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1、义义务务教育教科教育教科书书（湘教湘教）八年八年级级数学数学下下册册第第2 2章章 四边形四边形平行平行四边形四边形两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形平行四边形平行四边形集合集合矩形矩形集合集合1.1.定义：定义：有一个角是直角的平行四边形有一个角是直角的平行四边形叫叫做矩形。做矩形。知知识识回回顾顾边边对角线对角线角角ABCDO O矩形对边平行且相等；矩形对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等；矩形的对角线平分且相等；2.2.矩形的矩形的性性质质小明利用周末的时间，为自己做了一个相框小明利用周末的时间，为自己做了一个相
2、框请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？除了矩形的定义外，有没有其他判定矩形的方法呢？情境引入情境引入1.1.矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。你你还还有其它的判定方法吗？有其它的判定方法吗？ABCDABCDA=90A=900 0四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形自自主主预习预习有一个角是直角有一个角是直角有两个角是直角有两个角是直角 的四边形是矩形吗？的四边形是矩形吗？有三个角是直角有三个角是直角ABDC(有一个角是直角有一个角
3、是直角)ABDC(有二个角是直角有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角有三个角是直角)新新知知探究探究李芳李芳同同学学用用“边边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边直角、边”这这样样四四步步，画出画出了一个四边形，了一个四边形，她她说这说这就就是一个矩形，是一个矩形，她她的判断的判断对吗？为什么？对吗？为什么？猜想猜想：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形 。你能证明你能证明上述上述结论结论吗？吗？已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，中，A=B=C=90A=B=C=90求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。A AB BC CD D证明：
4、证明：A=B=90A=B=90 A+B=180A+B=180ADBCADBC同理可证：同理可证：ABCDABCD四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又 A=90A=90四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形你你还还有其它的证明方法吗？有其它的证明方法吗？判定定理判定定理1.1.有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 。A AB BC CD D A=B=C=90A=B=C=90 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形几何语言：几何语言：O O如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？A AB BC CD D将将ACAC同时
5、向两边拉长，使同时向两边拉长，使AC=BDAC=BDO OA AB BC CD D现在现在 ABCDABCD会是一个什么图形？会是一个什么图形？交交流流：工人工人师师傅傅为了检验为了检验两组对边相等的四边形两组对边相等的四边形窗窗框框是是否否成矩形，一种方法是成矩形，一种方法是量量一一量量这这个四边形的两条对角个四边形的两条对角线长线长度度，如果对角线长相等，如果对角线长相等，则则窗窗框一定是矩形，你知框一定是矩形，你知道道为什么吗？为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。已知：平行四边形已知：平行四边形ABCDABCD，AC=BDAC=BD。求证：四
6、边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。ABCD证明证明:AB=CD,BC=AB=CD,BC=BCBC,AC=BD,AC=BD ABC DCBABC DCB（SSSSSS）AB/CD AB/CD ABC+DCB=180 ABC+DCB=180 ABC=DCB=90ABC=DCB=90 又又 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形四边形四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。ABC=DCBABC=DCB对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 。定理定理2.2.几何语言：几何语言：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 AC=BDAC=BD四边形
7、四边形ABCDABCD是矩形是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）A AB BC CD DO O（或（或OA=OC=OB=ODOA=OC=OB=OD）例例2 2 如图，在如图，在 ABCD ABCD 中，它的两条对角线相交于点中，它的两条对角线相交于点O O。（1 1）如果）如果 ABCDABCD 是矩形，试问：是矩形，试问：OBCOBC是什么样的是什么样的三角形？三角形？（2 2）如果）如果OBCOBC是等腰三角形，其中：是等腰三角形，其中：OB=OCOB=OC，那么，那么 ABCDABCD是矩形吗？是矩形吗？A AB BC CD DO O你能
8、归纳矩形的几种判定方法吗？你能归纳矩形的几种判定方法吗？有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 。方法方法1 1：方法方法2 2：方法方法3 3：知知识识梳梳理理一.现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定矩形的下列方法中哪些正确？为什么？矩形的下列方法中哪些正确？为什么？1.有一个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的四边形是矩形；（）
9、2.四个角都相等的四边形是矩形；四个角都相等的四边形是矩形；（）3.对角线相等的四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形；（）4.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）5.两组对边分别平行，且对角线相等的四边两组对边分别平行，且对角线相等的四边 形是矩形形是矩形 （）随堂随堂练习练习C5 5C C1.1.能够判断一个四边形是矩形的条件是（能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A A 对角线相等对角线相等 B B 对角线垂直对角线垂直C C对角线互相平分且相等对角线互相平分且相等 D D对角线垂直且相等对角线垂直且相等 2.2.矩形的一组邻边长分别是矩形的一组
10、邻边长分别是3cm3cm和和4cm4cm，则它的，则它的对角线长是对角线长是 cmcm3.3.如图如图,直线直线EFMN,PQEFMN,PQ交交EFEF、MNMN于于A A、C C两点两点,AB,AB、CBCB、CDCD、ADAD分别是分别是 EACEAC、MCAMCA、ACNACN、CAFCAF的角平分线，则四边形的角平分线，则四边形ABCDABCD是（是（）A A 菱形菱形 B B 平行四边形平行四边形 C C 矩形矩形 D D 不能确定不能确定 练习 1.如图，在四边形ABCD中，A=B=C=D,求证：四边形ABCD是矩形.解：A=B=C=D,且A+B+C+D=360,A=B=C=D=9
11、0.四边形ABCD是矩形.2.如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,AOB=60，AB=2，AC=4，求ABCD的面积.解：四边形ABCD是平行四边形，AO=CO=AC=2.AOB=60，AB=2,AOB是等边三角形.OB=OA=OD=OC.ABCD是矩形.ABC=90.矩形ABCD的面积是2 =4 .1.1.如图，如图，M M为平行四边形为平行四边形ABCDABCD边边ADAD的中点，且的中点，且MB=MCMB=MC，求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。ABCDM M 要要判定一个四判定一个四边形是矩形，边形是矩形，通常通常先先判定它是平行四判定它是平行四边形，边形，再根据再根据平行平行四边形四边形构构成矩形的成矩形的条件，判定有一个条件，判定有一个角是直角或角是直角或者者对角对角线相等。线相等。练习练习三三 观观察察可能可能导导致致发发现现,观观察察将将揭示某揭示某种种规规则、则、模式模式或定或定律律。波波利利亚亚