pdf

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1、1 初三数学圆知识点一. 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧简单记成：一条直线：过圆心垂直弦平分弦平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧弧以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDEBCBDACAD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。例 1如图，在 O 中，弦 CD

2、垂直于直径AB 于点 E，若 BAD=30 ，且 BE=2，则 CD=_例 2 已知 O 的直径10CDcm，AB是 O 的弦，8ABcm，且ABCD，垂足为M，则AC的长为（C ）A2 5cmB4 5cmC2 5cm或4 5cmD2 3cm或4 3cm例 3、如 图 是 一 个 古 代 车 轮 的 碎 片 ， 小 明 为 求 其 外 圆 半 径 ， 连 结 外 圆 上 的 两 点A、 B， 并 使AB 与 车 轮 内 圆 相 切 于 点 D，做CD AB 交 外 圆 于 点 C测 得 CD=10cm，AB=60cm，则 这个 车 轮 的 外 圆 半 径 为例 4、如图，在55 的正方形网格中

3、，一条圆弧经过 A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是A点 P B点 Q C点 R D点 M二、圆周角定理1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论：推论 1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90圆周角所对的弦直径推论 2：圆内接四边形的对角互补；由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；

4、简记：在同圆或等圆中，弦圆心角弧中只要一个相等，其它两个也相等。例 1、如图，已知 A、B、C 三点在 O 上，ACBO 于 D， B=55 ，则 BOC 的度数是70 例 2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）ABCDOEDCBADCBAO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 2 例 3、如图，ABCD 的顶点 A、B、D在0 上，顶点 C在0 的直径 BE上，连接 AE ，E=360，则ADC =( ) A

5、,440 B 540 C 720 D530学生练习：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 3 三、与圆有关的位置关系1 点与圆的位置关系： 设圆的半径为r， 点到圆心的距离为d， 则点在圆内_； 点在圆上_； ?点在圆外_2直线与圆的位置关系：如果O 的半径为 r，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，那么：（1）直线和圆有 _个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_，公共点叫做 _，此时 d_r；（2）直线和圆有 _个公共点时，

6、叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的_，公共点叫做 _，此时 d_r（3）直线和圆有 _个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d_r3. 切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。4. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等

7、，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA例1. 已知 O的半径为 3,A 为线段 PO的中点 ,则当 OP=6时, 点 A与 O的位置关系为 ( ) A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定2. O的半径为 6, O的一条弦 AB长为 33, 以 3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定3. 如图所示 , O的外形梯形ABCD 中, 如果 AD BC,那么 DOC 的度数为 ( ) A.70 B.90 C.60 D.454. 如图所示 ,PA 与 PB分别切 O于 A、B两点 ,C 是

8、?AB上任意一点 , 过 C作 O的切线 , 交 PA及 PB于 D、E两点 ,若 PA=PB=5cm, 则PDE的周长是 _cm. 5、如图2，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的P的圆心P的坐标为 ( 3,0) ，将P沿 x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为A1 B1 或 5 C3 D5 6、如图， RtABC 中， ABC=90 ，以 AB 为直径作半圆 O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接DE（1）求证： DE 是半圆 O 的切线（2）若 BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长NMAOPBAODC( 第6题)BAO精品资料 - - - 欢迎下载 - -

9、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 4 7如图，在 ABO 中， OA=OB ，C 是边 AB 的中点，以O 为圆心的圆过点C（1）求证： AB 与O 相切；（2）若 AOB=120 ，AB=4，求 O 的面积8. 如图所示 , 点 I 是 ABC的内心 ,AI 的延长线交边BC于点 D,交 ABC外接圆于点E. (1) 求证:IE=BE;(2)若 IE=4,AE=8, 求 DE的长 . 9、已知点M，N的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，点P是抛物线214yx上的一

10、个动点（ 1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1y的相切；（2）设直线PM与抛物线214yx的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNMQNM练习：ICAEDB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 5 8、如图，直线 l 与半径为4 的 O 相切于点 A，P 是 O 上的一个动点（不与点A 重合） ，过点 P 作 PBl，垂足为 B，连接 PA设PA=x，PB=y，则（ xy）的最大值是29、已知 ABC 内接于 O，过点

11、A 作直线 EF（1）如图 所示，若 AB 为O 的直径，要使EF 成为 O 的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种） ：BAE=90 或者EAC= ABC（2）如图 所示，如果AB 是不过圆心O 的弦，且 CAE=B，那么 EF 是O 的切线吗？试证明你的判断四. 扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n Rl； （2）扇形面积公式：213602n RSlRn：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图：2SSS侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2Vr h3、圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr（2）圆锥的体积

12、：213Vr h4、正多边形的其它性质(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。(2)边数相同的正多边形相似。5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆 )的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正 n 边形的有关计算公式nnn0003601801802)1(）（每个内角；n0360每个外角（2）nRan0180sin2边形边长正，nRr0180cos内切圆半径，an

13、n边形周长正(3)nnnRarnSn002180cos180sinPr2121边形面积正注意：同一个圆的内接正n 边形和外切正n 边形是相似形，相似比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比n0180cos。这样，同一个正n 边形的内切圆和外接圆的相似比n0180cos母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 6 例 1、一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120 的扇形，则此圆锥底面

14、圆的半径为（）A83cm B163cm C3cm D43cm 例 2、已知圆的半径是2 3，则该圆的内接正六边形的面积是（）（A）3 3（B）9 3（C ）18 3（D ）36 34、如图， O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A R2r2=a2 Ba=2Rsin36C a=2rtan36Dr=Rcos365、如图 , O的直径 AB的长为 10，弦 AC的长为 5， ACB的平分线交 O于点 D. （ 1）求弧 BC的长；（ 2）求弦 BD的长 .6. 三角形的内心、外心、重心、垂心(1) 三角形的内心：是三角形三个角平分

15、线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I ”表示(2) 三角形的外心： 是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示(3) 三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2 倍，通常用 G表示(4) 垂心：是三角形三边高线的交点例 1、ABC中， AB=AC=10 ，BC=12，则ABC的外接圆半径是 .外切圆半径为7. 辅助线总结圆中常见的辅助线1） 作半径，利用同圆或等圆的

16、半径相等2） 作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明3） 作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算4） 作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5) 作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6) 遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角7) 遇到切线，作过切点的半径，构造直角8) 欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1) 若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2) 不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径9) 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10) 遇到三角形的内心，常作：(1) 内心到三边的垂线；(2) 连结内心和三角形的顶点11) 遇相交两圆，常作：(1) 公共弦； (2) 连心线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -